知识点35与圆的有关计算一、选择题1.（2022山东滨州，8，3分）已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC＝25°，则劣弧的长为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为∠ABC＝25°，故劣弧所对应的圆心角∠AOC＝50°，故劣弧的长为：·2π·5＝．【知识点】圆心角与圆周角的关系、弧长公式2.（2022四川绵阳，9，3分）如图，蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（）A.（）πm2B.40πm2C.（）πm2D.55πm2【答案】A.【解析】解：∵蒙古包底面圆面积为25πm2，∴底面半径为5米，∴圆柱的侧面积为π×2×5×3=30πm2.∵圆锥的高为2m，∴圆锥的母线长为m，∴圆锥的侧面积为π×5×=5πm2，∴需要毛毡的面积为30π+5π=（30+5）πm2.故选A.【知识点】勾股定理，圆面积公式，扇形面积公式，圆柱的侧面积3.（2022四川省成都市，9，3）如图，在£ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）A．πB．2πC．3πD．6π【答案】C【解题过程】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°，∵∠B＝60°，∴∠C＝120°，∴阴影部分的面积＝＝3π．故选择C．【知识点】平行四边形的性质；扇形面积4.（2022四川广安，题号9，分值3）如图，已知⊙O的半径是2，点A，B，C在⊙30\nO上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分的面积为（）A.23π-23B.23π-3C.43π-23D.43π-3第9题图【答案】C.【思路分析】首先连接AC，再结合菱形的性质及圆的知识得△ABO是等边三角形，可知∠AOC=120°，进而根据勾股定理求出AC，然后根据扇形的面积公式和菱形的面积公式计算，最后根据阴影部分的面积=扇形的面积-菱形的面积得出答案即可.【解题过程】如图所示.连接AC，交BD于点D，∵四边形OABC是菱形，∴AC⊥BD，AO=AB，AC=2AD，BO=2DO.∵AO=BO，∴AO=BO=AB，∴△ABO是等边三角形，则∠AOB=60°，同理∠BOC=60°，∴∠AOC=120°.∵AO=2，DO=1，在Rt△ADO中，AD=3.可知BO=2，AC=23，∴S扇形AOC=120π×22360=43π，S菱形OABC=12×2×23=23.则阴影部分的面积=S扇形AOC-S菱形OABC=43π-23.第9题图【知识点】菱形的性质，扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质5.（2022山东省淄博市，9，4分）如图，⊙O的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC的长为（A）2π（B）（C）（D）30\n【答案】D【思路分析】连接OC，通过∠BAC的度数求出∠AOC的度数，进而通过弧长公式求解.【解题过程】连接OC，∵∠BAC=50°，∴∠AOC=80°，∴，故选D.【知识点】弧长公式；圆周角与圆心角关系6.（2022宁波市，9题，4分）如图，在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则CD的长为A．16πB．13πC．23πD．233π【答案】C【解析】解：∵△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°∴∠B=60°;AD=BD=BC∴lCD=60∙π×2180=23π【知识点】特殊角的三角函数、弧长公式1.（2022湖南益阳，7，4分）如图，正方形ABCD内接于圆O，AB=4，则图中阴影部分的面积是（）30\nA．4π－16B．8π－16C．16π－32D．32π－16【答案】B【解析】连接OA，OB．∵四边形ABCD为正方形，∴∠AOB=90°．设OA=OB=r，则r2＋r2=42．解得:r=．S阴影=S⊙O－S正方形ABCD==8π－16故选择B．【知识点】与圆有关的计算，正多边形与圆2.（2022四川遂宁，6，4分）已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为120°，则扇形的面积是（）A．4πB．8πC．12πD．16π【答案】C.【解析】解：根据题意可得扇形的面积为.故选C.【知识点】扇形的面积计算公式3.（2022甘肃天水，T5，F4）已知圆锥的底面半径2cm，母线长为10cm，则这个圆锥的面积是（）A.20πcm2B.20cm2C.40πcm2D.40cm2【答案】A.【解析】S圆锥侧=12Rl=12×10×2×π×2=20π（cm2）.【知识点】圆锥侧面积30\n4.（2022甘肃天水，T7，F4）如图所示，点A、B、C在⊙O上.若∠BAC=45°，OB=2，则图中阴影部分的面积为（）A.π-4B.23π-1C.π-2D.23π-2【答案】C.【解析】∵∠BAC=45°，∴∠BOC=90°.则S扇形BOC=90×π×22360=π，SRt△BOC=12BO·CO=12×2×2=2.则阴影部分的面积为S扇形BOC-SRt△BOC=π-2.【知识点】扇形面积，圆周角定理5.（2022贵州遵义，8题，3分）若要用一个底面直径为10，高为12的实心圆柱体，制作一个底面半径和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为A.60πB.65πC.78πD.120π【答案】B【解析】圆锥的侧面是一个扇形，该扇形面积可以用来求，其中，l为扇形的弧长，即圆柱的地面周长，所以l=10π，r为扇形的半径，即圆柱底面圆心到另一个底面圆周上一点的距离，如图所示，所以，选B1210【知识点】勾股定理，扇形面积6.（2022山东德州，9，3分）如图,从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（）30\n第9题图A．B．C.D．【答案】A【解析】连接AC，因为∠ABC=90°，所以AC为⊙O的直径，所以AC=2，所以AB=，所以扇形的面积为.故选A.第9题答图【知识点】圆周角定理的推论，扇形面积7.（2022四川自贡，11，4分）已知圆锥的侧面积是，若圆锥底面半径为，母线长为，则关于的函数图象大致是（）【答案】A【解析】∵圆锥的侧面积公式为，∴，，故选择A.【知识点】圆锥的侧面积，反比例函数的图象8.（2022四川凉山州，11，4分）如图，AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，⊙O的直径为6cm，AB＝630\ncm，则阴影部分的面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】连接OC，∵AB与⊙O相切于点C，则可得OC垂直于AB,又因为OA=OB,则AC=BC(三线合一),BC＝cm,⊙O的直径为6cm，∴BC＝3，再根据三角形面积公式，计算则阴影部分的面积为，∵可判定出∠COB=60°，得∠AOB=120°，则阴影部分的面积为：△AOB的面积与圆面积的三分之一的差.故答案为C.(第11题答图)【知识点】切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，扇形的面积公式.9.（2022广西玉林，11题，3分）圆锥的主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是A.90°B.120°C.150°D.180°【答案】【解析】因为圆锥的主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，所以圆锥的底面直径为4，底面周长为4π，即侧面展开图扇形的弧长，同时可得出该扇形的半径为4，设圆心角为n，由弧长公式可得，所以n=180，故选D【知识点】三视图，弧长公式二、填空题1.（2022浙江金华丽水，16，4分）如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉弓的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm，∠B1D1C1=120°．（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为cm．（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为cm．30\n第16题图D1图1图2图3B1ACDBC1ACBDBCAD1D2DB1B2C1C2【答案】（1）30；（2）10－10．【解析】（1）连结B1C1交AD1于E，则AD1垂直平分B1C1．在Rt△B1D1E中,∵∠B1D1C1=120°，∴∠B1D1E=60°．∵B1D1=30，∴B1E=15．∴B1C1=30．故答案为30；（2）图2中，∵AD1=30cm，∠B1D1C1=120°，∴弓臂B1AC1的长==20π．图3中，∵弓臂B2AC2为半圆，∴20π=dπ，∴半圆的半径d=20．连结B2C2交AD2于E1，则AD2垂直平分B2C2．在Rt△B2D2E1中,D2E1===10．∴AD2=10＋20．∵AD1=30cm，∴D1D2=AD2－AD1=10－10．故答案为10－10．【知识点】勾股定理；特殊角的锐角三角函数值；弧长公式；2.（2022甘肃白银，17，4）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形。若等边三角形的边长为，则勒洛三角形的周长为：。第17题图【答案】【思路分析】每段圆弧的半径等于，圆心角都等于60°，由弧长公式可求，然后再乘以3即可。【解题过程】如图，∵AB=BC=CA=，∠A=∠B=∠C=60°。弧BC的半径为，圆心解为∠A=60°，由弧长公式得：弧BC==30\n所以勒洛三角形的周长=×3=。故填。【知识点】弧长公式，等边三角形的性质，新概念的理解。第17题答图3.（2022江苏连云港，第13题，3分）一个扇形的圆心角是120°，它的半径是3cm，则扇形的弧长为__________cm.【答案】2π【解析】解：由弧长公式，得：=2π，故答案为：2π.【知识点】弧长公式4.（2022山东聊城，15，3分）用一块圆心角为216°的扇形铁皮，做一个高为40cm的圆锥形工件（接缝忽略不计），那么这个扇形铁皮的半径是cm.【答案】50【解析】设这个扇形铁皮的半径是xcm，则圆锥的底面半径是（cm），由题意得，∴x=50（-50舍去），即这个扇形铁皮的半径是50cm.【知识点】圆的周长公式、扇形的弧长公式、勾股定理5.（2022山东潍坊，17，3分）如图，点A1的坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线l：于点B1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3；…．按此作法进行下去,则的长是.30\n【答案】【思路分析】根据直线l的解析式先求出圆心角的度数，结合OA1，OA2，OA3的长度得出OA2022的长度，即扇形的半径，利用弧长公式进行计算即可.【解题过程】把x=2代入可得，，∴∠A1OB1=60°.由OA1=2，得OB1=2OA1=4，故OA2=4，同理可得OA3=8，以此类推，可得OA2022=22022∴的长=【知识点】弧长计算，规律探索，一次函数6.（2022浙江绍兴，13，3分）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，，是圆上的点，为圆心，，从到只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路.通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：，取3.142）（第13题图）【答案】15【解析】过点O作OC⊥AB于点C，由，可得∠A=30°在△AOB中，∠A=30°OA=20m，可得AC=，即AB=≈34.64m≈69步；=≈41.89m≈84步，-AB=84-69=15步。30\n（第13题答图）【知识点】解直角三角形、弧长公式、弦的垂直平分线的性质7.（2022·重庆B卷，14，4）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）．14题图【答案】8－2π．【解析】∵正方形ABCD的边长为4，∴∠BAD＝90°，∠ABD＝45°，AB＝AD＝4．∴S阴影＝SRt△ABD－S扇形BAE＝×4×4－＝8－2π．【知识点】圆的有关计算扇形面积正方形8.（2022江苏省盐城市，15，3分）如图，左图是由若干个相同的图形（右图）组成的美丽图案的一部分．右图中，图形的相关数据：半径OA＝2cm,∠AOB＝120°．则右图的周长为___________cm（结果保留π）.【答案】【解析】∵半径OA＝2cm,∠AOB＝120°∴的长＝＝，的长＋的长＝，∴右图的周长＝＋＝.【知识点】弧长公式9.(2022山东青岛中考，13，3分)如图，，∠B=90°，∠C=30°，为上一点，，以30\n为圆心，以为半径的圆与相切于点，与相交于点，连接，则图中阴影部分的面积是．【答案】【解析】如图，作OG⊥AB于G，∵∠B=90°，∠C=30°，∴∠A=60°．∵OA=OF，∴△OAF是等边三角形，∴AF=OA=2，AG=1，∠AOF=60°，∴OG=．∵BC是⊙O的切线，∴OE⊥BC，∴四边形OEBG是矩形．∴BG=OE=2，∴AB=3．∵tanC=，即=，∴BC=3．S阴影=×3×3－×2×－=．【知识点】切线的性质；等边三角形的性质与判定；矩形的判定与性质；锐角三角函数；扇形面积公式；阴影部分面积的计算；10.（2022山东烟台，18，3分）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF的中点．以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF．把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为；将扇形DEF以同样的方法围成圆锥的底面半径记为，则=.30\n【答案】【解析】连接AO，OF，由题意，∠MON=∠DEF=120°，△AOF为等边三角形．设AF=2a=DE，∴AM=MF=a，∴OM=．∵2πr1=，2πr2=，∴=．【知识点】正多边形的计算；圆锥的有关计算公式；弧长公式.11.（2022浙江温州，12，5）..已知扇形的弧长为2π，圆心角为60°，则它的半径为.【答案】6【解析】利用扇形的弧长公式所以得，所以r=6【知识点】扇形的弧长公式1.（2022湖北鄂州，13，3分）一圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若该圆锥的底面圆的半径为4cm，则圆锥的母线长为．【答案】24cm．【解析】设母线长为R，由“圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长”得，，解得R＝24，即圆锥的母线长为24cm．【知识点】圆锥侧面展开图；弧长公式；圆面积公式2.（2022湖北鄂州，15，3分）在半径为2的⊙O中，弦AB＝2，弦AC＝2，则由弦AB、AC和∠BAC所对的圆弧围成的封闭图形的面积为．30\n【答案】2＋2．【解析】如下图，在△ABC中，AB＝2，BC＝2，AC＝4，则AB2＋BC2＝AC2，由勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，则由圆周角定理的推论可得AC是⊙O的直径，故由弦AB、AC和∠BAC所对的圆弧围成的封闭图形的面积为S△ABC＋S⊙O＝AB·BC＋·R2＝×2×2＋·22＝2＋2．【知识点】圆的面积；勾股定理的逆定理；三角形的面积3.（2022湖南郴州，15，3）如图，圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为.（结果用表示）【答案】12【解析】首先利用勾股定理求得圆锥的底面半径，然后利用圆周长＝π×底面半径×2，把相应数值代入即可求解．∵圆锥的高是8cm，母线长10cm，∴勾股定理得圆锥的底面半径为6cm，∴该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为：2×6π=12πcm．【知识点】圆锥的侧面开展图的弧长4.（2022·重庆A卷，14，4）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是（结果保留π）．14题图【答案】6－π．30\n【解析】∵S阴影＝S矩形ABCD－S扇形ADE＝3×2－＝6－π，∴答案为6－π．【知识点】．圆的有关计算；扇形面积5.（2022·新疆维吾尔、生产建设兵团，12，5如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是．【答案】π．【解析】∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴∠A＝60°．∴∠BOC＝2∠A＝120°．∵⊙O的半径为2，∴S阴影＝S扇形OBC＝＝π．故答案为π．【知识点】圆的有关计算；扇形面积；等边三角形；圆周角定理6.（2022贵州安顺，T16，F4）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60°,∠BCO=90°,将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B’OC',点C'在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为______cm2.(结果保留π)第16题图【答案】【解析】∵∠BOC=60°，△B＇OC'是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，∴∠B＇OC'=60°，△BOC≌△B＇OC'.∵∠BCO=90°，∴∠B＇C'O=90°，∠B＇OC=60°，∠C'B＇O=30°.∴∠B＇OB=120°.∵AB=2cm，cos∠BOC=,∴OB=1cm，OC=OC’=.∴cm²，cm².∵阴影部分的面积=+-(+)=-=cm².故答案为.【知识点】旋转的性质，扇形面积的计算，特殊角的三角函数值.30\n7.（2022湖北荆门，15，3分）如图，在平行四边形中，，，，以为直径的交于点，则阴影部分的面积为．【答案】.【解析】解：连接OE，过O点作OF⊥BE，垂足为F.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=4，∠D=∠A=30°，∴OB=2.∵OF⊥BE，∴OF=1，BF=，∠BOF=60°，∴∠BOE=120°，BE=2，∴S阴影=S扇形OBE-S△OBE==.故答案为.【知识点】平行四边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，扇形面积计算公式，三角形面积计算公式8.（2022湖南省永州市，16，4）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，1)，以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，则弧AB的长为．30\n【答案】π【解析】由点A（1，1），可得OA==，点A在第一象限的角平分线上，那么∠AOB=45°，再根据弧长公式计算，弧AB的长为π=π．因此，本题填：．【知识点】弧长的计算坐标与图形变化图形的旋转9.（2022河南，14，3分）如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△,其中点B的运动路径为弧BB′，则图中阴影部分的面积为．（第14题）【答案】【思路分析】本题是计算阴影部分的面积，解题的关键是观察出阴影部分的面积表示.连接和BD，由旋转及勾股定理可得＝BC＝2，＝ＣD＝1,＝BD＝＝，也易得四边形是梯形，再根据＝+――＝―，然后利用扇形及梯形的面积公式列式计算即可得解．【解题过程】解法一：如图所示，连接和BD．∵∠ACB＝90°,AC＝BC＝2,将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△∴＝ＣD＝1,＝BC＝2,∠＝∠＝∠＝90°,△≌△BCD（第14题）∴＝BD＝＝.ＣD∥∴＝+――＝―＝―＝故答案为解法二：如图所示，连接、BD、．∵∠ACB＝90°,AC＝BC＝2,将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△30\n∴＝ＣD＝1,＝BC＝2,∠＝∠＝∠＝90°,（第14题）∴＝BD＝＝.ＣD∥＝＝＝∴＝―+＝―+＝故答案为【知识点】旋转的性质，勾股定理，扇形面积的计算，梯形面积的计算10.（2022湖北省孝感市，12，3分）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中数据计算，这个几何体的表面积为．【答案】16π【解析】由三视图可判断出该几何体是圆锥，该圆锥的母线长为6cm，底面半径为2cm，故该圆锥的表面积=πrl+＋π=π×2×6+π×=16π.【知识点】由三视图判断几何体；圆锥的表面积.11.（2022江苏省宿迁市，13，3）已知，圆锥的底面半径为3cm，高为4cm，则圆锥的侧面积是cm2．【答案】15π【解析】∵圆锥的底面半径为3cm，高为4cm，∴母线长为5，底面周长是6π．∴侧面积为×5×6π＝15π（cm2）．故填15π．【知识点】圆锥的侧面积12.（2022江苏省宿迁市，18，3）如图，将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系中，定点A，B分别落在x，y轴的正半轴上，∠OAB＝60°，点A的坐标为（1，0）．将三角板ABC沿x轴向右作无滑动的滚动（先绕点A按顺时针方向旋转60°，再绕点C按顺时针方向旋转90°…）．当点B第一次落在x轴上时，则点B运动的路径与两坐标轴围成的图形面积是．30\nOxyACB第18题图【答案】【解析】∵∠OAB＝60°，OA＝1，∴AB＝2，BC＝．∴扇形ABB1的面积为π×22＝π，扇形C1BB2的面积为π×（）2＝π．△OAB与△ABC的面积之和为，∴点B运动的路径与两坐标轴围成的图形面积是π＋π＋＝．故填．A1C1B2OxyACB第18题答图B1【知识点】图形的旋转，扇形的面积三、解答题1.（2022四川省达州市，22，8分）已知，如图，以等边△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB、AC于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F.（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若等边△ABC的边长为8，求由、DF、EF围成的阴影部分的面积.第22题图【思路分析】（1）先根据等腰三角形的三线合一性质证点D是AB的中点，然后根据三角形中位线定理得OD∥AC，又DF⊥AC，所以OD⊥DF，所以DF是⊙O的切线；（2）根据阴影部分的面积＝△DEF的面积－所含的弓形面积列式计算可得．30\n【解题过程】解：（1）连接OD，CD．∵BC是直径，∴∠BDC＝90°．∵等边△ABC，∴点D是AB的中点．∵点O是BC的中点，∴根据三角形中位线定理得OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线；（2）连接OD，OE，DE．∵点D是AB的中点，点E是AC的中点，∴DE是△ADE的中位线．∵等边△ABC的边长为8，∴等边△ADE的边长为4．∵DF⊥AC，∴EF＝2，DF＝2．∴△DEF的面积＝·EF·DF＝×2×2＝2．∴△ADE的面积＝△ODE的面积＝4．∴扇形ODE的面积＝＝．∴阴影部分的面积＝△DEF的面积－所含的弓形面积＝2－（－4）＝6－．【知识点】三角形中位线定理；切线的判定；扇形面积公式2.（2022湖南衡阳，23，8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC分别交AC、AB的延长线于点E、F.（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若，，求的长度.（结果保留）30\n【思路分析】（1）连接OD，交BC于点G，由OA=OD和AD平分∠EAB，可得到∠OAD=∠ODA，进而得出OD∥AE，结合DE⊥AE，得到OD⊥EF，故可证得结论；（2）由题意和（1）中结论，可得到四边形CEDG是矩形，故DG=CE=2，再证得OG是△ABC的中位线，可得出OG=AC=2，故可得到⊙O的半径为4，进而得出∠BOD=60°，再用弧长公式求出的长度即可.【解题过程】解：（1）证明：如图，连接OD，交BC于点G..∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA.∵AD平分∠EAB，∴∠OAD=∠DAE.∴∠OAD=∠ODA.∴OD∥AE.∵DE⊥AE，∴OD⊥EF.∴EF是⊙O的切线.（2）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°.∴BC∥EF.又∵OD∥AE.∴四边形CEDG是平行四边形.∵DE⊥AE，∴∠E=90°.∴四边形CEDG是矩形.∴DG=CE=2.∵OD⊥EF，BC∥EF，∴OG⊥BC.∴CG=BG..∵OA=OB，∴OG=AC=2，∴OB=OD=4，∴∠BOD=60°，∴的长=×4=.30\n【知识点】切线的判定、矩形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形中位线定理、弧长公式3.（2022江苏泰州，22，10分）（本题满分10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E.（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=，DF=3，求图中阴影部分的面积.第22题图【思路分析】（1）DE与⊙O的公共点为D，所以连接DO，证明DE⊥OD即可，（2）显然图中阴影部分的面积等于扇形AOD的面积减去△DOF的面积，然后去为求两个面积而准备条件.【解题过程】解：（1）DE与⊙O相切，理由：连接DO，第22题答图∵AD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠ABD，∴∠ODB=∠CBD，∴OD∥BE，∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∵D为半径OD的外端，∴DE与⊙O相切；（2）∵AD平分∠ABC，DE⊥BC，30\nDF⊥AB，∴DE=DF=3，∵BE=，∴，∴∠CBD=30°，∴∠ABC=60°，∵OD∥BE，∴∠AOD=∠ABC=60°，∴，∴，∴==，∴图中阴影部分的面积为.【知识点】直线与圆的位置关系，扇形面积4.（2022山东临沂，23，9分）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)若BD＝，BE＝1，求阴影部分的面积.第23题图【思路分析】(1)过点O作OF⊥AC于点F，证明OF＝OD；(2)根据BD和BE的长，由勾股定理推算出⊙O的半径的长，结合三角函数推算出∠BOD、∠AOD和∠AOF的度数，然后根据三角形和扇形的面积公式求解.【解题过程】(1)过点O作OF⊥AC，垂足为点F，连接OD，OA.∵△ABC是等腰三角形，点O是底边BC的中点，∴OA也是△ABC的高线，也是∠BAC的平分线，∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB，又∵OF⊥AC，∴OF＝OD，即OF是⊙O的半径，30\n∴AC是⊙O的切线.(2)在Rt△BOD中，设OD＝OE＝x，则OB＝x＋1，由勾股定理，得：(x＋1)2＝x2＋()2，解得：x＝1，即OD＝OF＝1.∵tan∠BOD＝＝，∴∠BOD＝60°.∴∠AOD＝90°－∠BOD＝30°，∴AD＝AF＝OD×tan∠AOD＝.∴S阴影＝S四边形ADOF－S扇形DOF＝AD×OD×2－π×12＝－＝.【知识点】切线的判定和性质勾股定理阴影部分面积扇形面积三角函数5.（2022浙江湖州，21，8）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE＝ED；（2）若AB＝10，∠CBD＝36°，求AC的长．ACBOED第21题图【思路分析】（1）根据三角形中位线的性质可证；（2）根据平行线和等腰三角形的性质求出∠AOC的度数，然后再根据扇形的弧长公式计算．【解题过程】（1）证明∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．2分∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD．1分∴AE＝ED．1分（2）解由（1）得OC⊥AD，∴AC＝CD．∴∠ABC＝∠CBD＝36°．1分∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°．1分∴AC＝72π×5180＝2π．2分【知识点】圆，等腰三角形的性质，三角形的中位线，扇形的弧长1.（2022广东广州，25，14分）如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC．（1）求∠A+∠C的度数；（2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；（3）若AB=1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2=BE2+CE2，求点E运动路径的长度．30\n【思路分析】（1）根据四边形内角和为360°，结合已知条件即可求出答案；（2）将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAQ，连接DQ（如图），由旋转性质和等边三角形判定得△BDQ是等边三角形，由旋转的性质根据角的计算可得△DAQ是直角三角形，根据勾股定理得AD2＋AQ2＝DQ2，即AD2＋CD2＝BD2；（3）将△BCE绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接EF(如图)，由等边三角形判定得△BEF是等边三角形，结合已知条件和等边三角形性质可得AE2＝EF2＋AF2，即∠AFE＝90°，从而得出∠BFA＝∠BEC＝150°，从而得出点E是在以O为圆心，OB为半径的圆周上运动，运动轨迹为，根据弧长公式即可得出答案．【解析】（1）∵在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝30°．∴∠A＋∠C＝360°－∠B－∠D＝270°．（2）AD2＋CD2＝BD2．理由：如图，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得△BAD′，连接DD′．∵BD＝BD′，CD＝AD′，∠DBD′＝60°，∠BAD′＝∠C．∴△BDD′是等边三角形．∴DD′＝BD．又∠BAD＋∠C＝270°，∴∠BAD′＋∠C＝270°．∴∠DAD′＝90°．∴AD2＋AD′2＝DD′2．即AD2＋CD2＝BD2．（3）如图，将△BEC绕点B逆时针旋转60°得△BE′A，连接EE′．30\n∵BE＝BE′＝EE′，CE＝AE′，∠EBE′＝60°，∠BEC＝∠BE′A．∴△BEE′是等边三角形．∴∠BE′E＝60°．∵AE2＝BE2＋CE2，BE＝EE′，CE＝AE′．∴AE2＝EE′2＋AE′2．∴∠AE′E＝90°．∴∠BE′A＝150°．∴∠BEC＝150°．∴点E在以BC为弦，优弧所对的圆心角为300°的圆上．以BC为边在下方作等边△BCO，则O为圆心，半径BO＝1．∴点E运动路径为，＝＝．【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；全等三角形的性质与判定；多边形的内角和；弧长的计算；旋转的性质；运动路径问题2.（2022山东德州，22，12分）如图,是的直径,直线与相切于点,且与的延长线交于点.点是的中点.第22题图(1)求证:(2)若.的半径为3，一只蚂蚁从点出发，沿着爬回至点,求蚂蚁爬过的路程结果保留一位小数.【思路分析】(1)连接，由“点是的中点”得，结合，可证∥，易得；(2)先求的度数，再解直角三角形和求的长而得解．【解析】(1)证明：连接，第22题答图∵直线是的切线，∴，∴.∵点是的中点，∴．∵，∴，∴，∴∥，30\n∴，∴．（2）解：∵，∴，∴．∵，∴．∴，∴．在中，由勾股定理得:，的长．∴蚁蚂爬过的路程．【知识点】直线与圆的位置关系，圆中计算3.（2022湖北荆州，T23，F10）问题;已知均为锐角,,求的度数.探究:(1)用6个小正方形构造如图所示的网格图(每个小正方形的边长均为1),请借助这个网格图求出的度数;延伸:(2)设经过图中三点的圆弧与交于,求的弧长.【思路分析】①证三角形全等把∠a、∠b集中在一块②证三角形全等得到等腰直角三角形得到∠a+∠b=450【解题过程】（1）解：如图1所示，连接MH、AM，易证DQGA≌DHPM，∴∠a=∠MHP，∴∠a+∠b=∠AHM，易证DADM30\n≌DMCH，∠AMD=∠MHC，又∵∠HMC+∠MHC=900，∴∠HMC+∠AMD=900，又∵∠HMC+∠AMD+∠AMH=1800，∴∠AMH=900，又∵AM=HM，∴∠AHM=450,∴∠a+∠b=450.（2）解：如图2所示，连接OR，∵∠QMN=∠a,又∵tana=,易知O为QN的中点，OM=，由（1）可知∠ROM=900，弧MR=pOM=p.【知识点】三角形全等、弧长公式、等腰直角三角形.4.（2022四川攀枝花，22，8）(本小题满分8分)如图11，在△ABC中，AB=AC。以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F.(1)若⊙O的半径为3，∠CDF=15°，求阴影部分的面积；(2)求证：DF是⊙O的切线；(3)求证:∠EDF=∠DAC.【思路分析】（1）要求阴影面积，需要先求圆心角的度数，然后套用弓形面积公式即可；（2）要证DF是⊙O的切线，只要证明OF⊥DF即可；（3）作⊙O的直径DG，把转化为，然后再利用切线的性质可证。【解题过程】（1）∵DF⊥AC，，∴,∵AB=AC，∴，，连接OE，∵OA=OE,∴,∴，∴=。（2）连接OD、AD，∵AB是⊙O的直径，∴，∴AD⊥BC,30\n又∵AB=AC，∴BD=DC，OA=OB，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∴DF是⊙O的切线。（1）作直径DG，连接EG，则，，在，∵DF⊥OD，∴，∴【知识点】弓形的面积，切线的性质和判定，圆周角定理。5.（2022湖北省襄阳市，22，8分）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM、BN于点D、C,且CB=CE，(1)求证：DA=DE；(2)若AB=6，CD=，求图中阴影部分的面积.【思路分析】考查圆的综合性质，包括切线的性质与判定，切线长定理，求阴影部分面积等，对于学生综合能力，有一定要求，构造辅助线的方法比较常规，属于中档题；（1）连接OE，OC，先判定△OEC≌△OBC得出∠OEC=∠OBC=90°，从而判定CD是⊙O的切线，最后用切线长定理即可判定DA=DE;（2）过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，由切线长定理可知DC=BC+AD=①；由勾股定理计算FC的长为，即可得出BC-AD=②；联立①，②组成方程组即可求出BC的长，在Rt△OBC中，由tan∠BOC=得到∠BOC=60°；由△OEC≌△OBC得到∠BOE=2∠BOC=120°，最后根据S阴影部分=S四边形BCEO-S扇形OBE计算出阴影部分的面积即可.【解题过程】解：（1）证明：连接OE，OC，∵BN且⊙O于点B，∴∠OBN=90°.∵OE=OB，OC=OC，CE=CB，∴△OEC≌△OBC，∴∠OEC=∠OBC=90°，30\n∴CD是⊙O的切线.∵AD切⊙O于点A，∴DA=DE.（2）过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，∴AD=BF，DF=AB=6。∴DC=BC+AD=.∵FC=.∴BC-AD=，∴BC=.在Rt△OBC中，tan∠BOC=,∴∠BOC=60°.∵△OEC≌△OBC，∴∠BOE=2∠BOC=120°.∴S阴影部分=S四边形BCEO-S扇形OBE==.【知识点】全等三角形的判定、切线的性质和判定、切线长定理、勾股定理、扇形的面积30
