2013年高考数学总复习第五章第4课时数列求和课时闯关（含解析）新人教版一、选择题1．(2012·辽阳质检)已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a、b∈R)，且S25＝100，则a12＋a14等于( )A．16 B．8C．4D．不确定解析：选B.由数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a、b∈R)，可得数列{an}是等差数列，S25＝＝100，解得a1＋a25＝8，所以a12＋a14＝a1＋a25＝8.2．数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值为( )A．n2＋1－B．2n2－n＋1－C．n2＋1－D．n2－n＋1－解析：选A.该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋，则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(＋＋…＋)＝n2＋1－.故选A.3．若数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝an－3，则数列{an}的前n项和Sn为( )A．3n＋1－3B．3n－3C．3n＋1＋3D．3n＋3解析：选A.∵Sn＝an－3，∴Sn＋1＝an＋1－3，两式相减得：Sn＋1－Sn＝(an＋1－an)．即an＋1＝(an＋1－an)，∴＝3，即q＝3.又∵S1＝a1－3，即a1＝a1－3，∴a1＝6.∴an＝a1·qn－1＝6×3n－1＝2×3n.∴Sn＝an－3＝×2×3n－3＝3n＋1－3，故应选A.4．已知函数f(x)＝x2＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线的斜率为3，数列{}的前n项和为Sn，则S2012的值为( )A.B.C.D.解析：选D.∵f′(x)＝2x＋b，∴f′(1)＝2＋b＝3，∴b＝1，∴f(x)＝x2＋x，∴＝＝－，4\n∴S2012＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.5．设数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，把{an}中的每一项都减去2后，得到一个新数列{bn}，{bn}的前n项和为Sn，则对任意的n∈N*，下列结论正确的是( )A．bn＋1＝3bn＋2，且Sn＝(3n－1)B．bn＋1＝3bn－2，且Sn＝(3n－1)C．bn＋1＝3bn＋4，且Sn＝(3n－1)－2nD．bn＋1＝3bn－4，且Sn＝(3n－1)－2n解析：选C.因为数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1，则依题意得，数列{bn}的通项公式为bn＝3n－1－2，∴bn＋1＝3n－2,3bn＝3(3n－1－2)＝3n－6，∴bn＋1＝3bn＋4.{bn}的前n项和为：Sn＝(1－2)＋(31－2)＋(32－2)＋(33－2)＋…＋(3n－1－2)＝(1＋31＋32＋33＋…＋3n－1)－2n＝－2n＝(3n－1)－2n.二、填空题6．数列1，，，…的前n项和Sn＝________.解析：由于an＝＝＝2(－)，∴Sn＝2(1－＋－＋－＋…＋－)＝2(1－)＝.答案：7．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.解析：∵an＋1－an＝2n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.∴Sn＝＝2n＋1－2.答案：2n＋1－28．若数列{an}是正项数列，且＋＋…＋＝n2＋3n(n∈N*)，则＋＋…＋＝________.解析：令n＝1，得＝4，∴a1＝16.当n≥2时，＋＋…＋＝(n－1)24\n＋3(n－1)，与已知式相减，得＝(n2＋3n)－(n－1)2－3(n－1)＝2n＋2，∴an＝4(n＋1)2，∴n＝1时，a1也适合an.∴an＝4(n＋1)2，∴＝4n＋4，∴＋＋…＋＝＝2n2＋6n.答案：2n2＋6n三、解答题9．(2011·高考重庆卷)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.求{an}的通项公式；设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.解：设q为等比数列{an}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1，因此q＝2.所以{an}的通项公式为an＝2·2n－1＝2n.Sn＝＋n×1＋×2＝2n＋1＋n2－2.10．数列{an}中a1＝3，已知点(an，an＋1)在直线y＝x＋2上，(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)∵点(an，an＋1)在直线y＝x＋2上，∴an＋1＝an＋2，即an＋1－an＝2.∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列，∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.(2)∵bn＝an·3n，∴bn＝(2n＋1)·3n，∴Tn＝3×3＋5×32＋…＋(2n－1)·3n－1＋(2n＋1)·3n，①∴3Tn＝3×32＋5×33＋…＋(2n－1)·3n＋(2n＋1)·3n＋1，②由①－②得－2Tn＝3×3＋2(32＋33＋…＋3n)－(2n＋1)·3n＋1＝9＋2×－(2n＋1)·3n＋1.∴Tn＝n·3n＋1.11．(探究选做)已知函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)的导函数f′(x)＝－2x＋7，数列{an}的前n项和为Sn，点Pn(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上．(1)求数列{an}的通项公式及Sn的最大值；(2)令bn＝，其中n∈N*，求数列{nbn}的前n项和Tn.解：(1)∵f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，∴f′(x)＝2ax＋b，由f′(x)＝－2x＋7，得a＝－1，b＝7，∴f(x)＝－x2＋7x，又∵点Pn(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上，∴Sn＝－n2＋7n.当n＝1时，a1＝S1＝6；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋8，∴an＝－2n＋8(n∈N*)．令an＝－2n＋8≥0，得n≤4，∴当n＝3或n＝4时，Sn取得最大值12.综上，an＝－2n＋8(n∈N*)，当n＝3或n＝4时，Sn取得最大值12.(2)由题意得b1＝＝8，bn＝＝2－n＋4，∴＝，即数列{bn}是首项为8，公比是的等比数列，故{nbn}的前n项和Tn＝1×234\n＋2×22＋…＋n×2－n＋4，①Tn＝1×22＋2×2＋…＋(n－1)×2－n＋4＋n×2－n＋3，②∴①－②得：Tn＝23＋22＋…＋2－n＋4－n×2－n＋3，∴Tn＝－n·24－n＝32－(2＋n)24－n.4
