第3讲整式及因式分解考点1整式的相关概念单项式概念由数与字母的①组成的代数式叫做单项式(单独的一个数或一个②也是单项式).系数单项式中的③因数叫做这个单项式的系数.次数单项式中的所有字母的④和叫做这个单项式的次数.多项式概念几个单项式的⑤叫做多项式.项多项式中的每个单项式叫做多项式的项.次数一个多项式中，⑥的项的次数叫做这个多项式的次数.整式单项式与⑦统称为整式.同类项所含字母⑧并且相同字母的指数也⑨的项叫做同类项.所有的常数项都是⑩项.考点2整式的运算整式的加减合并同类项1.字母和字母的指数不变；2.⑪相加减作为新的系数.添(去)括号添(去)括号：括号前面是“+”号，添(去)括号都⑫符号；括号前面是“-”号，添(去)括号都要⑬符号.幂的运算同底数幂的乘法am·an=⑭.注意：a≠0，b≠0，且m、n都为整数.幂的乘方(am)n=⑮.积的乘方(ab)n=⑯.同底数幂的除法am÷an=.整式的乘法单项式与单项式相乘把它们的、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的作为积的一个因式.单项式与多项式相乘用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积，即m(a＋b＋c)=.多项式与多项式相乘先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积，即(m＋n)(a＋b)=.整式的除法单项式除以单项式把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的作为商的一个因式.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商.乘法公式平方差公式(a＋b)(a-b)=.完全平方公式(a±b)2=.考点3因式分解定义把一个多项式化成几个整式的形式，就是因式分解.方法提公因式法ma+mb+mc=.公式法a2-b2=；a2±2ab＋b2=.步骤1.若有公因式，应先；2.看是否可用;3.检查各因式能否继续分解.【易错提示】因式分解必须分解到每一个多项式不能再分解为止.5\n1.求代数式的值主要用代入法，代入法分为直接代入法、间接代入法和整体代入法.2.整式的运算时不要盲目入手，先观察式子的结构特征，确定解题思路，结合有效的数学思想：整体代入、降次、数形结合、逆向思维等，使解题更加方便快捷.命题点1代数式及其求值例1(2022·盐城)已知x(x+3)＝1，则代数式2x2+6x-5的值为.【思路点拨】把2x2+6x-5变形为2(x2+3x)-5，然后把已知条件x(x+3)＝1化为x2+3x=1后代入求值.方法归纳：求代数式的值时，常采用以下两种方法：①应用整体代入求值；②把已知的式子化为一个字母用另外的字母表示，代入所求代数式，进行化简求值.1.(2022·乐山)苹果的单价为a元/千克，香蕉的单价为b元/千克，买2千克苹果和3千克香蕉共需()A.(a+b)元B.(3a+2b)元C.（2a+3b)元D.5(a+b)元2.(2022·盐城)“x的2倍与5的和”用代数式表示为.3.(2022·黔西南)当x=1时，代数式x2+1=.4.(2022·梅州)已知a+b=4，a-b=3，则a2-b2=.命题点2整式的运算例2(2022·福州)先化简，再求值：(x+2)2+x(2-x)，其中x＝.【思路点拨】先利用公式进行整式的乘法运算，再进行整式的加减运算，化简后代入求值.【解答】方法归纳：进行整式的运算时，要先进行整式的乘法运算，再合并同类项，结果应为最简的，代入求值时，要注意整体添加括号.1.(2022·遵义)计算3x3·2x2的结果是()A.5x5B.6x5C.6x6D.6x92.(2022·江西)下列运算正确的是()A.a2+a3＝a5B.(-2a2)3＝-6a6C.(2a+1)(2a-1)＝2a2-1D.(2a3-a2)÷a2＝2a-13.(2022·株洲)计算：2m2·m8=.4.(2022·连云港)计算：(2x+1)(x-3)=.5.(2022·衡阳)先化简，再求值：(a+b)(a-b)+b(a+2b)-b2，其中a=1，b=-2.命题点3因式分解例3(2022·菏泽)分解因式：2x3-4x2+2x＝.方法归纳：因式分解，首先需观察有无公因式可提，然后再考虑是否可用公式法分解，直到分解到不能再分解为止.5\n1.(2022·岳阳)下列因式分解正确的是()A.x2-y2=(x-y)2B.a2+a+1=(a+1)2C.xy-x=x(y-1)D.2x+y=2(x+y)2.(2022·福州)分解因式：ma+mb＝.3.(2022·黄石)分解因式：4x2-9＝.4.(2022·武汉)分解因式：a3-a=.5.(2022·聊城)因式分解：4a3-12a2+9a=.1.(2022·济宁)化简-5ab+4ab的结果是()A.-1B.aC.bD.-ab2.(2022·益阳)下列式子化简后的结果为x6的是()A.x3+x3B.x3·x3C.(x3)3D.x12÷x23.(2022·金华)把代数式2x2-18分解因式，结果正确的是()A.2(x2-9)B.2(x-3)2C.2(x+3)(x-3)D.2(x+9)(x-9)4.(2022·扬州)若□×3xy=3x2y，则□内应填的单项式是()A.xyB.3xyC.xD.3x5.(2022·呼和浩特)某商品先按批发价a元提高10%零售，后又按零售价降低10%出售，则最后的单价是()A.a元B.0.99a元C.1.21a元D.0.81a元6.(2022·邵阳)下列计算正确的是()A.2x-x＝xB.a3·a2＝a6C.(a-b)2＝a2-b2D.(a+b)(a-b)＝a2+b27.(2022·黄石)下列计算正确的是()A.-3x2y·5x2y=2x2yB.-2x2y3·2x3y=-2x5y4C.35x3y2÷5x2y=7xyD.(-2x-y)(2x+y)=4x2-y28.(2022·枣庄)图1是一个长为2a，宽为2b(a>b)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是()A.2abB.(a+b)2C.(a-b)2D.a2-b29.(2022·台州)计算x·2x2的结果是.10.(2022·东营)分解因式：3x2y-27y＝.11.(2022·连云港)ab=3，a-2b=5，则a2b-2ab2的值是.12.(2022·咸宁)体育委员小金带了500元钱去买体育用品，已知一个足球x元，一个篮球y元.则代数式500-3x-2y表示的实际意义是.13.(2022·遂宁)为庆祝“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示.按照下面的规律，摆第(n)个图，需用火柴棒的根数为.14.(2022·宁波)化简：(a+b)2+(a-b)(a+b)-2ab.5\n15.(2022·盐城)先化简，再求值：(a+2b)2+(b+a)(b-a)，其中a＝-1，b＝2.16.(2022·娄底)先化简，再求值：(x+y)(x-y)-(4x3y-8xy3)÷2xy，其中x=-1,y=.17.(2022·北京)已知x2-4x-1=0，求代数式(2x-3)2-(x+y)(x-y)-y2的值.18.(2022·威海)已知x2-2＝y，则x(x-3y)+y(3x-1)-2的值是()A.-2B.0C.2D.419.(2022·日照)若3x=4，9y=7，则3x-2y的值为()A.B.C.-3D.20.(2022·威海)若m-n=-1，则(m-n)2-2m+2n的值是()A.3B.2C.1D.-121.(2022·宁波)一个大正方形和四个全等的小正方形按图1、2两种方式摆放，则图2的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是(用a，b的代数式表示).22.(2022·义乌)如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形.(1)设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1、S2；(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式.参考答案考点解读5\n①乘积②字母③数字④指数的和⑤和⑥次数最高⑦多项式⑧相同⑨相同⑩同类⑪系数⑫不改变⑬改变⑭am+n⑮amn⑯anbnam-n系数指数相加ma＋mb＋mc相加ma＋mb＋na＋nb指数相加a2-b2a2±2ab＋b2乘积m(a+b+c)(a+b)(a-b)(a±b)2提公因式公式法各个击破例1-3题组训练1.C2.2x+53.24.12例2原式=x2+4x+4+2x-x2=6x+4.当x=时，原式=6×+4=6.题组训练1.B2.D3.2m104.2x2-5x-35.原式=a2-b2+ab+2b2-b2=a2+ab.当a=1，b=-2时，原式=12+1×(-2)=-1.例32x(x-1)2题组训练1.C2.m(a+b)3.(2x+3)(2x-3)4.a(a+1)(a-1)5.a(2a-3)2整合集训1.D2.B3.C4.C5.B6.A7.C8.C9.2x310.3y(x+3)(x-3)11.1512.体育委员小金购买3个足球，2个篮球后剩余的钱13.6n+214.原式＝a2+2ab+b2+a2-b2-2ab＝2a2.15.原式＝a2+4ab+4b2+b2-a2＝4ab+5b2.当a＝-1，b＝2时，原式＝4×(-1)×2+5×22＝12.16.原式=x2-y2-2x2+4y2=-x2+3y2.当x=-1,y=时，原式=-(-1)2+3×()2=0.17.原式=4x2-12x+9-x2+y2-y2=3x2-12x+9=3(x2-4x)+9.∵x2-4x-1=0，∴x2-4x＝1.∴原式＝3×1+9=12.18.B19.A20.A21.ab22.(1)S1＝a2-b2，S2＝(2b+2a)(a-b)＝(a+b)(a-b).(2)(a+b)(a-b)＝a2-b2.5
