第2讲整式及因式分解考纲要求备考指津1.能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示，会求代数式的值；能根据特定问题找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算．2．了解整数指数幂的意义和基本性质；了解整式的概念和有关法则，会进行简单的整式加、减、乘、除运算．3．会推导平方差公式和完全平方公式，会进行简单的计算；会用提公因式法、公式法进行因式分解. 整式及因式分解主要考查用代数式表示数量关系，单项式的系数及次数，多项式的项和次数，整式的运算，多项式的因式分解等内容．中考题型以选择题、填空题为主，同时也会设计一些新颖的探索型问题．考点一 整式的有关概念1．整式整式是单项式与多项式的统称．2．单项式单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数．3．多项式几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．考点二 整数指数幂的运算正整数指数幂的运算法则：am·an＝am＋n，(am)n＝amn，(ab)n＝anbn，＝am－n(m，n是正整数)．考点三 同类项与合并同类项1．所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项．2．把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．考点四 求代数式的值1．一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做代数式的值．2．求代数式的值的基本步骤：(1)代入：一般情况下，先对代数式进行化简，再将数值代入；(2)计算：按代数式指明的运算关系计算出结果．考点五 整式的运算1．整式的加减(1)整式的加减实质就是合并同类项；(2)整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号．2．整式的乘除(1)整式的乘法5\n①单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．②单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mC．③多项式与多项式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nB．(2)整式的除法①单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．②多项式除以单项式：(a＋b)÷m＝a÷m＋b÷m.3．乘法公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；(2)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.考点六 因式分解1．因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解．2．因式分解的方法(1)提公因式法公因式的确定：第一，确定系数(取各项整数系数的最大公约数)；第二，确定字母或因式底数(取各项的相同字母)；第三，确定字母或因式的指数(取各相同字母的最低次幂)．(2)运用公式法①运用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．②运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.1．单项式－m2n的系数是__________，次数是__________．2．下列运算中，结果正确的是( )．A．a·a＝a2B．a2＋a2＝a4C．(a3)2＝a5D．a3÷a3＝a3．下列各式中，与x2y是同类项的是( )．A．xy2B．2xyC．－x2yD．3x2y24．如果a－3b＝－3，那么代数式5－a＋3b的值是( )．A．0B．2C．5D．85．把代数式mx2－6mx＋9m分解因式，下列结果中正确的是( )．A．m(x＋3)2B．m(x＋3)(x－3)C．m(x－4)2D．m(x－3)26．下列运算正确的是( )．A．x3·x4＝x12B．(－6x6)÷(－2x2)＝3x3C．2a－3a＝－aD．(x－2)2＝x2－47．(1)化简：(a＋2b)(a－2b)－b(a－8b)；(2)先化简，再求值：(a＋b)2＋(a－b)(2a＋b)－3a2，其中a＝－2－，b＝－2；(3)在实数范围内分解因式：x2－2x－4.一、整数指数幂的运算【例1】下列运算正确的是( )．A．3ab－2ab＝1B．x4·x2＝x6C．(x2)3＝x5D．3x2÷x＝2x5\n解析：A项是整式的加减运算，3ab－2ab＝ab，A项错；B项是同底数幂相乘，x4·x2＝x4＋2＝x6，B项正确；C项是幂的乘方，(x2)3＝x2×3＝x6，C项错；D项是单项式相除，3x2÷x＝(3÷1)x2－1＝3x，D项错．答案：B幂的运算问题除了注意底数不变外，还要弄清幂与幂之间的运算是乘、除还是乘方，以便确定结果的指数是相加、相减还是相乘．二、同类项与合并同类项【例2】单项式－xa＋b·ya－1与3x2y是同类项，则a－b的值为( )．A．2B．0C．－2D．1解析：本题主要考查了同类项的概念及方程组的解法，由－xa＋b·ya－1与3x2y是同类项，得得∴a－b＝2－0＝2.答案：A1．同类项必须具备以下两个条件：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指数分别相同．二者必须同时具备，缺一不可；2．同类项与项的系数无关，与项中字母的排列顺序无关，如xy2与－y2x也是同类项；3．几个常数项都是同类项，如－1,5，等都是同类项．三、整式的运算【例3】先化简，再求值：(a＋b)(a－b)＋(a＋b)2－2a2，其中a＝3，b＝－.解：(a＋b)(a－b)＋(a＋b)2－2a2＝a2－b2＋a2＋2ab＋b2－2a2＝2ab，当a＝3，b＝－时，2ab＝2×3×＝－2.整式的乘法法则和除法法则是整式运算的依据，必须在理解的基础上加强记忆，并在运算时灵活运用法则进行计算．使用乘法公式时，要认清公式中a，b所表示的两个数及公式的结构特征，不要犯类似下面的错误：(a+b)2=a2+b2，(a-b)2=a2-b2.四、因式分解【例4】分解因式：－x3－2x2－x＝__________.解析：由于多项式中有公因式－x，先提公因式再用公式法．－x3－2x2－x＝－x(x2＋2x＋1)＝－x(x＋1)2.答案：－x(x＋1)2因式分解的一般步骤：(1)“一提”：先考虑是否有公因式，如果有公因式，应先提公因式；5\n(2)“二套”：再考虑能否运用公式法分解因式．一般根据多项式的项数选择公式，二项式考虑用平方差公式，三项式考虑用完全平方公式；(3)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．分解因式：4－a2＋2ab－b2＝__________.1．(2022江苏南京)计算(a2)3÷(a2)2的结果是( )．A．aB．a2C．a3D．a42．(2022福建福州)下列计算正确的是( )．A．a＋a＝2aB．b3·b3＝2b3C．a3÷a＝a3D．(a5)2＝a73．(2022山东枣庄)如图，边长为(m＋3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠，无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是( )．A．m＋3B．m＋6C．2m＋3D．2m＋64．(2022四川宜宾)分解因式：3m2－6mn＋3n2＝________.1．下列运算中，正确的是( )．A．4m＋n＝5mnB．－(m－n)＝m＋nC．(m2)3＝m6D．m2÷m2＝m2．把代数式mx2－my2分解因式，下列结果正确的是( )．A．m(x＋y)2B．m(x－y)2C．m(x＋2y)2D．m(x＋y)(x－y)3．已知代数式3x2－4x＋6的值为9，则x2－x＋6的值为( )．A．7B．18C．12D．94．如图所示，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式( )．A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2C．a2－b2＝(a＋b)(a－b)D．(a±b)2＝a2±2ab＋b25．若3xm＋5y2与x3yn的和是单项式，则nm＝__________.6．若m2－n2＝6，且m－n＝3，则m＋n＝__________.7．若2x＝3,4y＝5，则2x－2y的值为__________．8．给出3个整式：x2,2x＋1，x2－2x.5\n(1)从上面3个整式中，选择你喜欢的两个整式进行加法运算，若结果能因式分解，请将其因式分解；(2)从上面3个整式中，任意选择两个整式进行加法运算，其结果能因式分解的概率是多少？9．观察下列各式(x－1)(x＋1)＝x2－1；(x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1；(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1；(x－1)(x4＋x3＋x2＋x＋1)＝x5－1；……(1)试求26＋25＋24＋23＋22＋2＋1的值；(2)判断22009＋22008＋22007＋22006＋…＋2＋1的值的末位数．参考答案基础自主导学自主测试1．－ 3 2.A 3.C 4.D 5.D 6．C7．解：(1)原式＝a2－4b2－ab＋4b2＝a2－ab.(2)原式＝a2＋2ab＋b2＋2a2－ab－b2－3a2＝ab.当a＝－2－，b＝－2时，原式＝(－2－)(－2)＝(－2)2－()2＝1.(3)x2－2x－4＝x2－2x＋1－5＝(x－1)2－5＝(x－1＋)(x－1－)．规律方法探究变式训练 (2＋a－b)(2－a＋b)知能优化训练中考回顾1．B 2.A 3.C 4.3(m－n)2模拟预测1．C 2.D 3.A 4.C5. 6.2 7.8．解：(1)x2＋(2x＋1)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2或x2＋(x2－2x)＝2x2－2x＝2x(x－1)或(2x＋1)＋(x2－2x)＝2x＋1＋x2－2x＝x2＋1.(2)由(1)可知，概率为.9．解：由给出的式子不难看出：(x－1)(xn＋xn－1＋…＋x＋1)＝xn＋1－1.(1)26＋25＋24＋23＋22＋2＋1＝(2－1)(26＋25＋24＋23＋22＋2＋1)＝27－1＝127.(2)22009＋22008＋22007＋22006＋…＋2＋1＝(2－1)(22009＋22008＋22007＋…＋2＋1)＝22010－1，∵21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128,28＝256，…，∴2n的个位数字按2,4,8,6循环出现，2010＝4×502＋2.∴22010的末位数是4.∴22010－1的末位数是3.5
