专题四函数的图象与性质目录类型三二次函数的图象与性质类型二反比例函数的图象与性质类型一一次函数的图象与性质,数据剖析题型突破3一次函数的图象与性质一一次函数是初中函数内容的基础,其图象直观、形象地反映了自变量与函数的对应关系以及变化规律,不仅从形的角度刻画了一次函数的性质,同时也架起了联系一次函数与一元一次方程、二元一次方程、一元一次不等式的桥梁.利用一次函数的性质及变量的限制条件,可以解决某些实际生活中的选优问题.一次函数的图象与性质在中考中占有重要的地位,是中考热点之一.返回子目录题型讲解,数据剖析题型突破3一次函数的图象与性质一解决函数图象与性质的问题,关键是由一次函数的解析式确定函数图象,由函数图象的位置判断解析式中k,b的符号,体现了数学中非常重要的数形结合思想.解决此类问题依照以下步骤:(1)利用等量关系写出所求的函数关系式;(2)根据题目中的不等关系,求出自变量x的取值范围,借助一次函数的性质分析问题.返回子目录方法点拔解题技巧,(2020·河北模拟)小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发,沿同一条路相向而行.小玲开始跑步中途改为步行,到达图书馆恰好用30min.小东骑自行车以300m/min的速度直接回家.两人离家的路程y(m)与各自离开出发地的时间x(min)之间的函数图象如图所示.(1)家与图书馆之间的路程为m,小玲步行的速度为m/min;(2)求小东离家的路程y关于x的函数解析式,并写出自变量的取值范围;(3)求两人相遇的时间.返回子目录例题14000100,分析：(1)家与图书馆之间的路程即为开始时小东离家的距离,小玲步行的时间为20分钟,步行的路程为2000米,根据“速度=”计算;(2)先求出小东的骑车的时间,再用待定系数法或数量关系求函数关系式;(3)求出直线OA和CD的关系式,再求交点A的坐标(也可利用相等关系列一元一次方程求解).解析：(1)当x=0时,y=4000;小玲步行的速度为=100(m/min).(2)如图,∵小东从图书馆到家的时间x==(min),∴D.设CD的解析式为y=kx+b(k≠0),∵图象过D和C(0,4000)两点,,∴解得∴CD的解析式为y=-300x+4000.∴小东离家的路程y关于x的函数解析式为y=-300x+4000.设OA的解析式为y=k'x(k'≠0).∵图象过点A(10,2000),∴10k'=2000,∴k'=200.∴OA的解析式为y=200x(0≤x≤10).∴解得故两人相遇时间为第8分钟.返回子目录【高分点拨】本题主要考查了从函数图象中获取信息、用待定系数法求一次函数解析式、一次函数与一元一次方程的关系,了解上述知识点是解决问题的关键.,某班同学从学校出发去自然保护区旅行,一部分乘坐大客车先出发,余下的几人20min后乘坐小轿车沿同一路线出行.大客车中途停车等候,小轿车赶上来之后,大客车以出发时的速度的继续行驶,小轿车保持原速度不变.小轿车司机因路线不熟错过了景点入口,在驶过景点入口6km时,原路提速返回,恰好与大客车同时到达景点入口.两车距学校的路程s(单位:km)和行驶时间t(单位:min)之间的函数关系如图所示.请结合图象解决下面问题:(1)学校到自然保护区的路程为km,大客车途中停留了min,a=;返回子目录当堂检测140515,(2)在小轿车司机驶过自然保护区入口时,大客车离景点入口还有多远?(3)小轿车司机到达自然保护区入口时发现本路段限速80km/h,请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速?(4)若大客车一直以出发时的速度行驶,中途不再停车,那么小轿车折返后到达自然保护区入口,需等待分钟,大客车才能到达景点入口.10,返回子目录解:(1)学校到自然保护区的路程为40km,大客车途中停留了5min,设直线AD的解析式为s=k1t+b1,将(20,0)和(60,40)代入解析式中,得k1=1,b1=-20,∴s=t-20.将C(35,a)代入可求得a=15;(2)由(1)C(30,15),∴大客车开始的速度为15÷30=(km/min),(40-15)÷=35,35+35=70,∴E(70,40);设线段CE的解析式为s=kt+b(k≠0),将(35,15)和(70,40)代入解析式中,得k=,b=-10,,返回子目录∴s=t-10(35≤t≤70).当t=60时,s=.∴大客车离自然保护区入口还有40-=(km).(3)由直线CD的解析式s=t-20.当s=46时,t=66,6km÷(70-66)min=km/min=90km/h>80km/h,∴小司机折返时已经超速.(4)40÷=80(min),80-70=10(min).∴需等待10min,大客车才能到达自然保护区入口.,数据剖析题型突破3反比例函数的图象和性质二纵观近几年的全国各地中考压轴题,考查反比例函数k的几何意义、与几何的综合、与相似的结合经常出现,一是考查反比例函数中的坐标乘积不变性和面积不变性,二是考查反比例函数与一次函数的联系,试题综合性强,不断推陈出新.返回子目录题型讲解,数据剖析题型突破3反比例函数的图象和性质二解答这类题时,常常要利用函数的基本性质及其意义.另外,一般用待定系数法求函数的解析式;在同一个坐标系中,利用函数的图象与性质比较一次函数与反比例函数的大小;利用函数与方程组及不等式的关系解决综合问题等.所以同学们要熟练掌握一次函数和反比例函数的性质并会运用其解决某些实际问题,领会函数解析式与函数图象之间的联系,体会数形结合及转化的思想方法.返回子目录方法点拔,数据剖析题型突破3反比例函数的图象与性质二解决此类问题一般从三个方向出发:(1)借助图象的增减性完成比较大小和取值范围类问题的求解.(2)借助“k”的意义解决面积类问题的求解.(3)借助图象的对称性和交点坐标,完成综合类的问题.返回子目录解题技巧,(2021·南京模拟)如图,一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象交于A(2,m),B(n,-2)两点.过点B作BC⊥x轴,垂足为C,且S△ABC=5.(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)根据所给条件,请直接写出不等式k1x+b>的解集;(3)若P(p,y1),Q(-2,y2)是函数y=图象上的两点,且y1≥y2,求实数p的取值范围.返回子目录例题2,返回子目录分析：利用A,B的坐标求出反比例函数解析式、△ABC的面积,即可得出关于n的方程,最后代入反比例函数和一次函数的解析式,即可求出答案;(2)由图可知,点B的横坐标到原点的取值范围及点A的横坐标向右的取值范围即为所求;(3)根据反函数的图象和性质,当点P在第一象限时,p>0;当点P在第三象限时,p≤-2.解析：(1)把A(2,m),B(n,-2)代入y=得k2=2m=-2n,即m=-n,则A(2,-n),如图,过A作AE⊥x轴于E,过B作BF⊥y轴于F,延长AE,BF交于D,∵A(2,-n),B(n,-2),∴BD=2-n,AD=-n+2,BC=|-2|=2,,∵S△ABC=BC·BD,∴×2×(2-n)=5,解得n=-3,即A(2,3),B(-3,-2),把A(2,3)代入y=得k2=6,即反比例函数的解析式是y=;把A(2,3),B(-3,-2)代入y=k1x+b得解得k1=1,b=1,即一次函数的解析式是y=x+1.(2)∵A(2,3),B(-3,-2),∴不等式k1x+b>的解集是-3<x<0或x>2.(3)分为两种情况:当点P在第三象限时,要使y1≥y2,实数p的取值范围是p≤-2;当点P在第一象限时,要使y1≥y2,实数p的取值范围是p>0.即p的取值范围是p≤-2或p>0.,【高分点拨】本题考查了一次函数的反比例函数的交点问题,用待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式,一次函数和反比例函数的图象和性质,三角形的面积等知识点,主要考查学生运用性质进行计算的能力,题目比较好,有一定的难度,运用了数形结合的思想.,(2020·河北检测)如图,直线y=2x+2与x轴、y轴分别交于A,B两点,与反比例函数y=(x>0)的图象交于点M,过点M作MH⊥x轴于点H,且AB=BM,点N(a,1)在反比例函数y=(x>0)的图象上.(1)求k的值;(2)在x轴的正半轴上存在一点P,使得PM+PN的值最小,求点P的坐标;(3)点N关于x轴的对称点为N',把△ABO向右平移m个单位到△A'B'O'的位置,当N'A'+N'B'取得最小值时,请你在横线上直接写出m的值,m=.返回子目录当堂检测24.75,返回子目录解:(1)把x=0代入y=2x+2,得y=2×0+2=2,∴点B(0,2),即BO=2.∵BO∥MH,AB=BM,∴△AOB∽△AHM,AM=2AB.∴==,∴MH=2BO=4.∵点M在y=2x+2上,∴4=2x+2,得x=1,∴点M的坐标为(1,4).∵点M在反比例函y=(x>0)的图象上,∴4=,k=4.(2)如图,过点N作关于x轴的对称点N',连接MN',交x轴的正半轴于点P,则点P即为所求,此时PM+PN的值最小.,返回子目录∵点N(a,1)是反比例函y=(x>0)图象上的点,∴1=,a=4.∴点N的坐标为(4,1).∴点N'的坐标为(4,-1).设直线MN'的函数表达式y=kx+b,∵点M(1,4),N'(4,-1)在直线MN'上,∴解得∴y=-x+,∴当y=0时,x=,即点P的坐标为.(3)4.75.,二次函数是一个重要的函数模型,重点考查分类讨论,数形结合,函数与方程,转化与化归等数学思想.每年中考必考,难度适中,主要考查二次函数的图象与性质,以及二次函数与一次函数的关系及应用.二次函数性质和图象特征的应用的三个着手点:对称性、等面积、取值范围,有利于数学教师的课堂教学有针对性地开展.解答此类问题需要掌握二次函数的概念、图象和性质,画出草图观察分析,将函数的平移、最值、增减性等贯穿在草图中,此类问题就会迎刃而解.返回子目录题型讲解方法点拨,解决这类问题一般遵循这样的方法:(1)求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需将二次函数转化为一元二次方程;(2)求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;(3)根据图象的位置判断二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c的符号,或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置,要数形结合;解题技巧,(4)二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和图象上的已知点关于对称轴对称的点的坐标,或已知函数图象与x轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标;(5)与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式ax2+bx+c﹙a≠0﹚本身就是含有字母x的二次函数.,(2020·华师附中模拟)已知,点M为二次函数y=-(x-b)2+4b+1图象的顶点,直线y=mx+5分别交x轴、y轴于点A,B.(1)判断顶点M是否在直线y=4x+1上,并说明理由;(2)如图1,若二次函数图象也经过点A,B,且mx+5>-(x-b)2+4b+1,根据图象,写出x的取值范围;(3)如图2,点A坐标为(5,0),点M在△AOB内,若点C,D都在二次函数图象上,试比较y1与y2的大小.返回子目录例题3,返回子目录分析：(1)根据二次函数顶点式可以知道M(b,4b+1),即x=b,y=4b+1,消去b,得y=4x+1;(2)由题意知B(0,5),二次函数过点B,代入解析式可求得b的值,求得点A的坐标,再利用函数图象比较大小;(3)先通过点M在△AOB内得到b的取值范围,也就是抛物线的对称轴,再根据抛物线的对称性和增减性确定y1,y2大小关系.解析：(1)∵点M的坐标是(b,4b+1),∴把x=b代入y=4x+1,得y=4b+1,∴点M在直线y=4x+1上.,(2)如图3,∵直线y=mx+5与y轴交于点B,∴点B的坐标为(0,5).又∵B(0,5)在抛物线上,∴5=-(0-b)2+4b+1,解得b=2,∴二次函数的表达式为y=-(x-2)2+9,∴当y=0时,得x1=5,x2=-1.∴A(5,0),观察图象可得,当mx+5>-(x-b)2+4b+1时,x的取值范围为x<0或x>5.返回子目录,(3)如图4,∵直线y=4x+1与直线AB交于点E,与y轴交于点F,而直线AB的表达式为y=-x+5,解方程组得∴点E,F(0,1).∵点M在△AOB内,∴1<4b+1<,∴0<b<.返回子目录,返回子目录当点c,d关于抛物线对称轴(直线x=b)对称时,b-=-b,∴b=.且二次函数图象的开口向下,顶点m在直线y=4x+1上,综上:①当0<b<时,y1>y2;②当b=时,y1=y2;③当<b<时,y1<y2.【高分点拨】本题主要考查了二次函数解析式的求法及其与几何图形结合的综合应用.要会利用数形结合思想把代数和几何图形结合起来,利用二次函数对称轴的意义,即可比较函数值的大小.,已知二次函数y=ax2-2x+3经过点a(-3,0).(1)求该函数的解析式;(2)如图,点p是抛物线上在第二象限内的一个动点,且点p的横坐标为t,连接ac,pa,pc.①求△acp的面积s关于t的函数关系式;②求△acp的面积的最大值,并求出此时点p的坐标.返回子目录当堂检测3,返回子目录解:(1)∵抛物线y=ax2-2x+3经过点a(-3,0),∴0=a(-3)2-2×(-3)+3,解得a=-1.∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.(2)①如图,过点p作pn⊥ao于点n,交ac于点q.设直线ac的解析式为y=kx+b(k≠0),将a(-3,0),c(0,3)代入y=kx+b,得解得∴直线ac的解析式为y=x+3.,返回子目录∵点p在抛物线y=-x2-2x+3上,点q在直线ac上,∴点p的坐标为(t,-t2-2t+3),点q的坐标为(t,t+3),∴pq=yp-yq=-t2-2t+3-(t+3)=-t2-3t,∴s=s△pqc+s△pqa=(-t2-3t)×3=-t2-t.②∵s=-t2-t,∴当t=-=-时,smax=-×-×=.当t=-时,yp=--2×+3=.∴△acp的面积的最大值是,此时点p的坐标为.,1.(2021·河北模拟)已知二次函数y=x2-x+6的图象与x轴交于a,b两点,与y轴交于点c.(1)求a,b,c三点坐标;(2)求过b,c两点的一次函数的解析式;(3)如果p(x,y)是线段bc上的动点,试求△poa的面积s与x之间的关系式.返回子目录专题四高效测评,解：(1)当y=0时,x2-x+6=0,解得x1=4,x2=6,∴点a的坐标为(4,0),点b的坐标为(6,0);当x=0时,y=x2-x+6=6,∴点c的坐标为(0,6).(2)设过b,c两点的一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0),将b(6,0),c(0,6)代入y=kx+b,得解得∴过b,c两点的一次函数的解析式为y=-x+6.,(3)过点p作pe⊥x轴,垂足为e,如图.∵点p的坐标为(x,y)(0≤x<6),∴点e的坐标为(x,0),pe=y=-x+6,∴s=oa·pe=×4×(-x+6)=-2x+12(0≤x<6).,2.(2021·石家庄模拟)如图,正方形abcd的边长为2cm,e,f,g,h分别从a,b,c,d向b,c,d,a同时以0.5cm s="">0)的图象经过线段OA的端点A,O为原点,作AB⊥x轴于点B,点B的坐标为(3,0),tan∠AOB=.(1)求k的值;(2)将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置,反比例函数y=(x>0)的图象恰好经过DC上一点E,且DE∶EC=3∶1,求直线AE的函数表达式;(3)若直线AE与x轴交于点N,与y轴交于点M,请你探索线段AM与线段NE的大小关系,写出你的结论并说明理由.,解:(1)∵在Rt△OAB中,OB=3,tan∠AOB=,∴=,∴AB=4,∴点A的坐标为(3,4),∴k=xy=12.(2)∵DC由AB平移得到,DE：EC=3：1,∴点E的纵坐标为1.又∵点E在双曲线y=上,∴点E的坐标为(12,1),设直线AE的函数表达式为y=kx+b,则解得∴直线AE的函数表达式为y=-x+5.,(3)结论:AM=NE.理由:在表达式y=-x+5中,令y=0可得x=15,令x=0可得y=5,∴点M(0,5),N(15,0).如图,延长DA交y轴于点F,则AF⊥OM,且AF=3,OF=4,∴MF=OM-OF=1,∴由勾股定理,得AM===.∵CN=15-12=3,EC=1,∴根据勾股定理可得EN===,∴AM=NE.</b<时,y1<y2.【高分点拨】本题主要考查了二次函数解析式的求法及其与几何图形结合的综合应用.要会利用数形结合思想把代数和几何图形结合起来,利用二次函数对称轴的意义,即可比较函数值的大小.,已知二次函数y=ax2-2x+3经过点a(-3,0).(1)求该函数的解析式;(2)如图,点p是抛物线上在第二象限内的一个动点,且点p的横坐标为t,连接ac,pa,pc.①求△acp的面积s关于t的函数关系式;②求△acp的面积的最大值,并求出此时点p的坐标.返回子目录当堂检测3,返回子目录解:(1)∵抛物线y=ax2-2x+3经过点a(-3,0),∴0=a(-3)2-2×(-3)+3,解得a=-1.∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.(2)①如图,过点p作pn⊥ao于点n,交ac于点q.设直线ac的解析式为y=kx+b(k≠0),将a(-3,0),c(0,3)代入y=kx+b,得解得∴直线ac的解析式为y=x+3.,返回子目录∵点p在抛物线y=-x2-2x+3上,点q在直线ac上,∴点p的坐标为(t,-t2-2t+3),点q的坐标为(t,t+3),∴pq=yp-yq=-t2-2t+3-(t+3)=-t2-3t,∴s=s△pqc+s△pqa=(-t2-3t)×3=-t2-t.②∵s=-t2-t,∴当t=-=-时,smax=-×-×=.当t=-时,yp=--2×+3=.∴△acp的面积的最大值是,此时点p的坐标为.,1.(2021·河北模拟)已知二次函数y=x2-x+6的图象与x轴交于a,b两点,与y轴交于点c.(1)求a,b,c三点坐标;(2)求过b,c两点的一次函数的解析式;(3)如果p(x,y)是线段bc上的动点,试求△poa的面积s与x之间的关系式.返回子目录专题四高效测评,解：(1)当y=0时,x2-x+6=0,解得x1=4,x2=6,∴点a的坐标为(4,0),点b的坐标为(6,0);当x=0时,y=x2-x+6=6,∴点c的坐标为(0,6).(2)设过b,c两点的一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0),将b(6,0),c(0,6)代入y=kx+b,得解得∴过b,c两点的一次函数的解析式为y=-x+6.,(3)过点p作pe⊥x轴,垂足为e,如图.∵点p的坐标为(x,y)(0≤x<6),∴点e的坐标为(x,0),pe=y=-x+6,∴s=oa·pe=×4×(-x+6)=-2x+12(0≤x<6).,2.(2021·石家庄模拟)如图,正方形abcd的边长为2cm,e,f,g,h分别从a,b,c,d向b,c,d,a同时以0.5cm></b<.返回子目录,返回子目录当点c,d关于抛物线对称轴(直线x=b)对称时,b-=-b,∴b=.且二次函数图象的开口向下,顶点m在直线y=4x+1上,综上:①当0<b<时,y1></x<0或x>
