圆的有关性质一．选择题1．（2022兰州，12，3分）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（ ） A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm考点：垂径定理的应用；勾股定理．分析：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，由垂径定理可知AD=AB，设OA=r，则OD=r﹣2，在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求r的值．解答：解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，∵OD⊥AB，∴AD=AB=×8=4cm，设OA=r，则OD=r﹣2，在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r﹣2）2+42，解得r=5cm．故选C．点评：本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 2.（2022年佛山市，8，3分）半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（ ）A.3 B.4 C. D.分析：过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理可求出BD的长，在Rt△BOD中，利用勾股定理即可得出OD的长．解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，∵OB=3，AB=3，OD⊥AB，44\n∴BD=AB=×4=2，在Rt△BOD中，OD===．故选C．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用勾股定理求出OD的长是解答此题的关键3．（2022广东珠海，5，3分）如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（ ） A．36°B．46°C．27°D．63°考点：圆周角定理；平行四边形的性质．分析：根据BE是直径可得∠BAE=90°，然后在▱ABCD中∠ADC=54°，可得∠B=54°，继而可求得∠AEB的度数．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=54°，∴∠B=∠ADC=54°，∵BE为⊙O的直径，∴∠BAE=90°，∴∠AEB=90°﹣∠B=90°﹣54°=36°．故选A．点评：本题考查了圆周角定理及平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行四边形的性质得出∠B=∠ADC．4．（2022贵州安顺，10，3分）如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB=80°，则∠ACB等于（ ） A．100°B．80°C．50°D．40°考点：圆周角定理．分析：由圆周角定理知，∠ACB=∠AOB=40°．44\n解答：解：∵∠AOB=80°∴∠ACB=∠AOB=40°．故选D．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 5．（2022贵州毕节，12，3分）如图在⊙O中，弦AB=8，OC⊥AB，垂足为C，且OC=3，则⊙O的半径（ ） A．5B．10C．8D．6考点：垂径定理；勾股定理．专题：探究型．分析：连接OB，先根据垂径定理求出BC的长，在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出OB的长度．解答：解：连接OB，∵OC⊥AB，AB=8，∴BC=AB=×8=4，在Rt△OBC中，OB===．故选A．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 6．（2022湖北孝感，6，3分）下列说法正确的是（ ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．半圆（或直径）所对的圆周角是直角 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．若两个圆有公共点，则这两个圆相交44\n考点：圆与圆的位置关系；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．分析：利用圆与圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识进行判断即可解答：解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项错误；B、半圆或直径所对的圆周角是直角，故本选项正确；C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；D、两圆有两个公共点，两圆相交，故本选项错误，故选B．点评：本题考查了圆与圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识，牢记这些定理是解决本题的关键．7．（2022湖北宜昌，14，3分）如图，DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（ ） A．B．AF=BFC．OF=CFD．∠DBC=90°考点：垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．分析：根据垂径定理可判断A、B，根据圆周角定理可判断D，继而可得出答案．解答：解：∵DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，∴点D是优弧AB的中点，点C是劣弧AB的中点，A、=，正确，故本选项错误；B、AF=BF，正确，故本选项错误；C、OF=CF，不能得出，错误，故本选项错误；D、∠DBC=90°，正确，故本选项错误；故选C．点评：本题考查了垂径定理及圆周角定理，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理的内容，难度一般．8.．（2022湖南娄底，14，4分）如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB= 30° ．44\n考点：圆周角定理．分析：根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可得出答案．解答：解：由题意得，∠AOB=60°，则∠APB=∠AOB=30°．故答案为：30°．点评：本题考查了圆周角定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理的内容．9．（2022·泰安，9，3分）如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO＝32°，∠ACO＝38°，则∠BOC等于（ ） A．60°B．70°C．120°D．140°考点：圆周角定理．分析：过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求出θ＝2α＋2β．解答：解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D；△OAB中，OA＝OB，则∠BOD＝∠OBA＋∠OAB＝2×32°＝64°，同理可得：∠COD＝∠OCA＋∠OAC＝2×38°＝76°，故∠BOC＝∠BOD＋∠COD＝140°．44\n点评：本题考查了圆周角定理，涉及了等腰三角形的性质及三角形的外角性质，解答本题的关键是求出∠COD及∠BOD的度数． 10．（2022·潍坊，8，3分）如图，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP＝1：5，则CD的长为（）．A．B．C．D．答案：D．考点：垂径定理与勾股定理．点评：连接圆的半径，构造直角三角形，再利用勾股定理与垂径定理解决．11．（2022•徐州，5，3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为（ ） A．10 B．8 C．5 D．3考点：垂径定理；勾股定理．专题：探究型．分析：连接OC，先根据垂径定理求出PC的长，再根据勾股定理即可得出OC的长．解答：解：连接OC，∵CD⊥AB，CD＝8，∴PC＝CD＝×8＝4，在Rt△OCP中，44\n∵PC＝4，OP＝3，∴OC＝＝＝5．故选C．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．12．（2022·鞍山，5，2分）已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（ ） A．45°B．35°C．25°D．20°考点：圆周角定理．专题：探究型．分析：直接根据圆周角定理进行解答即可．解答：解：∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠ACB＝∠AOB＝45°．故选A．点评：本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 13.（2022•嘉兴4分）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（ ） A．2B．8C．2D．2【答案】D．【解析】∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，∴AC=AB=4，设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，在Rt△AOC中，44\n∵AC=4，OC=r﹣2，∴OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r﹣2）2，解得r=5，∴AE=2r=10，连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°，在Rt△ABE中，∵AE=10，AB=8，∴BE===6，在Rt△BCE中，∵BE=6，BC=4，∴CE===2．【方法指导】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．14.2022浙江丽水3分)一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是A.4B.5C.6D.815.（2022•绍兴4分）绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（ ）44\n A．4mB．5mC．6mD．8m【答案】D．【解析】连接OA，∵桥拱半径OC为5m，∴OA=5m，∵CD=8m，∴OD=8﹣5=3m，∴AD===4m，∴AB=2AD=2×4=8（m）；．【方法指导】此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意做出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理16.2022•绍兴4分）小敏在作⊙O的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：（1）作⊙O的两条互相垂直的直径，再作OA的垂直平分线交OA于点M，如图1；（2）以M为圆心，BM长为半径作圆弧，交CA于点D，连结BD，如图2．若⊙O的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是（ ）44\n A．BD2=ODB．BD2=ODC．BD2=ODD．BD2=OD【答案】C．【解析】如图2，连接BM，根据题意得：OB=OA=1，AD⊥OB，BM=DM，∵OA的垂直平分线交OA于点M，∴OM=AM=OA=，∴BM==，∴DM=，∴OD=DM﹣OM=﹣=，∴BD2=OD2+OB2===OD．【方法指导】此题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分母有理化的知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用17.（2022四川巴中，8，3分）如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于（ ） A．116°B．32°C．58°D．64°考点：圆周角定理．分析：由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°，继而求得∠A的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得答案．解答：解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，44\n∵∠ABD=58°，∴∠A=90°﹣∠ABD=32°，∴∠BCD=∠A=32°．故选B．点评：此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．18（2022四川乐山，9，3分）如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1）。过点P（0，－7）的直线l与⊙B相交于C、D两点，则弦CD长的所有可能的整数值有【】A．1个 B．2个 C．3个 D．4个19.（2022四川内江，12，3分）如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（ ）44\n A．cmB．cmC．cmD．4cm考点：圆心角、弧、弦的关系；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，运用圆周角定理，可证得∠DOB=∠OAC，即证△AOF≌△OED，所以OE=AF=3cm，根据勾股定理，得DE=4cm，在直角三角形ADE中，根据勾股定理，可求AD的长．解答：解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠CAD=∠BAD（角平分线的性质），∴=，∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，∴△AOF≌△OED，∴OE=AF=AC=3cm，在Rt△DOE中，DE==4cm，在Rt△ADE中，AD==4cm．故选A．点评：本题考查了翻折变换及圆的有关计算，涉及圆的题目作弦的弦心距是常见的辅助线之一，注意熟练运用垂径定理、圆周角定理和勾股定理．20．（2022江苏苏州，7，3分）如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于（）．A．55°B．60°C．65°D．70°【答案】C．【解析】如图，连接AC，因为AB是半圆的直径，所以∠ACB＝90°．因为∠ABC＝50°，所以∠BAC＝40°．因为点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，所以∠DAC＝25°．所以∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝40°＋25°＝65°．所以应选C．【方法指导】直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半，这些定理都是圆中计算角度时常用的定理．【易错警示】没有理解圆中角之间关系而出错．44\n21.（2022贵州安顺，10，3分）如图A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB=80°，则∠ACB等于()A．100° B．80° C．50° D．40°【答案】：D．【解析】∵∠AOB=80°,∴∠ACB=∠AOB=40°．【方法指导】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．由圆周角定理知，∠ACB=∠AOB=40°．22．（2022山东临沂，12，3分）如图，⊙O中，∠CBO＝45°，∠CAO＝15°，则∠AOB的度数是（）ABCOA．75°B．60°C．45°D．30°【答案】：B．【解析】连接OC，因为OB=OC,所以∠OCB＝∠CBO＝45°；因为OA=OC,所以∠OCA＝∠CAO＝15°;所以∠BCA=45°-15°=30°，所以∠AOB=2∠BCA=60°。【方法指导】在圆中，两条半径构成的三角形是一个等腰三角形，一条弧所对的圆心角是所对圆周角的2倍。23.（2022湖南益阳，12，4分）如图3，若是⊙的直径，cm，,则=cm．OAB图3C【答案】：5【解析】因为AB是直径，所以，又因为，所以BC==5.【方法指导】本题主要考查与圆有关的概念和性质，现在中考对圆的考查的难度已经降低，主要考查关于圆的基本概念和性质，以及一些基本的应用。44\n24．（2022山东滨州，4，3分）如图，在⊙O中圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的大小为A．156°B．78°C．39°D．12°【答案】：C．【解析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠BAC=∠BOC=39°.【方法指导】本题考查圆周角与圆心角的关系.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.25．（2022山东日照，10，4分）如图，在△ABC中，以BC为圆的直径分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE．若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是A.BD⊥ACB.AC2=2AB·AEC.△ADE是等腰三角形D.BC＝2AD.【答案】D【解析】∵BC为圆的直径，∴∠BDC=90°,即BD⊥AC。∵BD平分∠ABC，∴AD=DC.∴△ABC是等腰三角形。由题意得∠ADE=∠ABC,∠A为公共角，∴△ADE∽△ABC,∴,∴AC2=2AB·AE。∴△ADE是等腰三角形。故只有D不一定正确。【方法指导】本题是以圆为背景的几何证明题，涉及到的知道点等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质。26．（2022广东湛江，11，4分）如图，AB是⊙O的直径，∠AOC＝110°，则∠D=()A．25°B．35°C．55°D．70°44\n第11题图【答案】B.【解析】由于∠AOC＝110°，由∠BOC=70°,于是∠D=35°【方法指导】1.圆中通常把圆周角和圆心角以及它们所对的弧的度数进行转换，怎么转换需要根据题目的要求来确定。2.同圆的半径相等，有时还需要连接半径，用它来构造等腰三角形，有了等腰三角形，再利用等边对等角以及三线合一来进行证明和计算。【易错警示】一条弧与它所对圆心角的度数是1比1的关系，一条弧与它所对的圆周角是2比1的关系，计算时容易搞错。27．(2022四川成都，10，3分)如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝50°，则∠BOC的度数为()(A)40°(B)50°(C)80°(D)100°ABCO第10题图【答案】D．【解析】∵一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的度数的一半，∴∠O＝2∠A＝2×50°＝100°．故选D．【方法指导】与圆周角有关的计算，要注意两解的情况，防止漏解．28（2022四川宜宾，10，3分）如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于( )A．OM的长 B．2OM的长 C．CD的长 D．2CD的长【答案】A．44\n【解析】连接OA可得∠OAB=∠CBD,所以sin∠CBD=sin∠OAB==OM故本题选A.【方法指导】本题考查了（1）圆周角定理推论1：圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半；（2）等腰三角形“三线合一”；（3）锐角三角函数等知识.要求一个锐角的三角函数值若直接求不出来可求与它相等的角的三角函数值.29.（2022四川泸州，9，2分）已知的直径CD＝10cm，AB是的弦，，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（ ）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】先画出符合题意的图形，分两种情况：①当AO在Rt△ACM内部时，AC＝＝4(cm)；②当AO在Rt△ACM外部时，AC＝＝2(cm)；所以选C．【方法指导】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，分类讨论思想，画图能力．最大的难度在于画图时，考虑问题要全面．【易错警示】容易只画出一种图形而漏解，以致错选A或B．30.（2022四川雅安，10，3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB＝30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于E，则sin∠E的值为() A． B． C． D．【答案】A【解析】连CO，则CO⊥CD．因为∠COE＝2∠CDB＝60°，所以∠E＝30°，则sin∠E＝．【方法指导】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，特殊角的三角函数值，以及识图、推理能力．31．（2022四川南充，13，4分）点A，B，C是半径为15cm的圆上三点，∠BAC=36°，则的长为 cm．44\n【答案】：【解析】根据圆周角定理及弧长公式即可求得结果为.【方法指导】本题主要考察了一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半和弧长公式．根据题意画出图形尤为重要.二．填空题1．（2022兰州，18，4分）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒，点E在量角器上对应的读数是度．考点：圆周角定理．分析：首先连接OE，由∠ACB=90°，易得点E，A，B，C共圆，然后由圆周角定理，求得点E在量角器上对应的读数．解答：解：连接OE，∵∠ACB=90°，∴A，B，C在以点O为圆心，AB为直径的圆上，∴点E，A，B，C共圆，∵∠ACE=3×24=72°，∴∠AOE=2∠ACE=144°．∴点E在量角器上对应的读数是：144°．故答案为：144．点评：本题考查的是圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 2．（2022年佛山市，14，3分）图中圆心角∠AOB=30°，弦CA∥OB，延长CO与圆交于点D，则∠BOD= ．44\n分析：根据平行线的性质由CA∥OB得到∠CAO=∠AOB=30°，利用半径相等得到∠C=∠OAC=30°，然后根据圆周角定理得到∠AOD=2∠C=60°，则∠BOD=60°﹣30°=30°．解：解：∵CA∥OB，∴∠CAO=∠AOB=30°，∵OA=OC，∴∠C=∠OAC=30°，∴∠AOD=2∠C=60°，∴∠BOD=60°﹣30°=30°．故答案为30°．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．也考查了平行线的性质．3．（2022湖南郴州，13，3分）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，∠BAC=70°，则∠OCB= 20 °．考点：圆周角定理．分析：根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得：∠BOC=2∠BAC，在等腰三角形OBC中可求出∠OCB．解答：解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=70°，∴∠B0C=2∠BAC=2×70°=140°，∵OC=OB（都是半径），∴∠OCB=∠OBC=（180°﹣∠BOC）=20°．故答案为：20°．点评：此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．4．[2022湖南邵阳，17，3分]如图(五)所示，弦AB、CD相交于点O，连结AD、BC，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是_______..44\n图（五）知识考点：圆周角定理.审题要津：熟记“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半”即可解答.满分解答：解：∵弧AC=弧AC，∴∠B=∠D；∵弧BD=弧BD，∴∠A=∠C；.∠AOD=∠BOC（对顶角相等）；∠AOC=∠BOD（对顶角相等）.故答案为∠A=∠C，∠B=∠D，∠AOD=∠BOC，∠AOC=∠BOD中的任一个均可.名师点评：此题为开放性题目，答案不唯一.5．（2022湖南张家界，12，3分）如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD= 80° ．考点：圆周角定理；垂径定理．分析：根据垂径定理可得点B是中点，由圆周角定理可得∠BOD=2∠BAC，继而得出答案．解答：解：∵，⊙O的直径AB与弦CD垂直，∴=，∴∠BOD=2∠BAC=80°．故答案为：80°．点评：此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．6．（2022•徐州，16，3分）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠C＝30°，则∠AOB的度数为 ．44\n考点：圆周角定理．分析：根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得：∠AOB＝2∠C，进而可得答案．解答：解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠C＝30°，∴∠AOB＝2∠C＝2×30°＝60°．故答案为：60°．点评：此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．7．（2022上海市，14，4分）在⊙中，已知半径长为3，弦长为4，那么圆心到的距离为___________．8.（2022陕西，16，3分）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，CABCGHEF第16题图则GE+FH的最大值为．考点：此题一般考查的是与圆有关的计算，考查有垂径定理、相交弦定理、圆心角与圆周角的关系，及扇形的面积及弧长的计算公式等知识点。解析：本题考查圆心角与圆周角的关系应用，中位线及最值问题。连接OA，OB，因为∠ACB=30°，所以∠AOB=60°，所以OA=OB=AB=7，因为E、F中AC、BC的中点，所以EF==3.5，因为GE+FH=GH－EF，要使GE+FH最大，而EF为定值，所以GH取最大值时GE+FH有最大值，所以当GH为直径时，GE+FH的最大值为14-3.5=10.59.（2022四川内江，25，6分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为 24 ．考点：一次函数综合题．分析：44\n根据直线y=kx﹣3k+4必过点D（3，4），求出最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（13，0），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．解答：解：∵直线y=kx﹣3k+4必过点D（3，4），∴最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦，∵点D的坐标是（3，4），∴OD=5，∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0），∴圆的半径为13，∴OB=13，∴BD=12，∴BC的长的最小值为24；故答案为：24．点评：此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出BC最短时的位置．10．（2022贵州省黔西南州，14，3分）如图所示⊙O中，已知∠BAC=∠CDA=20°，则∠ABO的度数为 50° ．考点：圆周角定理．分析：连接OA，根据圆周角定理可得出∠AOB的度数，再由OA=OB，可求出∠ABO的度数．解答：解：连接OA，44\n由题意得，∠AOB=2（∠ADC+∠BAC）=80°，∵OA=OB（都是半径），∴∠ABO=∠OAB=（180°﹣∠AOB）=50°．故答案为：50°．点评：本题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．11.（2022湖北黄冈，13，3分）如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD＝4，EM=8，则所在圆的半径为．【答案】．【解析】连接OC，设圆的半径为r，由弦的垂直平分线经过圆心，知点O在EM上，则OC＝r，OM＝8－r．在Rt△OCM中，由勾股定理，得22＋(8－r)2＝r2，解得r＝．【方法指导】本题考查垂径定理及其推论，勾股定理，方程思想．如下图，在⊙O中，OC⊥AB于D，OA是半径，我们把OD叫做弦心距（即圆心到弦的距离），AD叫做半弦，求解与垂径定理相关的圆类计算问题时，通常需要把相关数量集中到由它们所组成的直角三角形中，运用勾股定理解决．事实上，若AB＝l，OA＝R，OD＝d，CD＝h，根据OA2＝AD2＋OD2及OC＝OD＋CD，当知道l、R、d、h中的任意两个量时，就可求出剩余的两个量．COBAD12.（2022江苏扬州，18，3分）如图，已知⊙O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，则EM＋FN=．44\n【答案】．【解析】分析：如图，延长ME交⊙O于G，根据圆的中心对称性可得FN=EG，过点O作OH⊥MN于H，连接MO，根据圆的直径求出OE，OM，再解直角三角形求出OH，然后利用勾股定理列式求出MH，再根据垂径定理可得MG=2MH，从而得解．解：如图，延长ME交⊙O于G．∵E、F为AB的三等分点，∠MEB=∠NFB=60°，∴FN=EG．过点O作OH⊥MN于H，连接MO．∵⊙O的直径AB=6，∴OE=OA－AE=×6－×6=1，OM=×6=3．∵∠MEB=60°，∴OH=OE•sin60°=1×=．在Rt△MOH中，MH===．根据垂径定理，MG=2MH=2×=．即EM＋FN=．所以应填．【方法指导】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，以及解直角三角形，作辅助线并根据圆的中心对称性得到FN=EG是解题的关键，也是本题的难点．【易错警示】不会作辅助线，不会运用圆的对称性．13．（2022广东广州，16，3分）如图7，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P44\n在第一象限，⊙P与x轴交于O,A两点，点A的坐标为（6,0），⊙P的半径为，则点P的坐标为____________.【答案】（3，2）.【解析】如图，作PB⊥OA于点B，连接PO∵点A的坐标为（6,0），∴OB=3，在Rt△POB中，PO=，OB=3，∴由勾股定理求得PB=2，所以，点P的坐标是（3，2），故答案填（3，2）.【方法指导】对于这类问题，通常都需先作已知弦的垂线段并连接半径，由垂径定理和勾股定理联合求解14．(2022湖南邵阳,17,3分)如图(五)所示，弦AB、CD相交于点O，连结AD、BC，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是_______..【答案】：∠A=∠C，∠B=∠D，∠∠AOD=∠BOC，∠AOC=∠BOD中的任一个均可.【解析】：∵∠A与∠C是同弧所对的圆周角，∴∠A=∠C（答案不唯一）．故答案为：∠A=∠C（答案不唯一）．【方法指导】：本题考查的是圆周角定理，此题属开放性题目，答案不唯一．15.(湖南株洲,13,3分)如图AB是⊙O的直径，∠BAC=420，点D是弦AC的中点，则∠DOC44\n的度数是度.【答案】：480【解析】:∵AB是⊙O的直径，∴OA=OC,∵∠A=42°,∴∠ACO=∠A=42°∵D为AC的中点，∴OD⊥AC，∴∠DOC=90°-∠DCO=90°-42°=48°．故答案为：48．【方法指导】:本题考查了垂径定理的知识，解题的关键是根据弦的中点得到弦的垂线.根据点D是弦AC的中点，得到OD⊥AC，然后根据∠DOC=∠DOA即可求得答．三．解答题1．（2022江西，16，3分）如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．（1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．【思路分析】图1点C在圆外，要画三角形的高，就是要过点B作AC的垂线，过点A作BC的垂线，但题目限制了作图的工具（无刻度的直尺，只能作直线或连接线段），说明必须用所给图形本身的性质来画图（这就是创新作图的魅力所在），作高就是要构造90度角，显然由圆的直径就应联想到“直径所对的圆周角为90度”.设AC与圆的交点为E,连接BE,就得到AC边上的高BE；同理设BC与圆的交点为D,连接AD,就得到BC边上的高AD，则BE与AD的交点就是△ABC的三条高的交点；题（2）是题（1）的拓展、升华，三角形的三条高相交于一点，受题（1）的启发，我们能够作出△ABC的三条高的交点P，再作射线PC与AB交于点D，则CD就是所求作的AB边上的高．[解]在图1中，点P即为所求；在图2中，CD即为所求．【方法指导】本题属创新作图题，是江西近年热点题型之一.考查考生对圆的性质的理解、读图能力，题（1）是要作点，题（2）是要作高，都是要解决直角问题，用到的知识就是44\n“直径所对的圆周角为直角”．2．[2022湖南邵阳，22，8分]如图(八)所示，某窗户由矩形和弓形组成.已知弓形的跨度AB=3m，弓形的高EF=1m.现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在圆O的半径.知识考点：垂径定理的实际应用.审题要津：根据垂直于弦的直径平分弦可知OE⊥AB，AF=FB，根据勾股定理即可求得圆的半径.满分解答：解：设⊙O的半径为r,则OF=r-1.由垂径定理，得BF=AB=1.5,OF⊥AB,由OF2+BF2=OB2，得(r-1)2+1.52=r2,解得r=.答：所在圆O的半径为.名师点评：本题考查了垂径定理及勾股定理的实际应用.3.（2022陕西，23，8分）（本题满分8分）OAEB第23题图DFC如图，直线与⊙O相切于点D，过圆心O作EF∥交⊙O于E、F两点，点A是⊙O上一点，连接AE，AF，并分别延长交直线于B、C两点；（1）求证：∠ABC+∠ACB=90°；（2）若⊙O的半径，BD=12，求tan∠ACB的值．考点：切线的性质应用，圆内角的性质的应用，正方形的判定与性质的应用及三角函数的定义及正切值的求法。构造矩形的过程与12年的类似。解析：切线的性质的应用是：有切线，连切点，得垂直。直径所对的圆周角是直角的应用及等价转化的思想的应用。（1）证明：如图，∵EF是⊙O的直径，∴∠EAF=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°（2）解：连接OD，则OD⊥BD．过点E作EH⊥BC，垂足为点H，OAEB第23题图DFCH∴EH∥OD∵EF∥BC，EH∥ODOE=OD∴四边形EODH是正方形．∴EH=HD=OD=544\n∵BD=12，∴BH=7，在Rt△BEH中，tan∠BEH=又∵∠ABC+∠BEH=90°,∠ABC+∠ACB=90°,∴∠ACB=∠BEH∴tan∠ACB．4.（2022四川绵阳，21，12分）如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE。（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若E是的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积。解（1）直线CD与⊙O相切。证明：连结AC，OA=OC，∠OAC=∠OCA，AC平分∠DAB，∠DAC=∠OAC，∠DAC=∠OCA，AD//OC，AD⊥CD，OC⊥CD，CD与⊙O相切。（2）连结OE，，点E是的中点，，∠DAC=∠ECA（相等的弧所对的圆周角相等），∠DAC=∠OAC（（1）中已证），∠ECA=∠OAC，CE//OA，AD//OC，四边形AOCE是平行四边形，CE=OA，AE=OC，OA=OC=OE=1，OC=OE=CE=OA=AE=1，四边形AOCE是菱形，△OCE是等边三角形，∠OCE=60º，∠OCD=90º，∠DCE=∠OCD-∠OCE=90º-60º=30º，AD⊥CD，在Rt△DCE中，ED=CE=,DC=cos30º•CE=,CE弧与CE弦所围成部分的面积=AE弧与AE弦所围成部分的面积，S阴影=S△DCE=•ED•DC=××=.答：图中阴影部分的面积为。5.（2022四川内江，25，12分）如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC．（1）求证：BC平分∠PDB；（2）求证：BC2=AB•BD；（3）若PA=6，PC=6，求BD的长．44\n考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：（1）连接OC，由PD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于PD，由BD垂直于PD，得到OC与BD平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，再由OC=OB，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换即可得证；（2）连接AC，由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到△ABC为直角三角形，根据一对直角相等，以及第一问的结论得到一对角相等，确定出△ABC与△BCD相似，由相似得比例，变形即可得证；（3）由切割线定理列出关系式，将PA，PC的长代入求出PB的长，由PB﹣PA求出AB的长，确定出圆的半径，由OC与BD平行得到△PCO与△DPB相似，由相似得比例，将OC，OP，以及PB的长代入即可求出BD的长．解答：（1）证明：连接OC，∵PD为圆O的切线，∴OC⊥PD，∵BD⊥PD，∴OC∥BD，∴∠OCB=∠CBD，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠CBD=∠OBC，则BC平分∠PBD；（2）证明：连接AC，∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD，∴△ABC∽△CBD，∴=，即BC2=AB•BD；44\n（3）解：∵PC为圆O的切线，PAB为割线，∴PC2=PA•PB，即72=6PB，解得：PB=12，∴AB=PB﹣PA=12﹣6=6，∴OC=3，PO=PA+AO=9，∵△OCP∽△BDP，∴=，即=，则BD=4．点评：此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．6．（2022贵州省六盘水，24，10分）（1）观察发现如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 ．（2）实践运用如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为 ．44\n（3）拓展延伸如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．考点：圆的综合题；轴对称-最短路线问题．分析：（1）观察发现：利用作法得到CE的长为BP+PE的最小值；由AB=2，点E是AB的中点，根据等边三角形的性质得到CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，再根据含30度的直角三角形三边的关系得CE=；（2）实践运用：过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，根据垂径定理得到CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，则AE的长就是BP+AP的最小值；由于的度数为60°，点B是的中点得到∠BOC=30°，∠AOC=60°，所以∠AOE=60°+30°=90°，于是可判断△OAE为等腰直角三角形，则AE=OA=；（3）拓展延伸：分别作出点P关于AB和BC的对称点E和F，然后连结EF，EF交AB于M、交BC于N．解答：解：（1）观察发现如图（2），CE的长为BP+PE的最小值，∵在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点∴CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，∴CE=BE=；故答案为；（2）实践运用如图（3），过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，∵BE⊥CD，∴CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，∵的度数为60°，点B是的中点，∴∠BOC=30°，∠AOC=60°，44\n∴∠EOC=30°，∴∠AOE=60°+30°=90°，∵OA=OE=1，∴AE=OA=，∵AE的长就是BP+AP的最小值．故答案为；（3）拓展延伸如图（4）．点评：本题考查了圆的综合题：弧、弦和圆心角之间的关系以及圆周角定理在有关圆的几何证明中经常用到，同时熟练掌握等边三角形的性质以及轴对称﹣最短路径问题． 7．（2022贵州省黔西南州，22，12分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；锐角三角函数的定义．专题：几何综合题．分析：（1）要证明CB∥PD，可以求得∠1=∠P，根据=可以确定∠C=∠P，又知∠1=∠C，即可得∠1=∠P；（2）根据题意可知∠P=∠CAB，则sin∠CAB=，即=，所以可以求得圆的直径．44\n解答：（1）证明：∵∠C=∠P又∵∠1=∠C∴∠1=∠P∴CB∥PD；（2）解：连接AC∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°又∵CD⊥AB，∴=，∴∠P=∠CAB，∴sin∠CAB=，即=，又知，BC=3，∴AB=5，∴直径为5．点评：本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质，解题时细心是解答好本题的关键． 8．（2022湖北省鄂州市，22，9分）已知：如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F．（1）求证：DE为⊙O的切线．（2）求证：AB：AC=BF：DF．44\n考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）连接OD、AD，求出CDA=∠BDA=90°，求出∠1=∠4，∠2=∠3，推出∠4+∠3=∠1+∠2=90°，根据切线的判定推出即可；（2）证△ABD∽△CAD，推出=，证△FAD∽△FDB，推出=，即可得出AB：AC=BF：DF．解答：证明：（1）连结DO、DA，∵AB为⊙O直径，∴∠CDA=∠BDA=90°，∵CE=EA，∴DE=EA，∴∠1=∠4，∵OD=OA，∴∠2=∠3，∵∠4+∠3=90°，∴∠1+∠2=90°，即：∠EDO=90°，∵OD是半径，∴DE为⊙O的切线；（2）∵∠3+∠DBA=90°，∠3+∠4=90°，∴∠4=∠DBA，∵∠CDA=∠BDA=90°，∴△ABD∽△CAD，∴=，44\n∵∠FDB+∠BDO=90°，∠DBO+∠3=90°，又∵OD=OB，∴∠BDO=∠DBO，∴∠3=∠FDB，∵∠F=∠F，∴△FAD∽△FDB，∴=，∴=，即AB：AC=BF：DF．点评：本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，是一道比较好的题目． 9．（2022湖北省十堰市，1，10分）如图1，△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，OE⊥CB于点E，以O为圆心，OD为半径作⊙O．（1）求证：⊙O与CB相切于点E；（2）如图2，若⊙O过点H，且AC=5，AB=6，连接EH，求△BHE的面积和tan∠BHE的值．考点：切线的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：（1）由CA=CB，且CH垂直于AB，利用三线合一得到CH为角平分线，再由OD垂直于AC，OE垂直于CB，利用角平分线定理得到OE=OD，利用切线的判定方法即可得证；44\n（2）由CA=CB，CH为高，利用三线合一得到AH=BH，在直角三角形ACH中，利用勾股定理求出CH的长，由圆O过H，CH垂直于AB，得到圆O与AB相切，由（1）得到圆O与CB相切，利用切线长定理得到BE=BH，如图所示，过E作EF垂直于AB，得到EF与CH平行，得出△BEF与△BCH相似，由相似得比例，求出EF的长，由BH与EF的长，利用三角形面积公式即可求出△BEH的面积；根据EF与BE的长，利用勾股定理求出FB的长，由BH﹣BF求出HF的长，利用锐角三角形函数定义即可求出tan∠BHE的值．解答：（1）证明：∵CA=CB，点O在高CH上，∴∠ACH=∠BCH，∵OD⊥CA，OE⊥CB，∴OE=OD，∴圆O与CB相切于点E；（2）解：∵CA=CB，CH是高，∴AH=BH=AB=3，∴CH==4，∵点O在高CH上，圆O过点H，∴圆O与AB相切于H点，由（1）得圆O与CB相切于点E，∴BE=BH=3，如图，过E作EF⊥AB，则EF∥CH，∴△BEF∽△BCH，∴=，即=，解得：EF=，∴S△BHE=BH•EF=×3×=，在Rt△BEF中，BF==，∴HF=BH﹣BF=3﹣=，则tan∠BHE==2．44\n点评：此题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． 10．（2022山东德州,20,8分）如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D点作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形。（1）求AD的长；（2）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明，说明理由。【思路分析】本题考查了圆的基本性质、直线与圆位置关系与平行四边形等.（1）根据平行四边形性质，通过添加辅助线（连接BD），再根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半可求出AD长；（2）连接OB，证OB⊥BC即可.【解】1）连接BD，则∠DBE=90，∵四边形BCOE是平行四边形，∴BC∥OE，BC=OE=1在Rt△ABD中，C为AD的中点，∴BC=AD=1∴AD=2（2）连接OB，由（1）得BC∥OD，且BC=OD。∴四边形BCDO是平行四边形又∵AD是⊙O的切线。∴OD⊥AD∴四边形BCDO是矩形。∴OB⊥BC∴BC是⊙O的切线【方法指导】本题以圆为背景，但考查了圆周角、圆的切线性质判定与性质、平行四边形、矩形等知识.一般情况下，证明一条直线是否为圆的切线，看这条直线是否过径外断，如果没有，哪可以添加这条辅助线，再证其相互垂直.44\n11．（2022湖南永州，23，10分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC上，∠A=30°，D为的中点．(1)求证:AB=BC；(2)求证:四边形BOCD是菱形．【思路分析员】（1）利用等角对等边来证；（2）证对角线互相垂直平分的四边形是菱形。【解】证明：（1）∵AB是⊙O的切线∴∠OBA=90°,∠AOB=90°-30°=60°∵OB=OC∴∠OBC=∠OCB∵∠AOB=∠OBC+∠OCB∴∠OCB=30°=∠A∴AB=BC(2)连接OD交BC于点M∵D是的中点∴OD垂直平分BC在直角△OMC中∵∠OCM=30°∴OC=2OM=OD∴OM=DM于是四边形BOCD是菱形【方法指导】（1）有切线一定用过切点的半径来证垂直关系，进而得出其它的有关系；（2）有了弧的中点一定会连接过中点的半径构造垂径定理的基本图形来证题。12．(2022山东烟台，24,8分)如图，AB是⊙O的直径．BC是⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D，E为弧AD上一点，连结AE，BE，BE交AC于点F,且44\n(1)求证CB=CF(2)若点E到弦AD的距离为1，求⊙O的半径.【思路分析】（1）利用以及∠E为公共角易证△AEF∽△BEA，进而可得∠5=∠4，然后证明∠2=∠3即可证出CF=BC.(2)通过证明⊿AEF∽⊿BEA.可得∠5=∠4∴点E为弧AD的中点，连接OE，利用垂径定理可得OE垂直平分AD.然后把转化成,设半径为R，运用方程思想列出方程即可求出圆的半径.【解】(1)证明：∵又∴⊿AEF∽⊿BEA.∴∠4=∠5.∵AB是直径，BC切⊙O于点B，∴∴∠1=∠3∵∠1=∠2∴∠2=∠3∴BC=CF∴(2)连结OE交AC于点G．由(1)知∠4=∠5，∴⌒AE=∴OE⊥AD.∴EG=144\n∵且∴设⊙O半径为r，则,解得.∴圆半径为【方法指导】本题考查了切线的性质，等腰三角形、垂径定理、圆周角定理的推论、三角形相似、三角函数以及方程思想的运用，本题综合能力较强，解题时注意仔细分析、观察图形，适当添加辅助线，才能将问题层层分解.13.（2022四川宜宾，22，8分）(本题满分8分)如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE．(1)求证：直线DE是⊙O的切线；(2)连接OC交DE于点F，若OF=CF，求tan∠ACO的值．【思路分析】（1）连接OD、OE、BD由△ODE≌△OBE证明OD⊥DE（∠ODE=90°）.（2）要求tan∠ACO的值首先应将∠ACO构造在直角三角形中，可过点O作AC的垂直平分线，因为O，E分别为AB,BC的中点可得OE为△ABC的中位线，因为OF=CF所以△DCF≌△EOF得到OE=CD=AD.根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出AB=AC，所以△ABC为等腰直角三角形，所以∠A=45°，由垂径定理及等腰三角形的性质可知OH=AH=DH，所以CH=3OH，故tan∠ACO=【解】 (1)连接OD、OE、BD．∵AB是⊙O的直径，∴∠CDB=∠ADB=90°，∵E点是BC的中点，∴DE=CE=BE．∵OD=OB，OE=OE，∴△ODE≌△OBE．∴∠ODE=∠OBE=90°，∴直线DE是⊙O的切线．(2)作OH⊥AC于点H，由(1)知，BD⊥AC，EC=EB．∵OA=OB，∴OE∥AC，且．∴∠CDF=∠OEF，∠DCF=∠EOF．44\n∵CF=OF，∴△DCF≌△EOF，∴DC=OE=AD．∴BA=BC，∴∠A=45°．∵OH⊥AD，∴OH=AH=DH．∴CH=3OH，∴tan∠ACO=．【方法指导】（1）证切线共有两种类型题①已知半径则证垂直.在证垂直时要充分运用题目中已有的直角.②不知半径则作垂直证半径.（2）要求一个锐角的三角函数值首先要把这个角构造在直角三角形中或把与这个角相等的角构造在直角三角形中.解决此类问题要注意三角形中位线、线段垂直平分线及三角形全等（相似）等知识的应用.14.（2022四川泸州，24，10分）如图，D为上一点，点C在直径BA的延长线上，且．（1）求证：；（2）求证：是的切线；（3）过点B作的切线交CD的延长线于点E，若BC＝12，tan＝，求BE的长．【答案】（1）证明：，∴△ACD～△DCB，∴，即，（2）证明：连OD，OE，如图，∵AB为直径，∴，即，又∵，而，44\n∴，∴，即，∴CD是的切线．（3）解：∵EB为的切线，∴ED＝EB，OE⊥BD．∴，∴．而tan＝，∴tan＝，∵Rt△CDO～△CBE，∴，∴，在Rt△CBE中，设BE＝x，∴，解得．即BE的长为5．【解析】（1）通过相似三角形（△ADC∽△DBC）的对应边成比例来证得结论；（2）如图，连接OD．欲证明CD是⊙O的切线，只需证明CD⊥OA即可；（3）通过相似三角形△EBC∽△ODC的对应边成比例列出关于BE的方程，通过解方程来求线段BE的长度即可．【方法指导】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；同时考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质．15（2022福建福州，20，12分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝1，AM＝2，AE＝]（1）求证BC是⊙O的切线；（2）求的长．AOMNEBC【思路分析】（1）由题意知三角形三条边长，可根据勾股定理逆定理得出△AME是直角三角形，从而得出∠AEM＝90°，再利用平行线的性质得出∠ABC＝∠AEM＝90°，从而证出BC是⊙O的切线．（2）欲求的长需先求得半径与圆心角，在Rt△AME中利用锐角三角函数易求出∠A44\n＝30°，利用垂径定理得出＝和EN＝EM＝1，再利用“在同圆中，同弧所对圆周角的度数等于所对圆心角的度数的一半”得出∠BON＝2∠A＝60°，连接ON，在Rt△ONE中运用锐角三角函数求出ON长，最后，应用弧长公式计算即可．解：（1）证明：∵ME＝1，AE＝，AM＝2．∴ME2＋AE2＝AM2∴∠AEM＝90°∵MN∥BC∴∠ABC＝∠AEM＝90°即OB⊥BC∴BC是⊙O的切线（2）解：连接ON在Rt△AME中，sinA＝＝∴∠A＝30°∵AB⊥MN∴＝，EN＝EM＝1∴∠BON＝2∠A＝60°在Rt△ONE中sin∠EON＝∴ON＝＝∴的长＝·＝π【方法指导】此题是一道以圆为载体设计锐角三角函数的综合性题目，主要考查了勾股定理逆定理、平行线的性质、切线的判定、垂径定理、锐角三角函数、弧长公式、圆周角与圆心角之间的关系等有关知识．掌握切线的判定方法，即作半径证垂直（已知点在圆上）；作垂直证相等（点不知是否在圆上）；垂径定理要掌握“知二推三”；锐角三角函数的应用要找准直角三角形，选准锐角三角函数．总之，熟练掌握基础知识是解答综合题目的根本．16.(2022湖南邵阳,22,8分)如图(八)所示，某窗户由矩形和弓形组成.已知弓形的跨度AB=3m，弓形的高EF=1m.现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在圆O的半径.44\n【解析】：解：设⊙O的半径为r,则OE=r-1.由垂径定理，得BF=AB=1.5,OF⊥AB,由OF2+BF2=OB2，得(r-1)2+1.52=r2,解得r=.答：所在圆O的半径为.【方法指导】：本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，此类题目通常采用把半弦，弦心距，半径三者放到同一个直角三角形中，利用勾股定理解答．17.(湖南株洲,20)已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C.⑴求∠BAC的度数；⑵求证：AD=CD.【解析】：⑴解：∵OB是⊙O的半径，直线BC与⊙O相切于点B∴∠ABC=90°∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠ABC=45°∵AB是⊙O的直径,即∠ADB=90°∴∠BAD=45°即∠BAC的度数为45°.⑵证明：由（1）可知△ADB与△CDB均为等腰直角三角形，且∠ADB=∠CDB=90°∴AD=DB=DC即AD=CD.【方法指导】:此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．44\n44
