与切线有关的证明及计算针对演练1.(2022钦州8分)如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC＝∠A.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)连接OC，如果OC恰好经过弦BD的中点E，且tanC＝，AD＝3，求直径AB的长．第1题图2.(2022黔东南州12分)如图，已知PC平分∠MPN，点O是PC上任意一点，PM与⊙O相切于点E，交PC于A、B两点．(1)求证：PN与⊙O相切；(2)如果∠MPC＝30°，PE＝2，求劣弧的长．第2题图3.(2022朝阳8分)如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且∠BDE＝∠A.(1)判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；(2)若AC＝16，tanA＝，求⊙O的半径．第3题图8\n4.(2022抚顺12分)如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF.(1)求证：CF与⊙O相切；(2)若AD＝2，F为AE的中点，求AB的长．第4题图5.(2022南通8分)如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB＝60°.(1)求∠P的度数；(2)若⊙O的半径长为4cm，求图中阴影部分的面积．第5题图6.(2022青海8分)如图，在△ABC中，∠B＝60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点M，CM交⊙O于点D.(1)求证：AM＝AC；(2)若AC＝3，求MC的长．第6题图7.(2022丹东10分)如图，AB是⊙O的直径，＝，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C.(1)若OA＝CD＝2，求阴影部分的面积；(2)求证：DE＝DM.8\n第7题图【答案】题型三与切线有关的证明及计算1.(1)证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠D=90°，∴∠ABD+∠A=90°，∵∠DBC=∠A，∴∠DBC+∠ABD=90°，即AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；(4分)(2)解：∵DE=BE，∴OE⊥BD，∴∠EOB+∠OBE=∠EOB+∠C=90°，∴∠OBE=∠C，∴tan∠ABD＝tan∠OBE=tan∠C=，即，∴BD=2AD=6，在Rt△ABD中，AB=.(8分)2.(1)证明：如解图，连接OE，过O作OF⊥PN于F.8\n第2题解图∵PM与⊙O相切于点E，∴OE⊥PM，∵PC平分∠MPN，∴OE=OF，∴PN是⊙O的切线.(6分)(2)解：∵在Rt△POE中，∠EPO=30°，PE=,∴OE=PEtan∠EPO==2，∵∠EOB是△PEO的外角，∴∠EOB=∠EPO+∠PEO=30°+90°=120°，∴劣弧的长.(12分)3.解：(1)DE与⊙O相切于点D.理由如下：如解图，连接OD，第3题解图∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠ODB=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA,∵∠BDE=∠BAD，∴∠ODA=∠BDE,∴∠BDE+∠ODB=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线.(4分)(2)∵DE⊥BC，DO⊥DE，∴DO∥BC，8\n∴∠ADO=∠C，∴∠BAC=∠C，∴AB=BC，∵BD⊥AC，AC=16，∴AD=CD=8.在Rt△ABD中，tanA=，设BD=3k，则AD=4k，由勾股定理得AB=5k，∴，解得AB=10，∴⊙O的半径OA=5.(8分)4.(1)证明：连接OF、OC，如解图.第4题解图∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∠ADC＝90°，∵E是BC的中点，AO=DO,∴AO=AD,EC=BC,∴四边形OAEC是平行四边形，∴AE∥OC，∴∠DOC＝∠OAF，∠FOC＝∠OFA，∵OA=OF,∴∠OAF=∠OFA，∴∠DOC＝∠FOC，∵OD＝OF，OC=OC，∴△ODC≌△OFC(SAS)，∴∠OFC＝∠ODC＝90°，∴OF⊥CF，∴CF与⊙O相切.(6分)(2)解：连接DE，如解图，∵AO=DO,AF=EF,AD=2,∴DE=2OF=2,∵E是BC的中点，∴CE=1,在Rt△DCE中，由勾股定理得CD＝，∴AB=CD=.(12分)8\n5.解：(1)如解图，连接OA，OB交⊙O于点D.第5题解图∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∴∠PAO＝90°，∠PBO＝90°.∴∠AOB+∠P＝180°.∵∠AOB＝2∠ACB＝120°，∴∠P＝60°.(4分)(2)如解图，连接OP.∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∴∠APO＝∠APB＝30°.∵在Rt△APO中，tan30°＝，∴AP＝，∵OA＝4cm，∴AP＝4cm.∴S阴影＝2（S△AOP-S扇形AOD）2×＝cm2.(8分)6.(1)证明：如解图，连接OA,AD.第6题解图∵∠B=60°，∴∠ADC=60°.∵CD是⊙O的直径，∴∠DAC=90°,∴∠ACD=30°.∵OA=OD，∴△AOD是等边三角形，8\n∴∠AOD=60°.∵AM是⊙O的切线，∴∠OAM=90°,∴∠M=30°，∴∠ACD=∠M，∴AC=AM.(4分)(2)解：由(1)可得，在Rt△ACD中，AD=AC=∵△AOD是等边三角形，∴AD=OD=OA=OC=,∵在Rt△OAM中，∠M=30°，∴OM=2OA=2,∴MC=OM+OC=3.(8分)7.(1)解：连接OD,如解图①,第7题解图①∵CD是⊙O的切线,∴OD⊥CD，∵OA=CD=2，OA=OD，∴OD=CD=2，∴△OCD为等腰直角三角形，∴∠DOC=∠C=45°，∴S阴影=S△OCD-S扇形OBD＝×2×2-=4-π.(5分)(2)方法一证明：连接AD.如解图①，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ADM=90°，又∵，8\n∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，∴△AMD≌△ABD(ASA)，∴DM=BD，∴DE=DM.(10分)②方法二证明：连接BE.如解图②，第7题解图∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠MEB=90°，∴∠DEM+∠BED=90°，∠M+∠MBE=90°，又∵，∴∠DBE=∠BED，∴∠DEM=∠M，∴DE=DM.(10分)8
