点直线与圆的位置关系一．选择题1．（2022白银，10，3分）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（ ） A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象；多边形内角与外角；切线的性质；切线长定理；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义．专题：计算题．分析：连接OB、OC、OA，求出∠BOC的度数，求出AB、AC的长，求出四边形OBAC和扇形OBC的面积，即可求出答案．解答：解：连接OB、OC、OA，∵圆O切AM于B，切AN于C，∴∠OBA=∠OCA=90°，OB=OC=r，AB=AC∴∠BOC=360°﹣90°﹣90°﹣α=（180﹣α）°，∵AO平分∠MAN，∴∠BAO=∠CAO=α，AB=AC=，∴阴影部分的面积是：S四边形BACO﹣S扇形OBC=2×××r﹣=（﹣）r2，∵r＞0，∴S与r之间是二次函数关系．故选C．点评：51\n本题主要考查对切线的性质，切线长定理，三角形和扇形的面积，锐角三角函数的定义，四边形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行计算是解此题的关键．2．（2022贵州毕节，15，3分）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（ ） A．2，22.5°B．3，30°C．3，22.5°D．2，30°考点：切线的性质；等腰直角三角形．分析：首先连接AO，由切线的性质，易得OD⊥AB，即可得OD是△ABC的中位线，继而求得OD的长；根据圆周角定理即可求出∠MND的度数．解答：解：连接OA，∵AB与⊙O相切，∴OD⊥AB，∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，O为BC的中点，∴AO⊥BC，∴OD∥AC，∵O为BC的中点，∴OD=AC=2；∵∠DOB=45°，∴∠MND=∠DOB=22.5°，故选A．点评：此题考查了切线的性质、圆周角定理、切线长定理以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．3．（2022·泰安，13，3分）如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论不成立的是（ ）51\n A．OC∥AEB．EC＝BCC．∠DAE＝∠ABED．AC⊥OE考点：切线的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．专题：计算题．分析：由C为弧EB的中点，利用垂径定理的逆定理得出OC垂直于BE，由AB为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到AE垂直于BE，即可确定出OC与AE平行，选项A正确；由C为弧BE中点，即弧BC＝弧CE，利用等弧对等弦，得到BC＝EC，选项B正确；由AD为圆的切线，得到AD垂直于OA，进而确定出一对角互余，再由直角三角形ABE中两锐角互余，利用同角的余角相等得到∠DAE＝∠ABE，选项C正确；AC不一定垂直于OE，选项D错误．解答：解：A．∵点C是的中点，∴OC⊥BE，∵AB为圆O的直径，∴AE⊥BE，∴OC∥AE，本选项正确；B．∵＝，∴BC＝CE，本选项正确；C．∵AD为圆O的切线，∴AD⊥OA，∴∠DAE＋∠EAB＝90°，∵∠EBA＋∠EAB＝90°，∴∠DAE＝∠EBA，本选项正确；D．AC不一定垂直于OE，本选项错误，点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及圆心角，弧及弦之间的关系，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 4．（2022·济宁，10，3分）如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（ ）51\n A．4B．C．6D．考点：切线的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理．专题：计算题．分析：连接OD，由DF为圆的切线，利用切线的性质得到OD垂直于DF，根据三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到三条边相等，三内角相等，都为60°，由OD=OC，得到三角形OCD为等边三角形，进而得到OD平行与AB，由O为BC的中点，得到D为AC的中点，在直角三角形ADF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长，进而求出AC的长，即为AB的长，由AB－AF求出FB的长，在直角三角形FBG中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出BG的长，再利用勾股定理即可求出FG的长．解答：解：连接OD，∵DF为圆O的切线，∴OD⊥DF，∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，∵OD=OC，∴△OCD为等边三角形，∴OD∥AB，又O为BC的中点，∴D为AC的中点，即OD为△ABC的中位线，∴OD∥AB，∴DF⊥AB，在Rt△AFD中，∠ADF=30°，AF=2，∴AD=4，即AC=8，∴FB=AB－AF=8－2=6，在Rt△BFG中，∠BFG=30°，∴BG=3，则根据勾股定理得：FG=3．故选B．51\n点评：此题考查了切线的性质，等边三角形的性质，含30°直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．5.（2022杭州3分）在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（ ）A．若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直B．若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点 C．若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点 D．若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径【答案】C．【解析】解：A．圆心到两条直线的距离都等于圆的半径时，两条直线可能垂直，故本选项错误；B．当两圆经过两条直线的交点时，圆与两条直线有三个交点；C．两条平行弦所在直线没有交点，故本选项正确；D．两条平行弦之间的距离一定小于直径，但不一定小于半径，故本选项错误【方法指导】本题考查了直线与圆的位置关系、命题与定理，解题的关键是熟悉直线与圆的位置关系．6．（2022贵州省黔东南州，7，4分）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为（ ） A．2cmB．2.4cmC．3cmD．4cm考点：直线与圆的位置关系．分析：R的长即为斜边AB上的高，由勾股定理易求得AB的长，根据直角三角形面积的不同表示方法，即可求出r的值．解答：解：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm；由勾股定理，得：AB2=32+42=25，∴AB=5；又∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，∴CD=R；∵S△ABC=AC•BC=AB•r；51\n∴r=2.4cm，故选B．点评：本题考查的知识点有：切线的性质、勾股定理、直角三角形面积的求法；斜边上的高即为圆的半径是本题的突破点7．（2022贵州省黔西南州，6，4分）如图所示，线段AB是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（ ） A．50°B．40°C．60°D．70°考点：切线的性质；圆周角定理．分析：连接OC，由CE为圆O的切线，根据切线的性质得到OC垂直于CE，即三角形OCE为直角三角形，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由圆周角∠CDB的度数，求出圆心角∠COB的度数，在直角三角形OCE中，利用直角三角形的两锐角互余，即可求出∠E的度数．解答：解：连接OC，如图所示：∵圆心角∠BOC与圆周角∠CDB都对弧BC，∴∠BOC=2∠CDB，又∠CDB=20°，∴∠BOC=40°，又∵CE为圆O的切线，∴OC⊥CE，即∠OCE=90°，则∠E=90°﹣40°=50°．故选A．点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及直角三角形的性质，遇到直线与圆相切，连接圆心与切点，利用切线的性质得垂直，根据直角三角形的性质来解决问题．熟练掌握性质及定理是解本题的关键．8．（2022河南省，7，3分）如图，CD是的直径，弦于点G，直线与相切与点D，则下列结论中不一定正确的是（）（A）（B）∥51\n（C）AD∥BC（D）【解析】由垂径定理可知：（A）一定正确。由题可知：，又因为，所以∥，即（B）一定正确。因为所对的弧是劣弧，根据同弧所对的圆周角相等可知（D）一定正确。【答案】C9．（2022重庆市(A)，8，4分）如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO＝26cm，PA＝24cm，则⊙O周长为（）A．18πcmB．16πcmC．20πcmD．24πcm【答案】C．【解析】根据切线的性质，连接OA，得∠OAP＝90°，所以OA＝＝＝10cm，则⊙O的周长为20πcm．【方法指导】本题考查切线的性质、勾股定理、圆的周长计算．由于圆的切线垂直于经过切点的半径，所以经常用以提供直角三角形，从而引入勾股定理进行计算．在上面计算时，要学会运用平方差公式简便计算，即＝＝＝10cm．10．（2022重庆，8，4分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为（）OBCA（第8题图）A．40°B．50°C．65°D．75°【答案】C【解析】∵AB是⊙O的切线，∴∠OBA=90°，∴∠O=90°－∠BAO=90°－40°=50°51\n，又∵OB=OC，∴∠OCB=∠OCB=（180°－50°）=65°，故选C．【方法指导】本题考查了对切线的性质的掌握，考差了直角三角形两锐角互余和等腰三角形的性质．圆的切线垂直于过切点的半径，可以把直线和圆的位置关系问题转化为直角三角形的问题解决；根据同圆的半径相等，可以建立等腰三角形解答问题．二．填空题1．（2022湖北省咸宁市，1，3分）如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为 2 ．考点：切线的性质；等腰直角三角形．分析：首先连接OP、OQ，根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，可得当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案．解答：解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA=OB=3，∴AB=OA=6，∴OP==3，∴PQ===2．故答案为：2．51\n点评：本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PO⊥AB时，线段PQ最短是关键． 2．（2022黑龙江省哈尔滨市，17）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为，CD=4，则弦AC的长为．考点：垂径定理；勾股定理。切线的性质。分析：：本题考查的是垂径定理的应用切线的性质及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键。解答：连接OA,作OE⊥CD于E,易得OA⊥AB,CE=DE=2，由于CD∥AB得EOA三点共线，连OC,在直角三角形OEC中,由勾股定理得OE=,从而AE=4，再直角三角形AEC中由勾股定理得AC=3．（2022江苏苏州，16，3分）如图，AB切⊙O于点B，OA＝2，∠OAB＝30°，弦BC∥OA，劣弧的弧长为．（结果保留π）51\n【答案】．【解析】分析：如图，连接OB，OC，由AB为圆的切线，利用切线的性质得到△AOB为直角三角形，根据30°所对的直角边等于斜边的一半，由OA求出OB的长，且∠AOB为60°，再由BC与OA平行，利用两直线平行内错角相等得到∠OBC为60°，又OB=OC，得到△BOC为等边三角形，确定出∠BOC为60°，利用弧长公式即可求出劣弧BC的长．解：如图，连接OB，OC．∵AB为圆O的切线，∴∠ABO=90°．在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，∴OB=1，∠AOB=60°．∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°．又OB=OC，∴△BOC为等边三角形．∴∠BOC=60°．则劣弧的弧长为l===．所以应填或．【方法指导】此题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，以及弧长公式，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．．【易错警示】弄不清楚弧长公式，或求不出圆心角．4．（2022湖南永州，13，3分）如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB=30°．则∠B= 度．【答案】60°.【解析】连接OA，则OA⊥MN，由于∠MAB=30°，所以∠OAB=90°-30°=60°，而OA=OB51\n，所以∠B=∠OAB=60°.【方法指导】有切线连半径，这是解决有关切线计算或证明的常用的辅助线。三．解答题1．（2022江西，22，9分）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P（4，2）是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C．（1）证明PA是⊙O的切线；（2）求点B的坐标；（3）求直线AB的解析式．【思路分析】（1）点A在圆上，要证PA是圆的切线，只要证PA⊥OA（∠OAP=90°）即可，由A、P两点纵坐标相等可得AP∥x轴，所以有∠OAP+∠AOC=180°得∠OAP=90°；（2）要求点B的坐标，根据坐标的意义，就是要求出点B到x轴、y轴的距离，自然想到构造Rt△OBD，由PB又是⊙O的切线，得Rt△OAP≌△OBP，从而得△OPC为等腰三角形，在Rt△PCE中,PE=OA=2,PC+CE=OE=4,列出关于CE的方程可求出CE、OC的长，△OBC的三边的长知道了，就可求出高BD,再求OD即可求得点B的坐标；（3）已知点A、点B的坐标用待定系数法可求出直线AB的解析式．[解]（1）证明：依题意可知，A（0，2）∵A（0，2），P（4，2），∴AP∥x轴，∴∠OAP=90°，且点A在⊙O上，∴PA是⊙O的切线；（2）解法一：连接OP，OB，作PE⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点D，∵PB切⊙O于点B，∴∠OBP=90°，即∠OBP=∠PEC又∵OB=PE=2，∠OCB=∠PEC∴△OBC≌△PEC∴OC=PC（或证Rt△OAP≌△OBP，再得到OC=PC也可）设OC=PC=x，51\n则有OE=AP=4，CE=OE－OC=4－x，在Rt△PCE中，∵PC2=CE2+PE2，∴x2=(4－x)2+22，解得x=，∴BC=CE=4－=，∵OB·BC=OC·BD，即×2×=××BD，∴BD=∴OD===，由点B在第四象限可知B（，）；解法二：连接OP，OB，作PE⊥x轴于点E，BD⊥y轴于点D，∵PB切⊙O于点B，∴∠OBP=90°即∠OBP=∠PEC又∵OB=PE=2，∠OCB=∠PEC∴△OBC≌△PEC∴OC=PC（或证Rt△OAP≌△OBP，再得到OC=PC也可）设OC=PC=x，则有OE=AP=4，CE=OE－OC=4－x，在Rt△PCE中，∵PC2=CE2PE2,∴x2=(4－x)2+22，解得x=，∴BC=CE=4－=，∵BD∥x轴，∴∠COB=∠OBD，又∵∠OBC=∠BDO=90°，∴△OBC∽△BDO，∴==，即==，∴BD=，OD=，由点B在第四象限可知B（，）；（3）设直线AB的解析式为y=kx+b，由A（0，2），B（，），可得；51\n解得∴直线AB的解析式为y=－2x+2．【方法指导】从整体把握图形，找全等、相似、等腰三角形；求线段的长要从局部入手，若是直角三角形则用勾股定理，若是相似则用比例式求，要掌握一些求线段长的常用思路和方法.2．（（2022白银，27，10分）如图，在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点E．（1）若OC=5，AB=8，求tan∠BAC；（2）若∠DAC=∠BAC，且点D在⊙O的外部，判断直线AD与⊙O的位置关系，并加以证明．考点：切线的判定；勾股定理；垂径定理．专题：计算题．分析：（1）根据垂径定理由半径OC垂直于弦AB，AE=AB=4，再根据勾股定理计算出OE=3，则EC=2，然后在Rt△AEC中根据正切的定义可得到tan∠BAC的值；（2）根据垂径定理得到AC弧=BC弧，再利用圆周角定理可得到∠AOC=2∠BAC，由于∠DAC=∠BAC，所以∠AOC=∠BAD，利用∠AOC+∠OAE=90°即可得到∠BAD+∠OAE=90°，然后根据切线的判定方法得AD为⊙O的切线．解答：解：（1）∵半径OC垂直于弦AB，∴AE=BE=AB=4，在Rt△OAE中，OA=5，AE=4，∴OE==3，∴EC=OC﹣OE=5﹣3=2，在Rt△AEC中，AE=4，EC=2，∴tan∠BAC===；（2）AD与⊙O相切．理由如下：∵半径OC垂直于弦AB，∵AC弧=BC弧，∴∠AOC=2∠BAC，∵∠DAC=∠BAC，∴∠AOC=∠BAD，∵∠AOC+∠OAE=90°，∴∠BAD+∠OAE=90°，∴OA⊥AD，51\n∴AD为⊙O的切线．点评：本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了勾股定理以及垂径定理、圆周角定理．3．（2022兰州，27，10分）已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．考点：切线的判定；平行线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE=∠DEM=90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切线．（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有△ACD∽△ADE．根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．解答：（1）证明：连接OD．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．（1分）∵∠OAD=∠DAE，∴∠ODA=∠DAE．（2分）∴DO∥MN．（3分）∵DE⊥MN，∴∠ODE=∠DEM=90°．即OD⊥DE．（4分）∵D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线．（5分）（2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，51\n∴．（6分）连接CD．∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=∠AED=90°．（7分）∵∠CAD=∠DAE，∴△ACD∽△ADE．（8分）∴．∴．则AC=15（cm）．（9分）∴⊙O的半径是7.5cm．（10分）点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，线段等量关系的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题． 4．（2022广东珠海，17，7分）如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）求∠B的度数．考点：切线的判定与性质；菱形的性质．3481324分析：（1）连结OA、OB、OC、BD，根据切线的性质得OA⊥AB，即∠OAB=90°，再根据菱形的性质得BA=BC，然后根据“SSS”可判断△ABC≌△CBO，则∠BOC=∠OAC=90°，于是可根据切线的判定方法即可得到结论；（2）由△ABC≌△CBO得∠AOB=∠COB，则∠AOB=∠COB，由于菱形的对角线平分对角，所以点O在BD上，利用三角形外角性质有∠BOC=∠ODC+∠OCD，则∠BOC=2∠ODC，51\n由于CB=CD，则∠OBC=∠ODC，所以∠BOC=2∠OBC，根据∠BOC+∠OBC=90°可计算出∠OBC=30°，然后利用∠ABC=2∠OBC计算即可．解答：（1）证明：连结OA、OB、OC、BD，如图，∵AB与⊙切于A点，∴OA⊥AB，即∠OAB=90°，∵四边形ABCD为菱形，∴BA=BC，在△ABC和△CBO中，∴△ABC≌△CBO，∴∠BOC=∠OAC=90°，∴OC⊥BC，∴BC为⊙O的切线；（2）解：∵△ABC≌△CBO，∴∠AOB=∠COB，∵四边形ABCD为菱形，∴BD平分∠ABC，CB=CD，∴点O在BD上，∵∠BOC=∠ODC+∠OCD，而OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴∠BOC=2∠ODC，而CB=CD，∴∠OBC=∠ODC，∴∠BOC=2∠OBC，∵∠BOC+∠OBC=90°，∴∠OBC=30°，∴∠ABC=2∠OBC=60°．点评：本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了全等三角形相似的判定与性质以及菱形的性质．5．（2022广西钦州，25，10分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．（1）求⊙O的半径OD；51\n（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）求图中两部分阴影面积的和．考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算．专题：计算题．分析：（1）由AB为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AB，在直角三角形BDO中，利用锐角三角函数定义，根据tan∠BOD及BD的值，求出OD的值即可；（2）连接OE，由AE=OD=3，且OD与AE平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到OE与AD平行，再由DA与AE垂直得到OE与AC垂直，即可得证；（3）阴影部分的面积由三角形BOD的面积+三角形ECO的面积﹣扇形DOF的面积﹣扇形EOG的面积，求出即可．解答：解：（1）∵AB与圆O相切，∴OD⊥AB，在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD==，∴OD=3；（2）连接OE，∵AE=OD=3，AE∥OD，∴四边形AEOD为平行四边形，∴AD∥EO，∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，又∵OE为圆的半径，∴AC为圆O的切线；（3）∵OD∥AC，∴=，即=，∴AC=7.5，∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5，∴S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形BOD﹣S扇形EOG=×2×3+×3×4.5﹣=3+﹣=．51\n点评：此题考查了切线的判定与性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，平行四边形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．6．（2022贵州安顺，25，10分）如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．（1）求证：CT为⊙O的切线；（2）若⊙O半径为2，CT=，求AD的长．考点：切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．分析：（1）连接OT，根据角平分线的性质，以及直角三角形的两个锐角互余，证得CT⊥OT，CT为⊙O的切线；（2）证明四边形OTCE为矩形，求得OE的长，在直角△OAE中，利用勾股定理即可求解．解答：（1）证明：连接OT，∵OA=OT，∴∠OAT=∠OTA，又∵AT平分∠BAD，∴∠DAT=∠OAT，∴∠DAT=∠OTA，∴OT∥AC，（3分）又∵CT⊥AC，∴CT⊥OT，∴CT为⊙O的切线；（5分）（2）解：过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点，又∵CT⊥AC，∴OE∥CT，∴四边形OTCE为矩形，（7分）∵CT=，∴OE=，又∵OA=2，∴在Rt△OAE中，，∴AD=2AE=2．（10分）51\n点评：本题主要考查了切线的判定以及性质，证明切线时可以利用切线的判定定理把问题转化为证明垂直的问题． 1.点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若PD=，求⊙O的直径．考点：切线的判定．分析：（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，再由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=30°，再由AP=AC得出∠P=30°，继而由∠OAP=∠AOC﹣∠P，可得出OA⊥PA，从而得出结论；（2）利用含30°的直角三角形的性质求出OP=2OA，可得出OP﹣PD=OD，再由PD=，可得出⊙O的直径．解答：（1）证明：连接OA，∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°，又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线．（2）在Rt△OAP中，∵∠P=30°，∴PO=2OA=OD+PD，又∵OA=OD，∴PD=OA，∵，∴．∴⊙O的直径为．51\n点评：本题考查了切线的判定及圆周角定理，解答本题的关键是掌握切线的判定定理、圆周角定理及含30°直角三角形的性质．7．（2022湖北宜昌，21，10分）半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC在l上．（1）过点B作的一条切线BE，E为切点．①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是 30° ；②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围．考点：圆的综合题．分析：（1）①根据切线的性质以及直角三角形的性质得出∠EBA的度数即可；②利用切线的性质以及矩形的性质和相似三角形的判定和性质得出=，进而求出OA即可；（2）设∠MON=n°，得出S扇形MON=×22=n进而利用函数增减性分析①当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大，②当MN=DC=2时，MN最小，分别求出即可．解答：解：（1）①∵半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，当点A在⊙O上时，过点B作的一条切线BE，E为切点，∴OB=4，EO=2，∠OEB=90°，∴∠EBA的度数是：30°；②如图2，∵直线l与⊙O相切于点F，∴∠OFD=90°，∵正方形ADCB中，∠ADC=90°，∴OF∥AD，∵OF=AD=2，51\n∴四边形OFDA为平行四边形，∵∠OFD=90°，∴平行四边形OFDA为矩形，∴DA⊥AO，∵正方形ABCD中，DA⊥AB，∴O，A，B三点在同一条直线上；∴EA⊥OB，∵∠OEB=∠AOE，∴△EOA∽△BOE，∴=，∴OE2=OA•OB，∴OA（2+OA）=4，解得：OA=﹣1±，∵OA＞0，∴OA=﹣1；方法二：在Rt△OAE中，cos∠EOA==，在Rt△EOB中，cos∠EOB==，∴=，解得：OA=﹣1±，∵OA＞0，∴OA=﹣1；方法三：∵OE⊥EB，EA⊥OB，∴由射影定理，得OE2=OA•OB，∴OA（2+OA）=4，解得：OA=﹣1±，∵OA＞0，∴OA=﹣1；（2）如图3，设∠MON=n°，S扇形MON=×22=n（cm2），S随n的增大而增大，∠MON取最大值时，S扇形MON最大，当∠MON取最小值时，S扇形MON最小，过O点作OK⊥MN于K，∴∠MON=2∠NOK，MN=2NK，在Rt△ONK中，sin∠NOK==，∴∠NOK随NK的增大而增大，∴∠MON随MN的增大而增大，∴当MN最大时∠MON最大，当MN最小时∠MON最小，①当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大，MN=BD，∠MON=∠BOD=90°，S扇形MON最大=π（cm2），51\n②当MN=DC=2时，MN最小，∴ON=MN=OM，∴∠NOM=60°，S扇形MON最小=π（cm2），∴π≤S扇形MON≤π．故答案为：30°．点评：此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定与性质和函数增减性等知识，得出扇形MON的面积的最大值与最小值是解题关键．8.（2022湖南长沙，22，8分）如图，⊿ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠DBC=∠BAC.（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，∠BAC=30°，求图中阴影部分的面积.（第22题）51\n9.（2022江苏南京，25，8分）如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O的弦。过点B作BC//AD，交圆O于点C，连接AC，过点C作CD//AB，交AD于点D。连接AO并延长交BCABCDOMP于点M，交过点C的直线于点P，且ÐBCP=ÐACD。(1)判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由：(2)若AB=9，BC=6，求PC的长。解析：解法一：(1)直线PC与圆O相切。jABCDOMPN如图j，连接CO并延长，交圆O于点N，连接BN。∵AB//CD，∴ÐBAC=ÐACD。∵ÐBAC=ÐBNC，∴ÐBNC=ÐACD。∵ÐBCP=ÐACD，∴ÐBNC=ÐBCP。∵CN是圆O的直径，∴ÐCBN=90°。∴ÐBNC+ÐBCN=90°，∴ÐBCP+ÐBCN=90°。∴ÐPCO=90°，即PC^OC。又点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切。(4分)(2)∵AD是圆O的切线，∴AD^OA，即ÐOAD=90°。∵BC//AD，∴ÐOMC=180°-ÐOAD=90°，即OM^BC。∴MC=MB。∴AB=AC。在Rt△AMC中，ÐAMC=90°，AC=AB=9，MC=BC=3，由勾股定理，得AM===6。设圆O的半径为r。在Rt△OMC中，ÐOMC=90°，OM=AM-AO=6-r，MC=3，OC=r，由勾股定理，得OM2+MC2=OC2，即(6-r)2+32=r2。解得r=。在△OMC和△OCP中，∵ÐOMC=ÐOCP，ÐMOC=ÐCOP，51\n∴△OMC～△OCP。∴=，即=。∴PC=。(8分)ABCDOMPk解法二：(1)直线PC与圆O相切。如图k，连接OC。∵AD是圆O的切线，∴AD^OA，即ÐOAD=90°。∵BC//AD，∴ÐOMC=180°-ÐOAD=90°，即OM^BC。∴MC=MB。∴AB=AC。∴ÐMAB=ÐMAC。∴ÐBAC=2ÐMAC。又∵ÐMOC=2ÐMAC，∴ÐMOC=ÐBAC。∵AB//CD，∴ÐBAC=ÐACD。∴ÐMOC=ÐACD。又∵ÐBCP=ÐACD，∴ÐMOC=ÐBCP。∵ÐMOC+ÐOCM=90°，∴ÐBCP+ÐOCM=90°。∴ÐPCO=90°，即PC^OC。又∵点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切。(2)在Rt△AMC中，ÐAMC=90°，AC=AB=9，MC=BC=3，由勾股定理，得AM===6。设圆O的半径为r。在Rt△OMC中，ÐOMC=90°，OM=AM-AO=6-r，MC=3，OC=r，由勾股定理，得OM2+MC2=OC2，即(6-r)2+32=r2。解得r=。在△OMC和△OCP中，∵ÐOMC=ÐOCP，ÐMOC=ÐCOP，∴△OMC～△OCP，∴=，即=。∴PC=。(8分)10．（2022·聊城，24，?分）如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD＝，BE＝2．求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切线．考点：切线的判定与性质；菱形的判定．51\n分析：（1）首先连接OC，由垂径定理，可求得CE的长，又由勾股定理，可求得半径OC的长，然后由勾股定理求得AD的长，即可得AD＝CD，易证得四边形FADC是平行四边形，继而证得四边形FADC是菱形；（2）首先连接OF，易证得△AFO≌△CFO，继而可证得FC是⊙O的切线．解答：证明：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝×4＝2，设OC＝x，∵BE＝2，∴OE＝x－2，在Rt△OCE中，OC2＝OE2＋CE2，∴x2＝（x－2）2＋（2）2，解得：x＝4，∴OA＝OC＝4，OE＝2，∴AE＝6，在Rt△AED中，AD＝＝4，∴AD＝CD，∵AF是⊙O切线，∴AF⊥AB，∵CD⊥AB，∴AF∥CD，∵CF∥AD，∴四边形FADC是平行四边形，∴▱FADC是菱形；（2）连接OF，∵四边形FADC是菱形，∴FA＝FC，在△AFO和△CFO中，，∴△AFO≌△CFO（SSS），∴∠FCO＝∠FAO＝90°，即OC⊥FC，∵点C在⊙O上，∴FC是⊙O的切线．点评：此题考查了切线的判定与性质、菱形的判定与性质、垂径定理、勾股定理以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 11．（2022·鞍山，23，6分）如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．51\n（1）AC与CD相等吗？问什么？（2）若AC＝2，AO＝，求OD的长度．考点：切线的性质；勾股定理．专题：计算题．分析：（1）AC＝CD，理由为：由AC为圆的切线，利用切线的性质得到∠OAC为直角，再由OC与OB垂直，得到∠BOC为直角，由OA＝OB，利用等边对等角得到一对角相等，再利用对顶角相等及等角的余角相等得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；（2）由ODC＝OD+DC，DC＝AC，表示出OC，在直角三角形OAC中，利用勾股定理即可求出OD的长．解答：解：（1）AC＝CD，理由为：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B，∵直线AC为圆O的切线，∴∠OAC＝∠OAB+∠DAC＝90°，∵OB⊥OC，∴∠BOC＝90°，∴∠ODB+∠B＝90°，∵∠ODB＝∠CDA，∴∠CDA+∠B＝90°，∴∠DAC＝∠CDA，则AC＝CD；（2）在Rt△OAC中，AC＝CD＝2，AO＝，OC＝OD+DC＝OD+2，根据勾股定理得：OC2＝AC2+AO2，即（OD+2）2＝22+（）2，解得：OD＝1．点评：此题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．12．（2022•东营，20，8分）如图，为的直径，点为上一点，若，过点作直线垂直于射线AM，垂足为点D．（第20题图）AOBDClME（1）试判断与的位置关系，并说明理由；（2）若直线与的延长线相交于点，的半径为3，并且．求的长．分析：（1）连接CO，根据，证明DC∥AD，再根据，得，从而证明CD是⊙O的切线．（2）由题意得，则在中，51\n．（1）解：直线CD与⊙O相切．………………1分（第20题答案图）AOBDClME理由如下：连接OC．∵OA=OC∴∠BAC=∠OCA∵∠BAC=∠CAM∴∠OCA=∠CAM∴OC∥AM…………………………3分∵CD⊥AM∴OC⊥CD∴直线与相切．…………………………5分（2）解：∵∴∠COE=2∠CAB=∴在Rt△COE中，OC=3，CE=OC·tan=．…………………………8分点拨：要证明过圆上已知点的直线是圆的切线时，只需连结圆心和这点，再证过已知点的半径垂直于这条直线即可．13.2022•新疆12分）如图，已知⊙O的半径为4，CD是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，B为CD延长线上的一点，∠ABC=30°，且AB=AC．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）求弦AC的长；（3）求图中阴影部分的面积．51\n【思路分析】（1）如图，连接OA，欲证明AAB为⊙O的切线，只需证明AB⊥OA即可；（2）如图，连接AD，构建直角△ADC，利用“30度角所对的直角边是斜边的一半”求得AD=4，然后利用勾股定理来求弦AC的长度；（3）根据图示知，图中阴影部分的面积=扇形ADO的面积+△AOC的面积．【解析】（1）证明：如图，连接OA．∵AB=AC，∠ABC=30°，∴∠ABC=∠ACB=30°．∴∠AOB=2∠ACB=60°，∴在△ABO中，∠AOB=180°﹣∠ABO﹣∠AOB=90°，即AB⊥OA，又∵OA是⊙O的半径，∴AB为⊙O的切线；（2）解：如图，连接AD．∵CD是⊙O的直径，∴∠DAC=90°．∵由（1）知，∠ACB=30°，∴AD=CD=4，则根据勾股定理知AC==4，即弦AC的长是4；（3）解：由（2）知，在△ADC中，∠DAC=90°，AD=4，AC=4，则S△ABC=AD•AC=×4×4=8．∵点O是△ADC斜边上的中点，∴S△AOC=S△ABC=4．根据图示知，S阴影=S扇形ADO+S△AOC=+4=+4，即图中阴影部分的面积是+4．51\n【方法指导】本题考查了切线的判定，圆周角定理以及扇形面积的计算．解答（3）时，求△AOC的面积的面积的技巧性在于利用了“等边同高”三角形的面积相等的性质14.（2022浙江丽水8分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F。（1）求证：BE=CE；（2）求∠CBF的度数；（3）若AB=6，求的长。15.（2022•衢州8分）如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若DE=2BC，求AD：OC的值．51\n【思路分析】（1）首选连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO=90°，即可证得直线CD是⊙O的切线；（2）由△COD≌△COB．可得CD=CB，即可得DE=2CD，易证得△EDA∽△ECO，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AD：OC的值．【解析】1）证明：连结DO．∵AD∥OC，∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．…（1分）又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO，∴∠COD=∠COB．…（2分）在△COD和△COB中，，∴△COD≌△COB（SAS）…（3分）∴∠CDO=∠CBO=90°．又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线．…（4分）（2）解：∵△COD≌△COB．∴CD=CB．…（5分）∵DE=2BC，∴ED=2CD．…（6分）∵AD∥OC，∴△EDA∽△ECO．…（7分）∴．…（8分）【方法指导】此题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．51\n16.（2022山西，23，9分）（本题9分）如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。（1）在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由。（2）若cosB=，BP=6，AP=1，求QC的长。解析】解：（1）CD是⊙O的切线,理由如下：连接OC,∵OC=OB,∴∠B=∠1.又∵DC=DQ,∴∠Q=∠2∵PQ⊥AB,∴∠QPB=90°∴∠B+∠Q=90°∴∠1+∠2=90°∴∠DCO=∠QCB-(∠1+∠2)=180°-90°,∴OC⊥DC,∵OC是⊙O的半径∴CD是⊙O的切线(2)连接AC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.在Rt△ABC中,51\nBC=ABcosB=(AP+BP)cosB=(1+6)×=.在Rt△BPQ中BQ===10∴QC=BQ-BC=10==17.（2022四川乐山，22，10分）选做题：从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分。题甲：如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰∠ADC=∠B。（1）求证：直线CD是⊙O的的切线；（2）过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E，且AB=，BD=2，求线段AE的长。51\n18.（2022四川遂宁，24，10分）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交⊙O于点G，交过C的直线于F，∠1=∠2，连结CB与DG交于点N．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）求证：△ACM∽△DCN；（3）若点M是CO的中点，⊙O的半径为4，cos∠BOC=，求BN的长．考点：圆的综合题．分析：（1）根据切线的判定定理得出∠1+∠BCO=90°，即可得出答案；（2）利用已知得出∠3=∠2，∠4=∠D，再利用相似三角形的判定方法得出即可；（3）根据已知得出OE的长，进而利用勾股定理得出EC，AC，BC的长，即可得出CD，利用（2）中相似三角形的性质得出NB的长即可．解答：（1）证明：∵△BCO中，BO=CO，∴∠B=∠BCO，在Rt△BCE中，∠2+∠B=90°，又∵∠1=∠2，∴∠1+∠BCO=90°，即∠FCO=90°，51\n∴CF是⊙O的切线；（2）证明：∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=∠FCO=90°，∴∠ACB﹣∠BCO=∠FCO﹣∠BCO，即∠3=∠1，∴∠3=∠2，∵∠4=∠D，∴△ACM∽△DCN；（3）解：∵⊙O的半径为4，即AO=CO=BO=4，在Rt△COE中，cos∠BOC=，∴OE=CO•cos∠BOC=4×=1，由此可得：BE=3，AE=5，由勾股定理可得：CE===，AC===2，BC===2，∵AB是⊙O直径，AB⊥CD，∴由垂径定理得：CD=2CE=2，∵△ACM∽△DCN，∴=，∵点M是CO的中点，CM=AO=×4=2，∴CN===，∴BN=BC﹣CN=2﹣=．点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定和勾股定理的应用等知识，根据已知得出△ACM∽△DCN是解题关键．19．（2022贵州省六盘水，21，10分）在Rt△ACB中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交与点D，E，且∠CBD=∠A．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论．（2）若AD：AO=6：5，BC=3，求BD的长．51\n考点：切线的判定．分析：（1）连接OD，DE，求出∠ADE=90°=∠C推出DE∥BC∴∠EDB=∠CBD=∠A，根据∠A+∠OED=90°求出∠EDB+∠ODE=90°，根据切线的判定推出即可；（2）求出AD：DE：AE=6：8：10，求出△ADE∽△ACB，推出DC：BC：BD=AD：DE：AE=6：8：10，代入求出即可．解答：（1）直线BD与⊙O的位置关系是相切，证明：连接OD，DE，∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°，∵∠A=∠CBD，∴∠A+∠CDB=90°，∵OD=OA，∴∠A=∠ADO，∴∠ADO+∠CDB=90°，∴∠ODB=180°﹣90°=90°，∴OD⊥BD，∵OD为半径，∴BD是⊙O切线；（2）解：∵AD：AO=6：5，∴=，∴由勾股定理得：AD：DE：AE=6：8：10，∵AE是直径，∴∠ADE=∠C=90°，∵∠CBD=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴DC：BC：BD=AD：DE：AE=6：8：10，∵BC=3，∴BD=．51\n点评：本题考查了切线的判定，平行线性质和判定，等腰三角形性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力． 20．（2022贵州省黔东南州，22，12分）如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°．（1）先作∠ACB的平分线；设它交AB边于点O，再以点O为圆心，OB为半径作⊙O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）证明：AC是所作⊙O的切线；（3）若BC=，sinA=，求△AOC的面积．考点：作图—复杂作图；切线的判定．分析：（1）根据角平分线的作法求出角平分线FC，进而得出⊙O；（2）根据切线的判定定理求出EO=BO，即可得出答案；（3）根据锐角三角函数的关系求出AC，EO的长，即可得出答案．解答：（1）解：如图所示：（2）证明：过点O作OE⊥AC于点E，∵FC平分∠ACB，∴OB=OE，∴AC是所作⊙O的切线；（3）解：∵sinA=，∠ABC=90°，∴∠A=30°，∴∠ACB=∠OCB=ACB=30°，∵BC=，∴AC=2，BO=tan30°BC=×=1，∴△AOC的面积为：×AC×OE=×2×1=．点评：51\n此题主要考查了复杂作图以及切线的判定和锐角三角函数的关系等知识，正确把握切线的判定定理是解题关键．21．（2022河北省，24，14分）如图16，△OAB中，OA=OB=10，∠AOB=80°，以点O为圆心，6为半径的优弧分别交OA，OB于点M，N.（1）点P在右半弧上（∠BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′.求证：AP=BP′；（2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求点T到OA的距离；（3）设点Q在优弧上，当△AOQ的面积最大时，直接写出∠BOQ的度数.解析：（1）证明：如图2，∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80º+∠BOP.∠BOP’=∠POP’+∠BOP=80º+∠BOP∴∠AOP=∠BOP’2分又∵OA=OB，OP=OP’∴△AOP≌△BOP’4分∴AP=BP’5分（2）解：连接OT，过T作TH⊥OA于点H∵AT与相切，∴∠ATO=90º6分∴==87分∵=,即=∴TH=，即为所求的距离9分（3）10º，170º11分【注：当OQ⊥OA时，△AOQ的面积最大，且左右两半弧上各存在一点】22．（2022黑龙江省哈尔滨市，25）如图，在△ABC中，以BC为直径作半圆0，交AB于点D，交AC于点E．AD=AE(1)求证：AB=AC；51\n(2)若BD=4，BO=，求AD的长．考点：（1）圆周角定理；全等三角形的性质；相似三角形的判定分析：连接CD、BE，利用直径所对圆周角900、证明△ADC≌△AEB得AB=AC，（2）利用△OBD∽△ABC得得BC=4再求AB=10从而AD=AB—BD=6此题利用相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用．解答：(1)证明：连接CD、BE∵BC为半圆O的直径．∴∠BDC=∠CEB=900∴∠LADC=∠AEB=900又∵AD=AE∠A=∠A∴△ADC≌△AEB∴AB=AC(2)解：连接0D∵OD=OB．∴∠OBD=∠ODB∵AB=AC∴∠0BD=∠ACB∴∠ODB=∠ACB又∵∠OBD=∠ABC．∴△OBD∽△ABC∴．∵∴BC=4．又∵BD=4∴∴AB=10∴AD=AB—BD=651\n23．（2022湖北省咸宁市，1，8分）如图，△ABC内接于⊙O，OC和AB相交于点E，点D在OC的延长线上，且∠B=∠D=∠BAC=30°．（1）试判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）AB=6，求⊙O的半径．考点：切线的判定；解直角三角形．分析：（1）连接OA，求出∠AOC=2∠B=60°，根据三角形内角和定理求出∠OAD，根据切线判定推出即可；（2）求出∠AEC=90°，根据垂径定理求出AE，根据锐角三角函数的定义即可求出AC，根据等边三角形的性质推出即可．解答：解：（1）直线AD与⊙O相切．理由如下：如图，连接OA．∵∠B=30°，∴∠AOC=2∠B=60°，∴∠OAD=180°﹣∠AOD﹣∠D=90°，即OA⊥AD，∵OA为半径，∴AD是⊙O的切线．（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，∴△ACO是等边三角形，51\n∴∠ACO=60°，AC=OA，∴∠AEC=180°﹣∠EAC﹣∠ACE=90°，∴OC⊥AB，又∵OC是⊙O的半径，∴AE=AB=6=3，在Rt△ACE中，sin∠ACE==sin60°，∴AC=6，∴⊙O的半径为6．点评：本题考查了切线的判定，含30度角的直角三角形，锐角三角函数的定义，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生综合运用性质进行推理的能力． 24.（2022湖北黄冈，20，7分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为3，AD＝4，求AC的长．【答案】（1）证明：连接OC．∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA．又∠OAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠OCA．∴OC∥AD，∴OC⊥CD，即DC为⊙O的切线．51\n（2）解：连接BC．由（1）知△ADC∽△ACB，∴＝，即AC2＝AD·AB．又⊙O的半径为3，∴AB＝6，AD＝4，∴AC＝．【解析】（1）证明DC为⊙O的切线，就是要连接OC，证明OC⊥DC．（2）连接BC，证明△ADC∽△ACB，利用相似三角形的对应边相等计算求解．【方法指导】本题考查圆的直径所对的圆周角是直角、切线的证明及相似三角形的判定和性质．证明圆的切线有两种常用方法：1.当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”．2.当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”．后面一种方法的应用在中考试卷中渐呈增多趋势，要引起注意．25．（2022江苏苏州，27，8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．第27题图（1）求证：BD＝BF；（2）若CF＝1，cosB＝，求⊙O的半径．【思路分析】（1）连接OE，由AC为圆O的切线，利用切线的性质得到OE垂直于AC，再由BC垂直于AC，得到OE与BC平行，根据O为DB的中点，得到E为DF的中点，即OE为三角形DBF的中位线，利用中位线定理得到OE为BF的一半，再由OE为DB的一半，等量代换即可得证；（2）在直角三角形ABC中，由cosB的值，设BC=3x，得到AB=5x，由BC+CF表示出BF，即为BD的长，再由OE为BF的一半，表示出OE，由AB﹣OB表示出AO，在直角三角形AOE中，利用两直线平行同位角相等得到∠AOE=∠B，得到cos∠AOE=cosB，根据cosB的值，利用锐角三角函数定义列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出圆的半径长．【解】（1）证明：连接OE，∵AC与圆O相切，∴OE⊥AC，∵BC⊥AC，∴OE∥BC，又∵O为DB的中点，51\n∴E为DF的中点，即OE为△DBF的中位线，∴OE=BF，又∵OE=BD，则BF=BD；（2）解：设BC=3x，根据题意得：AB=5x，又∵CF=1，∴BF=3x+1，由（1）得：BD=BF，∴BD=3x+1，∴OE=OB=，AO=AB﹣OB=5x﹣=，∵OE∥BF，∴∠AOE=∠B，∴cos∠AOE=cosB，即=，即=，解得：x=，则圆O的半径为=．【方法指导】此题考查了切线的性质，锐角三角函数定义，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．【易错警示】记不住圆的有关性质而出错．26．（2022江苏扬州，25，10分）如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC.（1）求证：AB=AC；（2）若AD=4，∠ABF=，求DE的长.【思路分析】（1）如图，由BF是⊙O的切线，利用弦切角定理，可得∠3=∠C，又由∠ABF=∠ABC，可证得∠2=∠C，即可得AB=AC；（2）如图，首先连接BD，作AG⊥BC于点G．∠D=∠2=∠3，可得cosD=cos∠3=，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理即可求得BD的长，继而在Rt△ABG中求得BG的长，则可求得答案．【解】（1）证明:连接BD，由AD⊥AB得BD必过圆心O，∵BF是⊙O的切线，∴BD⊥BF，∴∠ABF+∠ABD=90°.又∵AD⊥AB，∴∠D+∠ABD=90°.∴∠ABF=∠D.∵∠ABF=∠ABC，∠D=∠C，∴∠C=∠ABC，∴AB=AC;（2）解：∵∠ABF=∠D，∠ABF=，∴∠D=.51\n在Rt△ABD中，AD=4，∴DB=，由勾股定理得AB=3.由（1）知∠ABF=∠ABE,∠ABF=,∴∠ABE=.在Rt△ABE中，EB=.由勾股定理得AE=，所以DE=AD-AE=4-=.【方法指导】此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．【易错警示】不知道怎么作辅助线而无法解答．27.（2022贵州安顺，25，12分）如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C。（1）求证：CT为⊙O的切线；（2）若⊙O半径为2，CT=，求AD的长。【思路分析】（1）连接OT，根据角平分线的性质，以及直角三角形的两个锐角互余，证得CT⊥OT，CT为⊙O的切线；（2）证明四边形OTCE为矩形，求得OE的长，在直角△OAE中，利用勾股定理即可求解． 【解】（1）证明：连接OT∵OA=OT，∴∠OAT=∠OTA，又∵AT平分∠BAD，∴∠DAT=∠OAT，∴∠DAT=∠OTA，∴OT∥AC，又∵CT⊥AC，∴CT⊥OT，∴CT为⊙O的切线；……………………（6分）（2）过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点，51\n又∵CT⊥AC，∴OE∥CT，∴四边形OTCE为矩形，∵CT=，∴OE=又∵OA=2∴在Rt△OAE中，AE=,∴AD=2AE=2………………………………………（12分）【方法指导】本题主要考查了切线的判定以及性质，证明切线时可以利用切线的判定定理把问题转化为证明垂直的问题．28．（2022山东临沂，23，9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，E为BC上一点，以CE为直径作⊙O，AB与⊙O相切于点D，连接CD，若BE＝OE＝2．（1）求证：∠A＝2∠DCB；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留和根号）．ABCO•DE【答案】：（1）证明：连接OD．∵AB与⊙O相切于点D，∴∠ODB＝90°，∴∠B＋∠DOB＝90°．∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∴∠A＝∠DOB．∵OC＝OD，∴∠DOB＝2∠DCB．∴∠A＝2∠DCB．ABCO•DE（2）方法一：在Rt△ODB中，∵OD＝OE，OE＝BE，∴sin∠B＝＝，∴∠B＝30°，∠DOB＝60°．∵BD＝OB·sin60°＝，51\n∴S△DOB＝OD·DB＝×2×＝．S扇形ODE＝＝．S阴影＝S△DOB－S扇形ODE＝－．方法二：连接DE，在Rt△ODB中，∵BE＝OE＝2，∴DE＝OB＝OE．∵OD＝OE，∴△DOE为等边三角形，即∠DOB＝60°．【方法指导】本题综合了三角形与圆的性质、切线的性质、特殊角的三角函数等多个知识点。29．（2022山东滨州，22，8分）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，EF⊥AC，垂足为F．求证：直线EF是⊙O的切线．【答案】：证明：连接OE，∵OB=OE，∴∠B=∠OEB．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∴∠OEB=∠C．∴OE∥AC．∵EF⊥AC，∴OE⊥EF．∴直线EF是⊙O的切线．【解析】连接OE，则根据OB=OE可得：∠B=∠OEB,由AB=AC，可得∠C=∠B，继而可得∠OEB=∠C，根据平行线的判定可得OE∥AC,再根据平行线的性质得∠OEF=∠CFE=90°,则OE⊥EF，由切线的判定定理即可得出结论．【方法指导】本题考查了切线的判定、平行线的性质及判定和等腰三角形的性质，关键是作出辅助线，利用等角代换得出∠OEF为直角，难度一般．30.（2022广东省，24，9分）如题24图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的长；（3）求证：BE是⊙O的切线．51\n【思路分析】（1）由“等弦”可以直接得到“等圆周角”；（2）由同弧所对的圆周角相等及直角对应相等可证两三角形相似，再由相似可计算DE的长；（3）判定.BE是⊙O的切线有多种办法，比较简单的方法是由BA=BD得∠OBD=∠OBA，然后利用平行线证垂直。【解】（1）在⊙O中，∵弦BD=BA，且圆周角∠BCA和∠BAD分别对BA和BD，∴∠BCA=∠BAD.（2）∵BE⊥DC，∴又∵∠BAC=∠EDB∴△ABC∽△DEB∴，在Rt△ABC中，，AB=12，BC=5，由勾股定理得AC=13，∴，∴DE=.（3）方法一：如图，连结OB，∵OA=OB∴∠OAB=∠OBA∵BA=BD∴∠OBD=∠OBA又∠BDC=∠OBA∴∠OBD=∠BDC∴OB∥DE∴∠ODE=51\n即BE⊥OB于B，所以，BE是⊙O的切线.方法二：连结OB∵OB=OC∴∠OBC=∠OCB∵四边形ABCD内接于⊙O∴∠BAC+∠BCD=180°又∵∠BCE+∠BCD=180°∴∠BCE=∠BAC由(1)知∠BCA=∠BAD∴∠BCE=∠OBC∴OB∥DE∵BE⊥DE∴BE⊥OB于B，所以，BE是⊙O的切线.【方法指导】解决本题这类多步问题，有一个常规的思路，就是解决后面的问题往往要用到前面的结论，比如本题，解决第二问时要用到第一问的结论，解决第三问时，要用到前两问的结论.31．(2022浙江湖州,20,8分)如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC＝CP＝2，AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连结PB．（1）求BC的长；（2）求证：PB是⊙O的切线．【思路分析】（1）首先连接OB，由弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，易证得△OBC是等边三角形，则可求得BC的长；（2）由OC=CP=2，△OBC是等边三角形，可求得BC=CP，即可得∠P=∠CBP，又由等边三角形的性质，∠OBC=60°，∠CBP=30°，则可证得OB⊥BP，继而证得PB是⊙O的切线．【解】（1）连结OB．∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，∴∠COB＝60°．又∵OC＝OB，∴△OBC是正三角形．∴BC＝OC＝2．（2）证明：∵BC＝CP，∴∠CBP＝∠CPB．∵△OBC是正三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝60°．∴∠CBP＝30°．∴∠OBP＝∠CBP＋∠OBC＝90°．∴OB⊥BP．∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线．【方法指导】51\n此题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．32.（2022江苏泰州，23，10分）如图AB是⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°.(1)求证：DP是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积.【思路分析】（1）连接OD,BD，证PD⊥OD；（2）先解直角三角形POD，求PD长，然后观察到计算.【解】(1)证明：连接OD,BD∵OD=OB∠ABD=∠ACD=60°∴△OBD是等边三角形∴∠DOB=60°∵∠DOB+∠ODP+∠APD=180°∠APD=30°∴∠ODP=90°∴PD⊥OD∴PD是⊙O的切线.(2)在Rt△POD中，OD=3cm,∠APD=30°∵，∴∴图中阴影部分的面积【方法指导】本题主要考查圆切线判定，等边三角形性质及扇形面积的求法，并融合解直角三角形知识，体现了在知识的交汇点处命题的思想，始终关注核心知识、技能的考查．求阴影面积类问题也是各地中考热点题型，往往采用整体减部分得部分的思想转化为规则图形求解．33．（2022山东德州,20,8分）如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D点作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形。（1）求AD的长；（2）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明，说明理由。【思路分析】本题考查了圆的基本性质、直线与圆位置关系与平行四边形等.（1）根据平行四边形性质，通过添加辅助线（连接BD），再根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半可求出AD长；（2）连接OB，证OB⊥BC即可.【解】1）连接BD，则∠DBE=90，∵四边形BCOE是平行四边形，∴BC∥OE，BC=OE=1在Rt△ABD中，C为AD的中点，∴BC=AD=1∴AD=2（2）连接OB，由（1）得BC∥OD，且BC=OD。∴四边形BCDO是平行四边形51\n又∵AD是⊙O的切线。∴OD⊥AD∴四边形BCDO是矩形。∴OB⊥BC∴BC是⊙O的切线【方法指导】本题以圆为背景，但考查了圆周角、圆的切线性质判定与性质、平行四边形、矩形等知识.一般情况下，证明一条直线是否为圆的切线，看这条直线是否过径外断，如果没有，哪可以添加这条辅助线，再证其相互垂直.34．（2022山东菏泽，17，10分）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E,AE的延长线与BC的延长线交于点P.（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）若OC=CP，AB=6，求CD的长.【思路分析】（1）连接OA，证OA⊥PA即可；（2）转化为直角三角形中，根据锐角三角函数边角关系求解.【解】（1）证明：连接AO，AC.∵BC是⊙O的直径∴∠BAC=90°∴∠CAD=90°CABODEP（第18题）∵点E是CD的中点∴CE=CE=AE……………………2分在等腰△EAC中，∠ECA=∠EAC∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∵CD是⊙O的切线∴CD⊥OC∴∠ECA+∠OAC=90°∴∠EAC+∠OAC=90°∴OA⊥AP∴AP是⊙O的切线……………………5分（2）由（1）知OA⊥AP在Rt△OAP中，∵∠OAP=90°,OC=CP=OA即OP=2OA，∴∴,∴……………………7分∴51\n又∵在Rt△DAC中，∠CAD=90°,∠ACD=90°-∠ACO=30°∴……………………10分【方法指导】本题考查了圆的切线性质、判定，与圆有关的基本性质，直角三角形相关知识等.在运用切线的性质时，若已知切点，连接切点和圆心，得垂直；若不知切点，则过圆心向切线作垂直，即“知切点连半径，无切点作垂直”．35.（2022四川凉山州，27，8分）在同一平面直角坐标系中有5个点：（1，1），（，），（，1），（，），（0，）。（1）画出的外接圆，并指出点与的位置关系；（2）若直线经过点（，），（，），判断直线与的位置关系。123-1-2-3O-1-2-3123（第27题图）xy【思路分析】（1）要画出圆，只要确定圆的圆心与圆的半径就可以了，判断点与圆的位置关系就是要比较点到圆心的距离与圆的半径的大小即可；（2）只要证明PD⊥即可。【解】（1）∵（1，1），（，），（，1），∴，。=，∴，∴是直角三角形，且AB斜边。∴的外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为（-1，0），半径为。画图如图所示。∵（，），P（-2，0），∴，∴点在上。（2）直线与相切。理由如下：连结PE，∵直线经过点（，），（，），∴,∴,∴△PDE是直角三角形，且∠PDE=90°。∴PD⊥，∴直线与相切。51\n【方法指导】本题考查的圆的知识，涉及到的知识比较多，三点确定一个圆，直径所对的圆周角是直角，判断点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系。36．（2022广东湛江，23，10分）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P＝∠BAC．（1）求证：PA为⊙O的切线；（2）若OB=5，OP=，求AC的长．【思路分析】（1）设法证∠OAP=90°,(2)利用垂径定理，勾股定理及面积法可求AC的长。【解】（1）设AC与OP相交于点H∵AB是直径，∴AC⊥BC，∠BAC+∠B=90°∵OP∥BC，∴OP⊥AC，∠AOB=∠B∵∠P=∠BAC∴∠P+∠AOP=90°，于是∠OAB=90°∴PA为⊙O的切线（2）∵OP⊥AC，∴AC=2AH在直角三角形PAO中，AP=由面积法可知：所以AC=8【方法指导】一、判别直线是圆的切线有两种方法，如果直线与圆有交点，则连接交点与圆心，证这条线段垂直于直线即可；如果直线与圆没有直接的联系，则过圆心作直线的垂线段，证垂线段等于圆的半径即可。二、求线段的长度有以下常用的方法：1.用勾股定理，适用于已知两边的直角三角形中；2.用相似三角形，适用于有相似三角形的图形中；3.面积法，适用于有直角三角形的图形中有高的存在。51
