课时提升练(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1．(2015·东北四市联考)下列命题中真命题是( )A．“a>b”是“a2>b2”的充分条件B．“a>b”是“a2>b2”的必要条件C．“a>b”是“ac2>bc2”的必要条件D．“a>b”是“|a|>|b|”的充要条件【解析】 C中，当c2＝0时，由a>bac2>bc2；反过来，由ac2>bc2⇒a>b，故“a>b”是“ac2>bc2”的必要条件．【答案】 C2．命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是( )A．“若a，b，c成等比数列，则b2≠ac”B．“若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac”C．“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”D．“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”【解析】 根据原命题与其逆否命题的关系知，命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题为“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”．【答案】 D5\n3.(2015·长沙模拟)设A，B为两个互不相同的集合，命题p：x∈A∩B，命题q：x∈A或x∈B，则┑q是┑p的( )A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件【解析】 由题意p⇒q，故┑q⇒┑p；而qp，故┑p┑q，所以┑q是┑p的充分不必要条件．【答案】 B4．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆否命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中的真命题为( )A．①②B．②③C．①③D．③④【解析】 “若x＋y＝0，则x，y互为相反数”为真命题，则逆否命题也为真；“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等”，该否命题为假命题；若q≤1⇒4－4q≥0，即Δ＝4－4q≥0，则x2＋2x＋q＝0有实根，所以原命题为真命题，故其逆否命题也为真；“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，该逆命题为假命题．故选C.【答案】 C5．(2015·重庆模拟)若p是q的必要条件，s是q的充分条件，那么下列推理一定正确的是( )A．┑p⇔┑sB．p⇔sC．┑p⇒┑sD．┑s⇒┑p【解析】 由题意得q⇒p，且s⇒q，故s⇒p，所以┑p⇒┑s.【答案】 C6．(2015·深圳高级中学高三月考)命题：①若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题；②命题“若x≥2且y≥3，则x＋y≥5”的否命题为“若x<2且y<3，则x＋y<5”；③在△ABC中，“A>45°”是“sinA>”的充要条件；5\n④命题“∃x0∈R，使得ex0≤0”是真命题．其中正确命题的个数是( )A．3B．2C．1D．0【解析】 若“p且q”为假命题，则p，q至少有一个为假命题，①错；②中命题的否命题为：“若x<2或y<3，则x＋y<5”，②错；③中当A＝150°时，sinA<，③错；由指数函数的性质，可知∀x∈R，ex>0，故④错．【答案】 D7．(2014·天津高考)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解析】 当b＜0时，显然有a＞b⇔a|a|＞b|b|；当b＝0时，显然有a＞b⇔a|a|＞b|b|；当b＞0时，a＞b有|a|＞|b|，所以a＞b⇔a|a|＞b|b|.综上可知a＞b⇔a|a|＞b|b|，故选C.【答案】 C8．(2015·甘肃诊断)下列选项中，p是q的必要不充分条件的是( )A．p：x＝1，q：x2＝xB．p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UAC．p：x>a2＋b2，q：x>2abD．p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>d【解析】 A中，x＝1⇒x2＝x，x2＝x⇒x＝0或x＝1x＝1，故p是q的充分不必要条件；B中，由A∩B＝A得A⊆B，所以∁UB⊆∁UA.反之，若∁UB⊆∁UA，则A⊆B，则A∩B＝A，故p是q的充要条件；C中，因为a2＋b2≥2ab，由x>a2＋b2得x>2ab.反之不成立，如a＝0，b＝2，x＝1，则有x>2ab，但x＝1<4＝a2＋b2，故p是q的充分不必要条件；D中，取a＝－1，b＝1，c＝0，d＝－3，满足a＋c>b＋d，但a<b，c>d.反之，由同向不等式可加性得a>b，c>d⇒a＋c>b＋d，故p是q的必要不充分条件．综上所述，故选D.【答案】 D9．(2014·福建高考)直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝5\n1”是“△OAB的面积为”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【解析】 将直线l的方程化为一般式得kx－y＋1＝0，所以圆O：x2＋y2＝1的圆心到该直线的距离d＝.又弦长为2＝，所以S△OAB＝··＝＝，解得k＝±1.因此可知“k＝1”是“△OAB的面积为”的充分而不必要条件，故选A.【答案】 A10．已知集合A＝{x|x＞5}，集合B＝{x|x＞a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是( )A．a＜5B．a≤5C．a＞5D．a≥5【解析】 由题意可知AB，又A＝{x|x＞5}，B＝{x|x＞a}，如图所示，由图可知a＜5.【答案】 A11．(2013·上海高考)钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( )A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件【解析】 根据等价命题，便宜⇒没好货，等价于，好货⇒不便宜，故选B.【答案】 B12．(2013·湖北高考)设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的( )A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件5\n【解析】 若存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC，则可以推出A∩B＝∅；若A∩B＝∅，由Venn图(如图)可知，存在A＝C，同时满足A⊆C，B⊆∁UC.故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充要条件．【答案】 C二、填空题13．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的________条件．【解析】 a＝3⇒A⊆B，A⊆B⇒a＝2或3，因此“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．【答案】 充分不必要14．在命题p的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f(p)，已知命题p：“若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，则a1b2－a2b1＝0”．那么f(p)＝________.【解析】 命题p为真命题，其逆否命题也为真命题；命题p的逆命题为假命题，其否命题也为假命题．【答案】 215．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．【解析】 由题意得，ax2－2ax－3≤0，当a＝0时，有－3≤0，成立；当a≠0时，需满足即－3≤a<0，综上知－3≤a≤0.【答案】 [－3,0]16．已知命题p：命题q：1－m≤x≤1＋m，m＞0，若q是p的必要而不充分条件，则m的取值范围为________．【解析】 命题p：－2≤x≤10，由q是p的必要不充分条件知，{x|－2≤x≤10}{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}，∴或，∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．【答案】 [9，＋∞)5
