专题二 解答重难点题型突破题型一 简单几何图形的证明与计算类型一 特殊四边形的探究1．(2017·开封模拟)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，以边AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F.(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)若BC＝2，E是半圆上一动点，连接AE、AD、DE.填空：①当的长度是__________时，四边形ABDE是菱形；②当的长度是__________时，△ADE是直角三角形.2．(2017·商丘模拟)如图，已知⊙O的半径为1，AC是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线BC，E是BC的中点，AB交⊙O于D点．(1)直接写出ED和EC的数量关系：；(2)DE是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；(3)填空：当BC＝__________时，四边形AOED是平行四边形，同时以点O、D、E、C为顶点的四边形是__________.9
3．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝5cm，点E从点A出发沿射线AD以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t(s)．(1)连接EF，当EF经过BD边的中点G时，求证：△DGE≌△BGF；(2)填空：①当t为__________s时，△ACE的面积是△FCE的面积的2倍；②当t为__________s时，四边形ACFE是菱形.4．(2017·新乡模拟)如图，AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F.(1)求证：AE＝CF；(2)连接AF，CE.①当EF和AC满足条件__________时，四边形AFCE是菱形；②若AB＝1，BC＝2，∠B＝60°，则四边形AFCE为矩形时，EF的长是__________．类型二 几何问题的证明与计算1．(2017·周口模拟)如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E.(1)求证：AC∥DE；(2)连接CD，若OA＝AE＝2时，求出四边形ACDE的面积．9
2．(2017·湘潭)如图，在▱ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若AB＝2BC，∠F＝36°.求∠B的度数.9
3．(2017·山西)如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C的⊙O的切线交于点D.(1)若AC＝4，BC＝2，求OE的长．(2)试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由.4．(2017·杭州)如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长.9
题型一 简单几何图形的证明与计算类型一 特殊四边形的探究1．(1)证明：连接OD，如解图，∵∠BAC＝90°，点D为BC的中点，∴DB＝DA＝DC，∵∠B＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴∠DAB＝∠ADB＝60°，∠DAC＝∠C＝30°，而OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝30°，∴∠ODB＝60°＋30°＝90°，∴OD⊥BC，又∵OD是⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线；(2)解：①连接OD、OE，∵△ABD为等边三角形，∴AB＝BD＝AD＝CD＝，在Rt△ODC中，OD＝CD＝1，当DE∥AB时，DE⊥AC，∴AD＝AE，∵∠ADE＝∠BAD＝60°，∴△ADE为等边三角形，∴AD＝AE＝DE，∠ADE＝60°，∴∠AOE＝2∠ADE＝120°，∴AB＝BD＝DE＝AE，∴四边形ABDE为菱形，此时，的长度＝＝π，②当∠ADE＝90°时，AE为直径，点E与点F重合，此时的长度＝＝π，当∠DAE＝90°时，DE为直径，∠AOE＝2∠ADE＝60°，此时的长度＝＝π，所以当的长度为π或π时，△ADE是直角三角形.2．解：(1)连接CD，如解图，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∵E是BC的中点，∴DE＝CE；(2)DE是⊙O的切线．理由如下：9
连接OD，如解图，∵BC为切线，∴OC⊥BC，∴∠OCB＝90°，即∠2＋∠4＝90°，∵OC＝OD，ED＝EC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，即∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；(3)当BC＝2时，∵CA＝CB＝2，∴△ACB为等腰直角三角形，∴∠B＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴DE⊥BC，DE＝BC＝1，∵OA＝DE＝1，AO∥DE，∴四边形AOED是平行四边形；∵OD＝OC＝CE＝DE＝1，∠OCE＝90°，∴四边形OCED为正方形.3．(1)证明：∵G为BD的中点，∴BG＝DG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠EDG＝∠FBG，∠GED＝∠GFB，∴△DGE≌△BGF(AAS)；(2)解：①分两种情况考虑：当点F在线段BC上时，如解图①，连接AC，EC，设菱形ABCD边BC上的高为h，由题意知S△ACE＝AE·h，S△FCE＝CF·h，∵△ACE的面积是△FCE的面积的2倍，∴AE·h＝2×CF·h，∴AE＝2CF，∵AE＝t，CF＝5－2t，∴t＝2(5－2t)，解得t＝2；当点F在线段BC的延长线上时，如解图②，连接AC，EC，AE＝t，CF＝2t－5，∵△ACE的面积是△FCE的面积的2倍，∴AE＝2CF，∴t＝2(2t－5)，解得t＝；②∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝5，当四边形ACFE为菱形时，则AE＝AC＝CF＝5，即t＝5.4．(1)证明：∵AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO.∵O是AC的中点，∴OA＝OC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF(ASA)．∴AE＝CF.(2)解：①当EF和AC满足条件EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形；如解图所示，9
∵AE∥CF，AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形；②若四边形AFCE为矩形，则EF＝AC，∠AFB＝∠AFC＝90°，∵AB＝1，BC＝2，∠B＝60°，∴∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝，∴AF＝BF＝，CF＝2－＝，∴AC＝＝＝，∴EF＝.类型二 几何问题的证明与计算1．证明：(1)∵F为弦AC的中点，∴AF＝CF，∴OD⊥AC，∵DE切⊙O于点D，∴OD⊥DE，∴AC∥DE；(2)∵AC∥DE，且OA＝AE，∴F为OD的中点，即OF＝FD，又∵AF＝CF，∠AFO＝∠CFD，∴△AFO≌△CFD(SAS)，∴S△AFO＝S△CFD，∴S四边形ACDE＝S△ODE.在Rt△ODE中，OD＝OA＝AE＝2，∴OE＝4，∴DE＝＝＝2，∴S四边形ACDE＝S△ODE＝·OD·DE＝×2×2＝2.2．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠D＝∠ECF，在△ADE和△FCE中，，9
∴△ADE≌△FCE(ASA)；(2)解：∵△ADE≌△FCE，∴AD＝FC，∵AD＝BC，AB＝2BC，∴AB＝FB，∴∠BAF＝∠F＝36°，∴∠B＝180°－2×36°＝108°.3．解：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝2，∴OA＝AB＝，∵OD⊥AB，∴∠AOE＝∠ACB＝90°，又∵∠A＝∠A，∴△AOE∽△ACB，∴＝，即＝，解得：OE＝；(2)∠CDE＝2∠A，理由如下：连接OC，如解图所示：∵OA＝OC，∴∠1＝∠A，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∴∠2＋∠CDE＝90°，∵OD⊥AB，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠3＝∠CDE，∵∠3＝∠A＋∠1＝2∠A，∴∠CDE＝2∠A.4．解：(1)结论：AG2＝GE2＋GF2.理由：如解图，连接CG.∵四边形ABCD是正方形，∴A、C关于对角线BD对称，∵点G在BD上，∴GA＝GC，∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°，∴四边形EGFC是矩形，∴CF＝GE，在Rt△GFC中，∵CG2＝GF2＋CF2，∴AG2＝GF2＋GE2；(2)如解图，作AH⊥BG于点H，由题意得∠AGB＝60°，∠ABH＝45°，∴△ABH是等腰直角三角形，9
∵AB＝1，∴AH＝BH＝，HG＝，∴BG＝.9
