课时训练(二十九) 与圆有关的计算(限时:30分钟)|夯实基础|1.[2022·咸宁]如图K29-1,☉O的半径为3,四边形ABCD内接于☉O,连接OB,OD,若∠BOD=∠BCD,则劣弧BD的长为( )图K29-1A.πB.32πC.2πD.3π2.[2022·丽水]如图K29-2,点C是以AB为直径的半圆O的三等分点,AC=2,则图中阴影部分的面积是( )图K29-2A.4π3-3B.4π3-23C.2π3-3D.2π3-323.[2022·南京]已知正六边形的边长为2,则它的内切圆的半径为( )A.1B.3C.2D.2313\n4.[2022·常州]已知圆锥的底面半径是1,母线长是3,则圆锥的侧面积是 . 5.[2022·菏泽]一个扇形的圆心角为100°,面积为15πcm2,则此扇形的半径长为 cm. 6.[2022·兴化一模]如图K29-3,以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点,交直角边AC于点E.B,E是半圆O的三等分点,若OA=2,则图中阴影部分的面积为 . 图K29-37.[2022·重庆B卷]如图K29-4,在边长为4的正方形ABCD中,以点B为圆心,以AB为半径画弧,交对角线BD于点E,则图中阴影部分的面积是 (结果保留π). 图K29-48.[2022·德州]如图K29-5,AB是☉O的直径,直线CD与☉O相切于点C,且与AB的延长线交于点E,点C是BF的中点.(1)求证:AD⊥CD;(2)若∠CAD=30°,☉O的半径为3,一只蚂蚁从点B出发,沿着BE-EC-CB爬回至点B,求蚂蚁爬过的路程(π≈3.14,3≈1.73,结果保留一位小数).13\n图K29-59.[2022·泰州]如图K29-6,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,∠ABC的平分线交☉O于点D,DE⊥BC于点E.(1)试判断DE与☉O的位置关系,并说明理由;(2)过点D作DF⊥AB于点F,若BE=33,DF=3,求图中阴影部分的面积.图K29-613\n10.[2022·淮安]如图K29-7,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,切点为A,BC交☉O于点D,点E是AC的中点.(1)试判断直线DE与☉O的位置关系,并说明理由;(2)若☉O的半径为2,∠B=50°,AC=4.8,求图中阴影部分的面积.图K29-7|拓展提升|11.如图K29-8①,半径为R,圆心角为n°的扇形面积是S扇形=nπR2360.由弧长l=nπR180,得S扇形=nπR2360=12·nπR180·R=12lR.通过观察,我们13\n发现S扇形=12lR类似于S三角形=12底×高.类比扇形,我们探索扇环(如图②,两个同心圆围成的圆环被扇形截得一部分叫做扇环)的面积公式及其应用.(1)设扇环的面积为S扇环,AB的长为l1,CD的长为l2,线段AD的长为h(即两个同心圆半径R与r的差),类比S梯形=12×(上底+下底)×高,用含l1,l2,h的代数式表示S扇环,并证明.(2)用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环花园,线段AD的长h为多少时,花园的面积最大,最大面积是多少?图K29-813\n12.[2022·镇江]如果三角形三边的长a,b,c满足a+b+c3=b,那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”.如三边长分别为1,1,1或3,5,7,…的三角形都是“匀称三角形”.(1)如图K29-9①,已知两条线段的长分别为a,c(a<c).用直尺和圆规作一个最短边、最长边的边长分别为a,c的“匀称三角形”(不写作法,保留作图痕迹).(2)如图②,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点D,过点D作☉O的切线交AB的延长线于点E,交AC于点F.若BECF=53,判断△AEF是否为“匀称三角形”?请说明理由.图K29-913\n参考答案1.C [解析]∵∠BAD=12∠BOD=12∠BCD,∠BAD+∠BCD=180°,∴∠BOD=120°.又∵☉O的半径为3,∴BD的长为120π·3180=2π.故选C.2.A [解析]如图,连接OC,∵点C是半圆的三等分点,∴∠AOC=60°,∴△AOC是等边三角形,∠BOC=120°,由三角形面积公式求得S△BOC=3,由扇形的面积公式求得S扇形BOC=120·π×22360=4π3,∴S阴影=S扇形BOC-S△BOC=4π3-3,故选A.3.B [解析]如图,连接OA,OB,OG.13\n∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形,∴△OAB是等边三角形,∴OA=AB=2,∴OG=OA·sin60°=2×32=3,∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为3.故选B.4.3π [解析]圆锥的侧面积为πrl=π×1×3=3π.5.36 [解析]因为圆心角为100°,面积为15πcm2,所以由扇形面积公式S=nπR2360得R=360Snπ=360×15π100π=36(cm).6.323-23π7.8-2π [解析]∵正方形ABCD的边长为4,∴∠BAD=90°,∠ABD=45°,AB=AD=4.∴S阴影=SRt△ABD-S扇形BAE=12×4×4-45π×42360=8-2π.8.解:(1)证明:连接OC,∵直线CD是☉O的切线,∴OC⊥CD,∴∠OCE=90°.13\n∵点C是BF的中点,∴∠CAD=∠CAB.∵OA=OC,∴∠CAB=∠ACO,∴∠CAD=∠ACO,∴AD∥CO,∴∠ADC=∠OCE=90°,∴AD⊥CD.(2)∵∠CAD=30°,∴∠CAB=∠ACO=30°,∴∠COE=∠CAB+∠ACO=60°.∵∠OCE=90°,∴∠E=180°-90°-60°=30°.∴OE=2OC=6,∴BE=OE-OB=3.在Rt△OCE中,由勾股定理得:CE=OE2-OC2=62-32=33,BC的长l=60π×3180=π,∴蚂蚁爬过的路程为3+33+π≈11.3.9.解:(1)DE与☉O相切,13\n理由:连接DO,∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠ABD,∵OD=OB,∴∠ODB=∠ABD,∴∠ODB=∠CBD,∴OD∥BE,∵DE⊥BC,∴DE⊥OD,∵D为半径OD的外端,∴DE与☉O相切.(2)∵BD平分∠ABC,DE⊥BC,DF⊥AB,∴DE=DF=3.∵BE=33,∴tan∠CBD=DEBE=33,∴∠CBD=30°,∴∠ABC=60°.∵OD∥BE,∴∠AOD=∠ABC=60°,∴OD=DFsin∠AOD=23,∴OF=3,∴S阴影部分=S扇形AOD-S△DOF=60π×(23)2360-12×3×3=2π-332,∴图中阴影部分的面积为2π-332.10.解:(1)DE与☉O相切,理由如下:连接AD,OD.13\n∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴△ADC为直角三角形.∵点E是AC的中点,∴EA=ED,∴∠EAD=∠EDA.∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∵AC是☉O的切线,∴∠BAC=90°,∴∠OAD+∠EAD=90°,∴∠ODA+∠EDA=90°,即∠EDO=90°,∴DE与☉O相切.(2)连接OE.∵AC是☉O的切线,∴∠BAC=90°,∴△BAC为直角三角形.∵E为AC的中点,O为AB的中点,∴OE∥BC,OE=12BC.∵AD⊥BC,∴AD⊥OE,13\n∴S四边形AODE=12AD·OE=12AD×12BC=12×12·AC·AB=14×4.8×4=4.8.∵∠B=50°,∴∠AOD=100°,∴S扇形AOD=π×22×100360=109π,∴S阴影=S四边形AODE-S扇形AOD=4.8-109π.11.解:(1)S扇环=12(l1+l2)h.证明:S扇环=S扇形AOB-S扇形COD=nπR2360-nπr2360=nπ360(R2-r2)=nπ360(R+r)(R-r)=nπ360(R+r)h=12·nπR180+nπr180h=12(l1+l2)h.(2)由题意可知l1+l2=40-2h.∴S扇环=12×(l1+l2)×h=12(40-2h)h=-h2+20h=-(h-10)2+100.∵0<h<20,∴当h=10时,S扇环最大,最大值为100m2.12.解:(1)作图如下:(2)△AEF是“匀称三角形”.理由:连接AD,OD,∵AB是☉O的直径,∴AD⊥BC,∵AB=AC,13\n∴D是BC的中点,∴OD∥AC.∵DF切☉O于D点,∴OD⊥DF,∴EF⊥AF.过点B作BG⊥EF于点G,易证Rt△BDG≌Rt△CDF,∴BG=CF,∵BECF=53,∴BEBG=53.∵BG∥AF,∴BEBG=AEAF=53.在Rt△AEF中,设AE=5k,则AF=3k,由勾股定理得EF=4k,∴AF+EF+AE3=3k+4k+5k3=4k=EF.∴△AEF是“匀称三角形”.13
