（江苏专用）2013年高考数学总复习第五章第5课时数列的综合应用课时闯关（含解析）[A级 双基巩固]一、填空题1．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a5＝19，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线的斜率是________．解析：依题意得S5＝＝5a3＝55，a3＝11，公差d＝a4－a3＝＝4，所求直线的斜率等于＝4.答案：42．两个相距234厘米的物体相向运动，甲第一秒经过3厘米，以后每秒比前一秒多行4厘米．乙第一秒经过2厘米，以后每秒行的路程是前一秒的倍，则经过________秒两物体相遇．解析：第n秒甲、乙两物体各行an，bn厘米，an＝4n－1，bn＝2·()n－1(n∈N*)．{an}的前n项和Sn＝2n2＋n，{bn}的前n项和为Tn＝4·()n－4.由题意知：234＝Sn＋Tn⇒n＝8.答案：83．凸多边形的各内角度数成等差数列，最小角为120°，公差为5°，则边数n等于________．解析：由条件得，(n－2)×180°＝120°×n＋×5°，∴n＝9或n＝16，∵a16＝120°＋(16－1)×5°＝195°>180°，∴n＝16(舍去)而a9＝160°<180°，∴n＝9.答案：94．(2012·盐城质检)将正偶数排列如表，24 68 10 1214 16 18 20……其中第i行第j个数表示为aij(i，j∈N*)，例如a43＝18，若aij＝2012，则i＋j＝________.解析：2012是第1006个偶数；7\n前n行共有偶数：1＋2＋3＋…＋n＝(个)，∵n＝44时，＝990，所以2012位于第45行第16个数，所以i＝45，j＝16，即i＋j＝61.答案：615．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10等于________．解析：依题意有anan＋1＝2n，所以an＋1an＋2＝2n＋1，两式相除得＝2，所以a1，a3，a5，…成等比数列，a2，a4，a6，…也成等比数列，而a1＝1，a2＝2，所以a10＝2×24＝32，a11＝1×25＝32，又因为an＋an＋1＝bn，所以b10＝a10＋a11＝64.答案：646．已知数列{an}的通项为an＝，则数列{an}的最大项为第________项．解析：由于an＝＝，而函数f(x)＝x＋在(0，)上递减，在(，＋∞)上递增，且f(7)＝7＋，f(8)＝8＋，所以f(8)<f(7)．故a8>a7，从而数列{an}的最大项为第8项．答案：87．(2012·南京调研)小王每月除去所有日常开支，大约结余a元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年(存12次)，到期取出本和息．假设一年期零存整取的月利率为r.每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为________元．解析：依题意得，小王存款到期利息为12ar＋11ar＋10ar＋…＋3ar＋2ar＋ar＝ar＝78ar元．答案：78ar8．(2012·常州质检)已知函数f(x)是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意实数a，b满足：f(ab)＝af(b)＋bf(a)，f(2)＝2，an＝(n∈N*)，bn＝(n∈N*)．考察下列结论：①f(0)＝f(1)；②f(x)为奇函数；③数列{an}为等比数列；④数列{bn}为等差数列．其中正确命题的个数为________．解析：∵f(ab)＝af(b)＋bf(a)，令a＝b＝1，得f(1)＝0，令a＝b＝－1，得f(－1)＝0，令a＝b＝0，得f(0)＝0，所以①正确；令a＝x，b＝－1，得f(－x)＝xf(－1)－f(x)，∴f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数，故②正确；令a＝2，b＝2n－1，得f(2n)＝2f(2n－1)＋2n－1f(2)，所以f(2n)＝2f(2n－1)＋2n，所以＝＋1，即－＝1，所以数列{}是等差数列，＝1＋(n－1)＝n，所以f(2n)＝n·2n，由此可得an＝2n，bn＝n，故③和④都正确．答案：47\n二、解答题9．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将会比上年减少.本年度当地旅游业收入估计为400万元．由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式；(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？解：(1)第1年投入800万元，第2年投入为800×万元，…，第n年投入为800×n－1万元，所以，n年内的总投入an＝800＋800×＋…＋800×n－1＝4000×.第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×万元，…第n年旅游业收入为400×n－1万元．所以，n年内的旅游业总收入bn＝400＋400×＋…＋400×n－1＝1600×.(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn－an>0，即1600×－4000×>0，化简得，5×n＋2×n－7>0，设x＝n，代入上式得5x2－7x＋2>0，解此不等式，得x<，x>1(舍去)，即n<，由此得n≥5.∴至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．10．观察下表：12,34,5,6,78,9,10,11,12,13,14,15……(1)求此表中第n行的最后一个数；(2)求此表中第n行的各个数之和；(3)2011是此表中第几行的第几个数？(4)是否存在n∈N*，使得从第n行起的连续10行的所有数之和为227－213－120？若存在，求出n的值；若不存在，则说明理由．解：(1)第n＋1行的第一个数是2n，故第n行的最后一个数是2n－1.(2)第n行的各数之和为：7\n2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1)＝·2n－1＝2n－2(2n－1＋2n－1)＝2n－2(3·2n－1－1)．(3)∵210＝1024,211＝2048，而1024<2011<2048，∴2011在表中的第11行．该行第一个数为210＝1024，∴2011－1024＋1＝988，∴2011为第11行的988个数．(4)设第n行的所有数之和为an，第n行起连续10行的所有数之和为Sn，则an＝3·22n－3－2n－2，an＋1＝3·22n－1－2n－1，an＋2＝3·22n＋1－2n，…，an＋9＝3·22n＋15－2n＋7.∴Sn＝3(22n－3＋22n－1＋22n＋1＋…＋22n＋15)－(2n－2＋2n－1＋2n＋…＋2n＋7)＝3·－＝22n＋17－22n－3－2n＋8＋2n－2.当n＝5时，S5＝227－128－213＋8＝227－213－120.故存在n＝5，使得从第5行起的连续10行的所有数之和为227－213－120.[B级 能力提升]一、填空题1．正整数按下列方法分组：{1}，{2,3,4}，{5,6,7,8,9}，{10,11,12,13,14,15,16}，…，记第n组中各数之和为An；由自然数的立方构成下列数组：{03,13}，{13,23}，{23,33}，{33,43}，…，记第n组中后一个数与前一个数的差为Bn，则An＋Bn＝________.解析：由题意知，前n组共有1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2个数，所以第n－1组的最后一个数为(n－1)2，第n组的第一个数为(n－1)2＋1，第n组共有2n－1个数，所以根据等差数列的前n项和公式可得An＝(2n－1)＝[(n－1)2＋n](2n－1)，而Bn＝n3－(n－1)3，所以An＋Bn＝2n3.答案：2n32．如图用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按下图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)＝________；f(n)＝________(答案用n表示)．解析：f(3)＝1＋3＋6＝10，求f(n)主要是先搞清底层递增规律：(设底层乒乓球数为an)a1＝1＝，a2＝3＝，归纳猜想法……an＝.由f(n)－f(n－1)＝an＝(n≥2)，则f(1)＝1，f(2)－f(1)＝，7\nf(3)－f(2)＝，……f(n)－f(n－1)＝，叠加得f(n)＝[(1＋22＋33＋…＋n2)＋(1＋2＋3＋…＋n)]＝＝.答案：10 3．函数y＝x2(x>0)的图象在点(an，a)处的切线与x轴交点的横坐标为an＋1，n∈N*，若a1＝16，则a3＋a5＝________.数列{an}的通项公式为________．解析：∵y＝x2(x>0)，∴y′＝2x，在(an，a)处的切线方程为y－a＝2an(x－an)．它与x轴交点的横坐标为x＝.∴an＋1＝，∴＝(n∈N*)．故{an}为等比数列．又∵a1＝16，∴a3＋a5＝5.∴an＝a1qn－1，∴an＝16×()n－1＝25－n.答案：5 25－n4．已知an＝3·2n，把数列{an}的各项排成三角形状：a1a2 a3 a4a5 a6 a7 a8 a9a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16…记A(i，j)表示第i行中第j个数，则A(10,8)＝________.解析：根据图形分析可知，第i行中数的个数为2i－1，第i行中的最后一个数为ai2，所以第10行共有19个数，第10行的最后一个数是a100，所以A(10,8)应为第10行的第8个数，应为a89.∴A(10,8)＝3·289.答案：3·289二、解答题5．(2011·高考湖南卷)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.(1)求第n年初M的价值an的表达式；(2)设An＝，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新．证明：须在第9年初对M更新．解：(1)当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列，an＝120－10(n－1)＝130－10n；7\n当n≥6时，数列{an}是以a6为首项，公比为的等比数列，又a6＝70，所以an＝70×n－6.因此，第n年初，M的价值an的表达式为an＝(2)证明：设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)，An＝120－5(n－1)＝125－5n；当n≥7时，由于S6＝570，故Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋70××4×＝780－210×n－6，An＝.因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列，又A8＝＝82>80，A9＝＝76<80，所以须在第9年初对M更新．6．如图，为了估计函数y＝9－x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的面积S，把x轴上的区间[0,3]分成n等份，从各分点作y轴的平行线与函数图象相交，再从各交点向左作x轴的平行线，构成n－1个矩形．下面的程序用来计算这n－1个矩形的面积的和Sn－1.阅读程序，回答下列问题：(1)程序中的a，S分别表示什么，为什么？(2)利用公式12＋22＋32＋…＋n2＝，推导S的最后一个输出值Sn－1的计算公式．解：(1)当把x轴上的区间[0,3]分成n等份时，各等份的长都是，即矩形的底都是.显然分点的横坐标分别是，，…，，从各分点作y轴的平行线与y＝9－x2的图象相交，交点的纵坐标分别是9－2,9－2，…，9－27\n，它们分别是相应矩形的高．这样，各个矩形的面积分别是×，×，…，×.所以，程序中的a表示第k个矩形的面积，S表示前k个矩形面积的和．(2)由(1)知，S的最后一个输出值Sn－1就是这n－1个矩形的面积和，即Sn－1＝×＋×＋…＋×＝＝＝－×＝.7
