（江苏专用）2013年高考数学总复习第二章第9课时导数的概念及运算课时闯关（含解析）[A级 双基巩固]一、填空题1．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－t2＋2t，那么速率为零的时刻是________．解析：s′＝t2－3t＋2，令s′＝0，则t＝1或t＝2.答案：1秒末和2秒末2．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于________．解析：y＝(x＋1)2(x－1)＝(x＋1)(x2－1)＝x3＋x2－x－1.∴y′＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝3＋2－1＝4.答案：43．曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________．解析：y′＝ex＋x·ex＋2，y′|x＝0＝3，∴切线方程为y－1＝3(x－0)，∴y＝3x＋1，即3x－y＋1＝0.答案：3x－y＋1＝04．曲线y＝x3＋x在点(1，)处的切线和坐标轴围成的三角形面积为________．解析：f′(x)＝x2＋1，故k切＝f′(1)＝2，∴切线方程为y－＝2(x－1)，即y＝2x－，切线和x轴、y轴交点为(，0)，(0，－)．故所求面积为S＝××＝.答案：5．若曲线f(x)＝x4－x在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为________．解析：∵f′(x)＝4x3－1，由题意4x3－1＝3，∴x＝1，故切点P(1,0)．答案：(1,0)6．已知函数f(x)的图象在M(1，f(1))处的切线方程为y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.解析：∵f(1)＝，f′(1)＝，∴f(1)＋f′(1)＝3.答案：37．已知曲线f(x)＝xlnx的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为________．解析：f′(x)＝lnx＋1，∴lnx＋1＝2.∴x＝e.答案：e8．若曲线f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围为________．5\n解析：f′(x)＝2ax＋，∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)＝0有解，即2ax＋＝0有解，∴a＝－，∴a∈(－∞，0)．答案：(－∞，0)二、解答题9．求下列函数的导数：(1)y＝x(x2＋＋)；(2)y＝(＋1)(－1)；(3)y＝xtanx；(4)y＝x－sincos；(5)y＝3lnx＋ax(a>0，且a≠1)．解：(1)∵y＝x(x2＋＋)＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－.(2)∵y＝·－＋－1＝－x＋x－，∴y′＝(－x＋x－)′＝－x－－x－＝－(1＋)．(3)y′＝(xtanx)′＝()′＝＝＝.(4)y′＝(x－sincos)′＝(x－sinx)′＝1－cosx.(5)y′＝(3lnx＋ax)′＝＋axlna.10．已知函数f(x)＝ax2＋2lnx(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若l与圆C：x2＋y2＝相切，求a的值及切线l的方程．解：依题意有f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋，∴f′(1)＝2a＋2.∴直线l的方程为y－a＝(2a＋2)(x－1)，即(2a＋2)x－y－a－2＝0.*∵l与圆C相切，∴＝，解得a＝－.把a＝－代入*并整理得切线l的方程为6x＋8y＋5＝0.[B级 能力提升]一、填空题1．(2012·苏北四市质检)5\n已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________．解析：由图可知，f′(2)＝1，所以切线方程为y＝x－2，即x－y－2＝0.答案：x－y－2＝02．已知f(x)＝f′()cosx＋sinx，则f()的值为________．解析：因为f′(x)＝－f′()sinx＋cosx，所以f′()＝－f′()·sin()＋cos⇒f′()＝－1，故f()＝f′()cos＋sin⇒f()＝1.答案：13．(2010·高考辽宁卷改编)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．解析：y′＝－＝－.设t＝ex∈(0，＋∞)，则y′＝－＝－，∵t＋≥2，∴y′∈[－1,0)，α∈[，π)．答案：[，π)4．(2010·高考江苏卷)函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．解析：∵y′＝2x，∴在点(ak，a)处的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)，又该切线与x轴的交点为(ak＋1,0)，所以ak＋1＝ak，即数列{ak}是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.答案：21二、解答题5．已知函数f(x)＝x3－x.(1)求曲线y＝f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程；(2)设a>0，如果过点(a，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线，证明：－a<b<f(a)．解：(1)求函数f(x)的导数f′(x)＝3x2－1，曲线y＝f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程为5\ny－f(t)＝f′(t)(x－t)即y＝(3t2－1)x－2t3.(2)证明：如果有一条切线过点(a，b)，则存在t，使b＝(3t2－1)a－2t3.于是，若过点(a，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线，则方程2t3－3at2＋a＋b＝0有三个相异的实数根，记g(t)＝2t3－3at2＋a＋b，则g′(t)＝6t2－6at＝6t(t－a)当t变化时，g(t)，g′(t)变化情况如下表：t(－∞，0)0(0，a)a(a，＋∞)g′(t)＋0－0＋g(t)↗极大值a＋b↘极小值b－f(a)↗由g(t)的单调性，当极大值a＋b<0或极小值b－f(a)>0时，方程g(t)＝0最多有一个实数根；当a＋b＝0时，解方程g(t)＝0得t＝0，t＝，即方程g(t)＝0只有两个相异的实数根；当b－f(a)＝0时，解方程g(t)＝0，得t＝－，t＝a，即方程g(t)＝0只有两个相异的实数根．综上，如果过(a，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线，即g(t)＝0有三个相异的实数根，则即－a<b<f(a)．6．已知抛物线C1：y＝x2＋2x和C2：y＝－x2＋a.如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．(1)a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；(2)若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．解：(1)函数y＝x2＋2x的导函数为y′＝2x＋2，曲线C1在点P(x1，x＋2x1)的切线方程为y－(x＋2x1)＝(2x1＋2)(x－x1)，即y＝(2x1＋2)x－x.①函数y＝－x2＋a的导函数为y′＝－2x，曲线C2在点Q(x2，－x＋a)的切线方程是y－(－x＋a)＝－2x2(x－x2)，即y＝－2x2x＋x＋a.②如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程，所以消去x2得方程2x＋2x1＋1＋a＝0，若判别式Δ＝4－4×2(1＋a)＝0，即a＝－时，解得x1＝x2＝－，此时P、Q重合，即a＝－时，C1和C2有且仅有一条公切线．由①得公切线方程为：y＝x－.(2)证明：由(1)可知，当Δ>0，即a<－时，C1和C2有两条公切线．设一条公切线上切点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中P在C1上，Q在C2上，则有x1＋x2＝－1，y1＋y2＝x＋2x1＋(－x＋a)＝x＋2x1－(x1＋1)2＋a＝a－1.线段PQ的中点为(－，)，同理，另一条公切线段P′Q′的中点也是(－，)．5\n所以公切线段PQ和P′Q′互相平分5
