专题一函数图象的判断与分析目录类型一与实际问题结合类型三与动点结合类型二与几何图形结合,该类型题以实际生活为背景,用函数图象来描述实际问题,考查学生对函数图象的识图能力和分析问题的能力,并且让学生更深入地体会到数学来源于生活,在平时多关注生活中所蕴含的数学知识.此类型题,既表现了函数的基础性功能,又突出表现了它的应用性功能,展示了中考数学命题侧重核心素养的命题初衷.本类型题主要考查函数图象的变化特征,解题的关键是利用数形结合的数学思想方法.做题时要结合实际问题,抽象出数学模型,找出数量关系,分析其中的函数关系和特殊点的用意,结合函数图象解决问题.与实际问题结合一题型讲解方法点拨,解决此类问题依照以下步骤:第一,找起点,结合题中所给的自变量及因变量的取值范围,在图中找到相对应点并分析用意;第二,找特殊点,即交点或转折点,说明图象在此点处发生变化;第三,判断图象趋势,依据实际问题判断出函数增减性的意义;第四,与坐标轴相交情况,即此时另外一个量为0,此为特殊情况.解题技巧与实际问题结合一,(2021·南京二模)我市制米厂接到加工大米任务,要求5天内加工完220吨大米,制米厂安排甲、乙两车间共同完成加工任务,乙车间加工中途停工一段时间维修设备,然后改变加工效率继续加工,直到与甲车间同时完成加工任务为止.甲、乙两车间各自加工大米数量y(吨)与甲车间加工时间x(天)之间的关系如图①所示;未加工大米w(吨)与甲加工时间x(天)之间的关系如图②所示,请结合图象回答下列问题:例题1,(1)甲车间每天加工大米吨,a=.(2)求乙车间维修设备后,乙车间加工大米数量y(吨)与x(天)之间函数关系式.(3)若55吨大米恰好装满一节车厢,那么加工多长时间装满第一节车厢?再加工多长时间恰好装满第二节车厢?分析：(1)根据题意,由图②得出两个车间同时加工和甲单独加工的速度;(2)用待定系数法解决问题;(3)求出两个车间每天加工速度,分别计算两个55吨完成的时间.,解析：(1)由图象可知,第一天甲、乙共加工220-185=35(吨),第二天,乙停止工作,甲单独加工185–165=20(吨).则乙一天加工35–20=15(吨).a=15.故答案为20,15.(2)设y=kx+b,把(2,15),(5,120)代入得解得∴y=35x-55.,(3)由图②可知:当w=220–55=165时,恰好是第二天加工结束.当2≤x≤5时,两个车间每天加工速度为=55吨.∴再加工1天装满第二节车厢.【高分点拨】本题为一次函数实际应用问题,应用了待定系数法.解答要注意通过对比分析两个函数图象实际意义得到问题答案.,（2021·唐山模拟）如图1所示,在A,B两地之间有汽车站C站(AC>BC),客车由A地驶往C站,货车由B地驶往A地,两车同时出发,匀速行驶.图2是客车、货车离C站的路程y1,y2(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系图象.求:(1)A,B两地的距离;(2)在图2中点P的坐标.当堂检测1,解:(1)当t=0时,客车距C站360千米,货车距C站60千米,∴A,B两地的距离=60千米+360千米=420千米;(2)由图2可得货车行驶2小时后到达C站,即货车速度为60÷2=30(千米/小时),∴货车到达A站需要420÷30=14(小时),∴图2中点P坐标为(14,360).答:(1)A,B两地的距离为420千米;(2)图2中点P的坐标为(14,360).,函数与几何的综合问题是各地中考试题中需要重点关注的新题型,这类试题,将几何知识与函数知识有机地结合起来,重在考查学生灵活运用函数、几何的有关知识及创造性思维,通过分析、综合、概括和逻辑推理来解决数学综合问题的能力.函数与几何的综合题主要有两类:一类是几何元素间的函数关系问题,其特点是根据已知几何图形间的位置和数量关系(如平行、全等、相似,特别是成比例)建立自变量与函数所表示的几何元素间的等量关系,求出函数关系式,运用函数的性质去解决几与几何问题结合二题型讲解,何图形中的问题;另一类是函数图象中的几何图形的问题,其特点是根据已知函数图象中的几何图形的位置特征,运用数形结合的方法解决有关函数、几何问题.在中考考查题型中,数形结合思想贯穿始终,“数”可以准确地澄清“形”的模糊,而“形”能直观地启迪“数”的计算;使用数形结合的思想来解决问题时,要时刻注意由图形联想其性质,由性质联想相应的图形,从而使问题得以简单化、具体化.与几何问题结合二方法点拨,解决此类问题一般从两个方向出发：一是从条件与结论出发,就是根据已知和未知出发进行联想、推理,“由条件得结论”,“从要求到需求”,通过对问题的前后思量,使它们产生联系,从而使问题得以解决.二是寻找要解决的问题中各种量之间的等量关系,建立已知量与未知量间的等式,通过等式从而使问题得到解决.在运用这种思想时,要注意充分挖掘问题的隐藏条件,建立等量关系.与几何问题结合二解题技巧,(2020·锦州二模)如图,在Rt△PMN中,∠P=90°,PM=PN,MN=6cm,矩形ABCD中AB=2cm,BC=10cm,点C和点M重合,点B,C(M),N在同一直线上,令Rt△PMN不动,矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1cm的速度向右移动,至点C与点N重合为止.设移动x秒后,矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y,则y与x的大致图象是()例题2,分析：在解题时,要充分运用好Rt△PMN中垂直关系和45°角,因为此题也是点的移动问题,可知矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止,和Rt△PMN重叠部分的形状可分为下列三种情况:(1)0≤x≤2;(2)2<x≤4;(3)4<x≤6.根据重叠图形确定面积的求法,做出判断即可.,解析：∵∠p=90°,pm=pn,∴∠pmn=∠pnm=45°.由题意,得cm=x,分三种情况:①当0≤x≤2时,如图①,边cd与pm交于点e,∵∠pmn=45°,∴△mec是等腰直角三角形.此时矩形abcd与△pmn重叠部分是△emc,∴y=s△emc=cm·ce=x2.故选项b和d不正确.①,②如图②,当d在边pn上时,∵∠n=45°,cd=2,∴cn=cd=2.∴cm=6–2=4,即此时x=4.当2<x≤4时,如图③,矩形abcd与△pmn重叠部分是四边形emcd,过点e作ef⊥mn于点f,∴mf=ef=2.∴de=cf=x-2,∴y=s梯形emcd=cd·(de+cm)=×2×(x-2+x)=2x-2.②③,③当4<x≤6时,如图④,矩形abcd与△pmn重叠部分是五边形emcgf,过点e作eh⊥mn于点h,∴mh=eh=2,de=ch=x-2.∵mn=6,cm=x,∴cg=cn=6-x.∴df=dg=2-(6-x)=x-4.④∴y=s梯形emcd-s△fdg=cd·(de+cm)-dg2=×2×(x-2+x)-(x-4)2=-x2+6x-10.故选项a正确.【高分点拨】此题是动点问题的函数图象,有难度,主要考查等腰直角三角形的性质和矩形的性质的应用、动点运动问题的路程表示,注意数形结合和分类讨论思想的应用.,(2020·承德模拟)如图,在矩形abcd中,ab=4,bc=3,点p在cd边上运动,连接ap,过点b作be⊥ap,垂足为点e,设ap=x,be=y,则能反映y与x之间函数关系的图象大致是()当堂检测2,解析：∵四边形abcd为矩形,∴ab∥cd,ad=bc=3,∠d=∠dab=90°.∴∠apd=∠bae.∵be⊥ap,∴∠aeb=90°.∴△apd∽△bae.∴ap:ad=ab:be,即x:3=4:y.∴y=(3≤x≤5).故选b.,这类问题主要通过点的运动构成一种函数关系,生成函数图象,将运动与函数图象有机地结合在一起,体现了数形结合的思想,能充分考查学生的观察、分析、归纳、猜想的能力以及综合运用所学知识解决问题的能力.解答此类问题可以归纳为三步:“看”“算”“选”.(1)“看”就是认真观察几何图形,彻底弄清楚动点从哪出发,到哪停止,整个运动过程分为不同的几段,哪个点(时刻)是特殊点(时刻),这是准确解答的前提和关键.与动点结合三题型讲解方法点拨,(2)“算”就是计算、写出动点在不同阶段的函数解析式,注意一定要注明自变量的取值范围,求出在特殊点的函数值和自变量的值.(3)“选”就是根据解析式选择准确的函数图象或答案,多用排除法.首先,排除不符合函数类型的图象;其次,对于相同函数类型的函数图象,根据自变量的取值范围或函数数值的最大和最小值进行排除,选出准确答案.与动点结合三,解决这类问题一般遵循这样的方法:(1)根据题意确定出动点在不同的线段上运动时的范围,得到自变量x(或t)的取值范围;(2)在某一个确定的范围内,用含自变量x(或t)的代数式表示出所需的线段长,利用面积公式或三角形相似的性质,表示出所求图形的面积或线段比,化简得出y(或s)关于x(或t)的关系式;(3)根据关系式,结合自变量的取值范围,判断出函数图象.与动点结合三解题技巧,如图,菱形abcd的边长是4厘米,∠b=60°,动点p以1厘米>50,∴每月上网时间为35h时,选择B方式最省钱,结论C正确;设当x≥50时,yB=mx+n,将(50,50),(55,65)代入yB=mx+n,得∴yB=3x-100(x≥50),当x=70时,yB=3x-100=110<120,∴结论D错误.故选D.,3.(2021·邯郸模拟)如图,大小两个正方形在同一水平线上,小正方形从图①的位置开始,匀速向右平移,到图③的位置停止运动.如果设运动时间为x,大小正方形重叠部分的面积为y,则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是()解析:依题意,阴影部分的面积函数关系式是分段函数,面积从0开始由“增加→不变→减少”变化.故选C.,4.(2021·河北模拟)已知点P为某个封闭图形边界上一定点,动点M从点P出发,沿其边界顺时针匀速运动一周,设点M的运动时间为x,线段PM的长度为y,表示y与x的函数图象大致如图所示,则该封闭图形可能是()解析：选项B中的图形是菱形,在每边上运动所需的时间相等;选项C中的图形是等腰梯形,y与x的图象不对称;选项D中的图形是圆,y与x的图象只有两部分,它们均不符合所给图象.故选A.,5.(2021·南京二模)“龟兔赛跑”这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先,但它因为骄傲在途中睡觉,而乌龟一直坚持爬行最终赢得比赛,下列函数图象可以体现这一故事过程的是()解析:乌龟匀速爬行,兔子因在比赛中间睡觉,导致开始领先,最后输掉比赛,所以直线表示乌龟,折线段表示兔子,跑到终点兔子用的时间多于乌龟所用的时间.A中,乌龟用时多,不合题意;C中,兔子和乌龟用时相同,不合题意;D中,乌龟虽然用时少,但图象显示比赛一开始,乌龟的速度就大于兔子的速度,不合题意;只有B符合题意.,6.(2021·孝感模拟)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=3cm,BC=6cm,动点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动.若P,Q两点分别从A,B两点同时出发,点P到达点B运动停止,则△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是(),解析：根据题意表示出△PBQ的面积S与t的关系式,进而得出答案.由题意可得PB=3-t,BQ=2t,则△PBQ的面积S=PB·BQ=(3-t)×2t=-t2+3t,故△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象,开口向下,故选C.,7.(2020·苏州模拟)某工厂用50天时间生产一款新型节能产品,每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购,在生产过程中,由于技术的不断更新,该产品第x天的生产成本y(元/件)与x(天)之间的关系如图所示,第x天该产品的生产量z(件)与x(天)满足关系式z=-2x+120.(1)第40天,该厂生产该产品的利润是元;(2)设第x天该厂生产该产品的利润为w元.①求w与x之间的函数关系式,并指出第几天的利润最大,最大利润是多少?②在生产该产品的过程中,当天利润不低于2400元的共有多少天?,解:(1)由图象可知,第40天时的成本为40元,此时的产量为z=-2×40+120=40,则第40天的利润为(80-40)×40=1600元.(2)①设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0),把(0,70),(30,40)代入,得∴直线AB的解析式为y=-x+70.(Ⅰ)当0<x≤30时,w=[80-(-x+70)](-2x+120)=-2x2+100x+1200=-2(x-25)2+2450,∴当x=25时,w最大值=2450;,(ⅱ)当30<x≤50时,w=(80-40)×(-2x+120)=-80x+4800,∵w随x的增大而减小,∴当x=31时,w最大值=2320,∴w=第25天的利润最大,最大利润为2450元.,②(ⅰ)当0<x≤30时,令-2(x-25)2+2450=2400,解得x1=20,x2=30,∵抛物线w=-2(x-25)2+2450开口向下,由其图象可知,当20≤x≤30时,w≥2400,此时,当天利润不低于2400元的天数为30–20+1=11天;(ⅱ)当30<x≤50时,由①可知当天利润均低于2400元.综上所述,当天利润不低于2400元的共有11天.,8.(2020·唐山路北模拟)在一条笔直的公路上依次有a,c,b三地,甲、乙两人同时出发,甲从a地骑自行车去b地,途经c地休息1分钟,继续按原速骑行至b地,甲到达b地后,立即按原路原速返回a地;乙步行从b地前往a地.甲、乙两人距a地的路程y(米)与时间x(分钟)之间的函数关系如图所示,请结合图象解答下列问题:(1)请写出甲的骑行速度为米>3此种情况不符合题意;②当3<x<-1时,即3<x<,甲、乙都在a,c之间,∴1020-240x=60x-180,解得x=4;③当<x<6时,甲在b,c之间,乙在a,c之间,∴240x-1020=60x-180,解得x=，此种情况不符合题意;abc,④当x=6时,甲到b地,距离c地180米,乙距c地的距离:6×60-180=180(米),即x=6时两人距c地的路程相等;⑤当x>6时,甲在返回途中,当甲在B,C之间时,180-[240(x-1)-1200]=60x-180,x=6,此种情况不符合题意;当甲在A,C之间时,240(x-1)-1200-180=60x-180,解得x=8.综上所述,在甲返回A地之前,经过4分钟或6分钟或8分钟时两人距C地的路程相等.</x<-1时,即3<x<,甲、乙都在a,c之间,∴1020-240x=60x-180,解得x=4;③当<x<6时,甲在b,c之间,乙在a,c之间,∴240x-1020=60x-180,解得x=，此种情况不符合题意;abc,④当x=6时,甲到b地,距离c地180米,乙距c地的距离:6×60-180=180(米),即x=6时两人距c地的路程相等;⑤当x></x≤30时,w=[80-(-x+70)](-2x+120)=-2x2+100x+1200=-2(x-25)2+2450,∴当x=25时,w最大值=2450;,(ⅱ)当30<x≤50时,w=(80-40)×(-2x+120)=-80x+4800,∵w随x的增大而减小,∴当x=31时,w最大值=2320,∴w=第25天的利润最大,最大利润为2450元.,②(ⅰ)当0<x≤30时,令-2(x-25)2+2450=2400,解得x1=20,x2=30,∵抛物线w=-2(x-25)2+2450开口向下,由其图象可知,当20≤x≤30时,w≥2400,此时,当天利润不低于2400元的天数为30–20+1=11天;(ⅱ)当30<x≤50时,由①可知当天利润均低于2400元.综上所述,当天利润不低于2400元的共有11天.,8.(2020·唐山路北模拟)在一条笔直的公路上依次有a,c,b三地,甲、乙两人同时出发,甲从a地骑自行车去b地,途经c地休息1分钟,继续按原速骑行至b地,甲到达b地后,立即按原路原速返回a地;乙步行从b地前往a地.甲、乙两人距a地的路程y(米)与时间x(分钟)之间的函数关系如图所示,请结合图象解答下列问题:(1)请写出甲的骑行速度为米></x≤4;(3)4<x≤6.根据重叠图形确定面积的求法,做出判断即可.,解析：∵∠p=90°,pm=pn,∴∠pmn=∠pnm=45°.由题意,得cm=x,分三种情况:①当0≤x≤2时,如图①,边cd与pm交于点e,∵∠pmn=45°,∴△mec是等腰直角三角形.此时矩形abcd与△pmn重叠部分是△emc,∴y=s△emc=cm·ce=x2.故选项b和d不正确.①,②如图②,当d在边pn上时,∵∠n=45°,cd=2,∴cn=cd=2.∴cm=6–2=4,即此时x=4.当2<x≤4时,如图③,矩形abcd与△pmn重叠部分是四边形emcd,过点e作ef⊥mn于点f,∴mf=ef=2.∴de=cf=x-2,∴y=s梯形emcd=cd·(de+cm)=×2×(x-2+x)=2x-2.②③,③当4<x≤6时,如图④,矩形abcd与△pmn重叠部分是五边形emcgf,过点e作eh⊥mn于点h,∴mh=eh=2,de=ch=x-2.∵mn=6,cm=x,∴cg=cn=6-x.∴df=dg=2-(6-x)=x-4.④∴y=s梯形emcd-s△fdg=cd·(de+cm)-dg2=×2×(x-2+x)-(x-4)2=-x2+6x-10.故选项a正确.【高分点拨】此题是动点问题的函数图象,有难度,主要考查等腰直角三角形的性质和矩形的性质的应用、动点运动问题的路程表示,注意数形结合和分类讨论思想的应用.,(2020·承德模拟)如图,在矩形abcd中,ab=4,bc=3,点p在cd边上运动,连接ap,过点b作be⊥ap,垂足为点e,设ap=x,be=y,则能反映y与x之间函数关系的图象大致是()当堂检测2,解析：∵四边形abcd为矩形,∴ab∥cd,ad=bc=3,∠d=∠dab=90°.∴∠apd=∠bae.∵be⊥ap,∴∠aeb=90°.∴△apd∽△bae.∴ap:ad=ab:be,即x:3=4:y.∴y=(3≤x≤5).故选b.,这类问题主要通过点的运动构成一种函数关系,生成函数图象,将运动与函数图象有机地结合在一起,体现了数形结合的思想,能充分考查学生的观察、分析、归纳、猜想的能力以及综合运用所学知识解决问题的能力.解答此类问题可以归纳为三步:“看”“算”“选”.(1)“看”就是认真观察几何图形,彻底弄清楚动点从哪出发,到哪停止,整个运动过程分为不同的几段,哪个点(时刻)是特殊点(时刻),这是准确解答的前提和关键.与动点结合三题型讲解方法点拨,(2)“算”就是计算、写出动点在不同阶段的函数解析式,注意一定要注明自变量的取值范围,求出在特殊点的函数值和自变量的值.(3)“选”就是根据解析式选择准确的函数图象或答案,多用排除法.首先,排除不符合函数类型的图象;其次,对于相同函数类型的函数图象,根据自变量的取值范围或函数数值的最大和最小值进行排除,选出准确答案.与动点结合三,解决这类问题一般遵循这样的方法:(1)根据题意确定出动点在不同的线段上运动时的范围,得到自变量x(或t)的取值范围;(2)在某一个确定的范围内,用含自变量x(或t)的代数式表示出所需的线段长,利用面积公式或三角形相似的性质,表示出所求图形的面积或线段比,化简得出y(或s)关于x(或t)的关系式;(3)根据关系式,结合自变量的取值范围,判断出函数图象.与动点结合三解题技巧,如图,菱形abcd的边长是4厘米,∠b=60°,动点p以1厘米>
