直线和圆的位置关系1、（2022•常州）已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A．相离B．相切C．相交D．无法判断考点：直线与圆的位置关系．3718684分析：根据圆O的半径和圆心O到直线l的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可选出答案．解答：解：∵⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为5，∵6＞5，即：d＜r，∴直线L与⊙O的位置关系是相交．故选；C．点评：本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．2、（13年山东青岛、7）直线与半径的圆O相交，且点O到直线的距离为6，则的取值范围是（）A、B、C、D、答案：C解析：当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，所以选C。3、（2022•黔东南州）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为（ ） A．2cmB．2.4cmC．3cmD．4cm考点：直线与圆的位置关系．分析：R的长即为斜边AB上的高，由勾股定理易求得AB的长，根据直角三角形面积的不同表示方法，即可求出r的值．解答：解：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm；由勾股定理，得：AB2=32+42=25，∴AB=5；又∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，∴CD=R；∵S△ABC=AC•BC=AB•r；∴r=2.4cm，故选B．点评：本题考查的知识点有：切线的性质、勾股定理、直角三角形面积的求法；斜边上的高即为圆的半径是本题的突破点4、（2022凉山州）在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3）．76\n（1）画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的位置关系；（2）若直线l经过点D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3），判断直线l与⊙P的位置关系．考点：直线与圆的位置关系；点与圆的位置关系；作图—复杂作图．专题：探究型．分析：（1）在直角坐标系内描出各点，画出△ABC的外接圆，并指出点D与⊙P的位置关系即可；（2）连接OD，用待定系数法求出直线PD与PE的位置关系即可．解答：解：（1）如图所示：△ABC外接圆的圆心为（﹣1，0），点D在⊙P上；（2）连接OD，设过点P、D的直线解析式为y=kx+b，∵P（﹣1，0）、D（﹣2，﹣2），∴，解得，∴此直线的解析式为y=2x+2；设过点D、E的直线解析式为y=ax+c，∵D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3），∴，解得，∴此直线的解析式为y=﹣x﹣3，∵2×（﹣）=﹣1，∴PD⊥PE，76\n∵点D在⊙P上，∴直线l与⊙P相切．点评：本题考查的是直线与圆的位置关系，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 圆的切线1、（2022济宁）如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（ ） A．4B．C．6D．考点：切线的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理．专题：计算题．分析：76\n连接OD，由DF为圆的切线，利用切线的性质得到OD垂直于DF，根据三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到三条边相等，三内角相等，都为60°，由OD=OC，得到三角形OCD为等边三角形，进而得到OD平行与AB，由O为BC的中点，得到D为AC的中点，在直角三角形ADF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长，进而求出AC的长，即为AB的长，由AB﹣AF求出FB的长，在直角三角形FBG中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出BG的长，再利用勾股定理即可求出FG的长．解答：解：连接OD，∵DF为圆O的切线，∴OD⊥DF，∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，∵OD=OC，∴△OCD为等边三角形，∴OD∥AB，又O为BC的中点，∴D为AC的中点，即OD为△ABC的中位线，∴OD∥AB，∴DF⊥AB，在Rt△AFD中，∠ADF=30°，AF=2，∴AD=4，即AC=8，∴FB=AB﹣AF=8﹣2=6，在Rt△BFG中，∠BFG=30°，∴BG=3，则根据勾股定理得：FG=3．故选B点评：此题考查了切线的性质，等边三角形的性质，含30°直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 2、(2022年武汉)如图，⊙A与⊙B外切于点D，PC，PD，PE分别是圆的切线，C，D，E是切点，若∠CED＝°，∠ECD＝°，⊙B的半径为R，则的长度是（）A．B．C．D．答案：B解析：由切线长定理，知：PE＝PD＝PC，设∠PEC＝z°所以，∠PED＝∠PDE＝（x＋z）°，∠PCE＝∠PEC＝z°，∠PDC＝∠PCD＝（y＋z）°，∠DPE＝（180－2x－2z）°，∠DPC＝（180－2y－2z）°，76\n在△PEC中，2z°＋（180－2x－2z）°＋（180－2y－2z）°＝180°，化简，得：z＝（90－x－y）°，在四边形PEBD中，∠EBD＝（180°－∠DPE）＝180°－（180－2x－2z）°＝（2x＋2z）°＝（2x＋180－2x－2y）＝（180－2y）°，所以，弧DE的长为：＝选B。3、（2022•雅安）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于E，则sin∠E的值为（ ） A．B．C．D．考点：切线的性质；圆周角定理；特殊角的三角函数值．分析：首先连接OC，由CE是⊙O切线，可得OC⊥CE，由圆周角定理，可得∠BOC=60°，继而求得∠E的度数，则可求得sin∠E的值．解答：解：连接OC，∵CE是⊙O切线，∴OC⊥CE，即∠OCE=90°，∵∠CDB=30°，∴∠COB=2∠CDB=60°，∴∠E=90°﹣∠COB=30°，∴sin∠E=．故选A．点评：此题考查了切线的性质、圆周角定理以及特殊角的三角函数值．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 76\n4、（2022泰安）如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论不成立的是（ ） A．OC∥AEB．EC=BCC．∠DAE=∠ABED．AC⊥OE考点：切线的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．专题：计算题．分析：由C为弧EB的中点，利用垂径定理的逆定理得出OC垂直于BE，由AB为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到AE垂直于BE，即可确定出OC与AE平行，选项A正确；由C为弧BE中点，即弧BC=弧CE，利用等弧对等弦，得到BC=EC，选项B正确；由AD为圆的切线，得到AD垂直于OA，进而确定出一对角互余，再由直角三角形ABE中两锐角互余，利用同角的余角相等得到∠DAE=∠ABE，选项C正确；AC不一定垂直于OE，选项D错误．解答：解：A．∵点C是的中点，∴OC⊥BE，∵AB为圆O的直径，∴AE⊥BE，∴OC∥AE，本选项正确；B．∵=，∴BC=CE，本选项正确；C．∵AD为圆O的切线，∴AD⊥OA，∴∠DAE+∠EAB=90°，∵∠EBA+∠EAB=90°，∴∠DAE=∠EBA，本选项正确；D．AC不一定垂直于OE，本选项错误，故选D点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及圆心角，弧及弦之间的关系，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 5、（2022•白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（ ）76\n A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象；多边形内角与外角；切线的性质；切线长定理；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义．专题：计算题．分析：连接OB、OC、OA，求出∠BOC的度数，求出AB、AC的长，求出四边形OBAC和扇形OBC的面积，即可求出答案．解答：解：连接OB、OC、OA，∵圆O切AM于B，切AN于C，∴∠OBA=∠OCA=90°，OB=OC=r，AB=AC∴∠BOC=360°﹣90°﹣90°﹣α=（180﹣α）°，∵AO平分∠MAN，∴∠BAO=∠CAO=α，AB=AC=，∴阴影部分的面积是：S四边形BACO﹣S扇形OBC=2×××r﹣=（﹣）r2，∵r＞0，∴S与r之间是二次函数关系．故选C．点评：本题主要考查对切线的性质，切线长定理，三角形和扇形的面积，锐角三角函数的定义，四边形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行计算是解此题的关键．6、（2022•黔西南州）如图所示，线段AB是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（ ）76\n A．50°B．40°C．60°D．70°考点：切线的性质；圆周角定理．分析：连接OC，由CE为圆O的切线，根据切线的性质得到OC垂直于CE，即三角形OCE为直角三角形，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由圆周角∠CDB的度数，求出圆心角∠COB的度数，在直角三角形OCE中，利用直角三角形的两锐角互余，即可求出∠E的度数．解答：解：连接OC，如图所示：∵圆心角∠BOC与圆周角∠CDB都对弧BC，∴∠BOC=2∠CDB，又∠CDB=20°，∴∠BOC=40°，又∵CE为圆O的切线，∴OC⊥CE，即∠OCE=90°，则∠E=90°﹣40°=50°．故选A．点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及直角三角形的性质，遇到直线与圆相切，连接圆心与切点，利用切线的性质得垂直，根据直角三角形的性质来解决问题．熟练掌握性质及定理是解本题的关键．7、（2022•毕节地区）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（ ） A．2，22.5°B．3，30°C．3，22.5°D．2，30°76\n考点：切线的性质；等腰直角三角形．分析：首先连接AO，由切线的性质，易得OD⊥AB，即可得OD是△ABC的中位线，继而求得OD的长；根据圆周角定理即可求出∠MND的度数．解答：解：连接OA，∵AB与⊙O相切，∴OD⊥AB，∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，O为BC的中点，∴AO⊥BC，∴OD∥AC，∵O为BC的中点，∴OD=AC=2；∵∠DOB=45°，∴∠MND=∠DOB=22.5°，故选A．点评：此题考查了切线的性质、圆周角定理、切线长定理以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．8、（2022台湾、17）如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与圆O相切于E点．若圆O的半径为5，且AB=11，则DE的长度为何？（ ） A．5B．6C．D．考点：切线的性质；正方形的性质．分析：求出正方形ANOM，求出AM长和AD长，根据DE=DM求出即可．解答：解：连接OM、ON，76\n∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=11，∠A=90°，∵圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，∴∠OMA=∠ONA=90°=∠A，∵OM=ON，∴四边形ANOM是正方形，∴AM=OM=5，DE与圆O相切于E点，圆O的半径为5，∴AM=5，DM=DE，∴DE=11﹣5=6，故选B．点评：本题考查了正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的应用，关键是求出AM长和得出DE=DM． 9、(2022年江西省)平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是．【答案】2，3，4.【考点解剖】本题主要考查学生阅读理解能力、作图能力、联想力与思维的严谨性、周密性，所涉及知识点有等腰三角形、圆的有关知识，分类讨论思想，不等式组的整数解，在运动变化中抓住不变量的探究能力．【解题思路】由∠AOB=120°，AO=BO=2画出一个顶角为120°、腰长为2的等腰三角形，由与互补，是的一半，点C是动点想到构造圆来解决此题．【解答过程】【方法规律】构造恰当的图形是解决此类问题的关键.【关键词】圆整数值10、（2022•苏州）如图，AB切⊙O于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，劣弧的弧长为 π ．（结果保留π）76\n考点：切线的性质；含30度角的直角三角形；弧长的计算．专题：计算题．分析：连接OB，OC，由AB为圆的切线，利用切线的性质得到三角形AOB为直角三角形，根据30度所对的直角边等于斜边的一半，由OA求出OB的长，且∠AOB为60度，再由BC与OA平行，利用两直线平行内错角相等得到∠OBC为60度，又OB=OC，得到三角形BOC为等边三角形，确定出∠BOC为60度，利用弧长公式即可求出劣弧BC的长．解答：解：连接OB，OC，∵AB为圆O的切线，∴∠ABO=90°，在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，∴OB=1，∠AOB=60°，∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，又OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°，则劣弧长为=π．故答案为：π点评：此题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，以及弧长公式，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．11、2022•咸宁）如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为 2 ．考点：切线的性质；等腰直角三角形．分析：首先连接OP、OQ，根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，可得当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案．解答：解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；76\n根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA=OB=3，∴AB=OA=6，∴OP==3，∴PQ===2．故答案为：2．点评：本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PO⊥AB时，线段PQ最短是关键．12、（2022•恩施州）如图所示，一半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形，则扇形的周长为 6+π ．考点：相切两圆的性质；含30度角的直角三角形；切线的性质；弧长的计算．分析：首先求出扇形半径，进而利用扇形弧长公式求出扇形弧长，进而得出扇形周长．解答：解：如图所示：设⊙O与扇形相切于点A，B，则∠CAO=90°，∠AOB=30°，∵一半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形，∴AO=1，∴CO=2AO=2，∴BC=2=1=3，∴扇形的弧长为：=π，∴则扇形的周长为：3+3+π=6+π．故答案为：6+π．76\n点评：此题主要考查了相切两圆的性质以及扇形弧长公式等知识，根据已知得出扇形半径是解题关键．13、（2022哈尔滨）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为，CD=4，则弦AC的长为．考点：垂径定理；勾股定理。切线的性质。分析：：本题考查的是垂径定理的应用切线的性质及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键。解答：连接OA,作OE⊥CD于E,易得OA⊥AB,CE=DE=2，由于CD∥AB得EOA三点共线，连OC,在直角三角形OEC中,由勾股定理得OE=,从而AE=4，再直角三角形AEC中由勾股定理得AC=14、（2022杭州）射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值（单位：秒）76\n考点：切线的性质；等边三角形的性质．专题：分类讨论．分析：求出AB=AC=BC=4cm，MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分为三种情况：画出图形，结合图形求出即可；解答：解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°，∵QN∥AC，AM=BM．∴N为BC中点，∴MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分为三种情况：①如图1，当⊙P切AB于M′时，连接PM′，则PM′=cm，∠PM′M=90°，∵∠PMM′=∠BMN=60°，∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，∴QP=4cm﹣2cm=2cm，即t=2；②如图2，当⊙P于AC切于A点时，连接PA，则∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=cm，∴PM=1cm，∴QP=4cm﹣1cm=3cm，即t=3，当当⊙P于AC切于C点时，连接PC，则∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=cm，∴P′N=1cm，∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm，76\n即当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切；③如图1，当⊙P切BC于N′时，连接PN′3则PN′=cm，∠PM\N′N=90°，∵∠PNN′=∠BNM=60°，∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm，∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm，即t=8；故答案为：t=2或3≤t≤7或t=8．点评：本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，切线的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行计算的能力，注意要进行分类讨论啊． 15、（2022•天津）如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为 55 （度）．考点：切线的性质．3718684分析：首先连接OA，OB，由PA、PB分别切⊙O于点A、B，根据切线的性质可得：OA⊥PA，OB⊥PB，然后由四边形的内角和等于360°，求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．解答：解：连接OA，OB，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠PAO=∠PBO=90°，∴∠AOB=360°﹣∠PAO﹣∠P﹣∠PBO=360°﹣90°﹣70°﹣90°=110°，∴∠C=∠AOB=55°．故答案为：55．76\n点评：此题考查了切线的性质以及圆周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 16、（2022•白银）如图，在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点E．（1）若OC=5，AB=8，求tan∠BAC；（2）若∠DAC=∠BAC，且点D在⊙O的外部，判断直线AD与⊙O的位置关系，并加以证明．考点：切线的判定；勾股定理；垂径定理．专题：计算题．分析：（1）根据垂径定理由半径OC垂直于弦AB，AE=AB=4，再根据勾股定理计算出OE=3，则EC=2，然后在Rt△AEC中根据正切的定义可得到tan∠BAC的值；（2）根据垂径定理得到AC弧=BC弧，再利用圆周角定理可得到∠AOC=2∠BAC，由于∠DAC=∠BAC，所以∠AOC=∠BAD，利用∠AOC+∠OAE=90°即可得到∠BAD+∠OAE=90°，然后根据切线的判定方法得AD为⊙O的切线．解答：解：（1）∵半径OC垂直于弦AB，∴AE=BE=AB=4，在Rt△OAE中，OA=5，AE=4，∴OE==3，∴EC=OC﹣OE=5﹣3=2，在Rt△AEC中，AE=4，EC=2，∴tan∠BAC===；（2）AD与⊙O相切．理由如下：∵半径OC垂直于弦AB，∵AC弧=BC弧，∴∠AOC=2∠BAC，∵∠DAC=∠BAC，∴∠AOC=∠BAD，∵∠AOC+∠OAE=90°，76\n∴∠BAD+∠OAE=90°，∴OA⊥AD，∴AD为⊙O的切线．点评：本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了勾股定理以及垂径定理、圆周角定理．17、（2022四川宜宾）如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．分析：（1）证明△ADC∽△BAC，可得∠BAC=∠ADC=90°，继而可判断AC是⊙O的切线．（2）根据（1）所得△ADC∽△BAC，可得出CA的长度，继而判断∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性质得出AF的长度，继而得出DF的长，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的长．解答：解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵∠B=∠CAD，∠C=∠C，∴△ADC∽△BAC，∴∠BAC=∠ADC=90°，∴BA⊥AC，∴AC是⊙O的切线．（2）∵△ADC∽△BAC（已证），∴=，即AC2=BC×CD=36，解得：AC=6，76\n在Rt△ACD中，AD==2，∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，∴CA=CF=6，∴DF=CA﹣CD=2，在Rt△AFD中，AF==2．点评：本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握切线的判定定理、相似三角形的性质，勾股定理的表达式． 18、（13年北京5分20）如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E。（1）求证：∠EPD=∠EDO（2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的长。[中国教育出&版*^#@网]解析：考点：圆中的证明与计算（三角形相似、三角函数、切线的性质）76\n19、（13年北京8分25）对于平面直角坐标系O中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C的关联点。已知点D（，），E（0，-2），F（，0）（1）当⊙O的半径为1时，①在点D，E，F中，⊙O的关联点是__________；②过点F作直线交轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线上的点P（，）是⊙O的关联点，求的取值范围；（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径的取值范围。解析：【解析】(1)①；②由题意可知，若点要刚好是圆的关联点；需要点到圆的两条切线和之间所夹的角度为；由图可知，则，连接，则；∴若点为圆的关联点；则需点到圆心的距离满足；由上述证明可知，考虑临界位置的点，如图2；点到原点的距离；过作轴的垂线，垂足为；；∴；∴；76\n∴；∴；易得点与点重合，过作轴于点；易得；∴；从而若点为圆的关联点，则点必在线段上；∴；(2)若线段上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段的中点；考虑临界情况，如图3；即恰好点为圆的关联时，则；∴此时；故若线段上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径的取值范围为.【点评】“新定义”问题最关键的是要能够把“新定义”转化为自己熟悉的知识，通过第(2)问开头部分的解析，可以看出本题的“关联点”本质就是到圆心的距离小于或等于倍半径的点.了解了这一点，在结合平面直角坐标系和圆的知识去解答就事半功倍了.考点：代几综合（“新定义”、特殊直角三角形的性质、圆、特殊角三角形函数、数形结合）20、（2022福省福州20）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME=1，AM=2，AE=（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求的长．76\n考点：切线的判定；勾股定理的逆定理；弧长的计算；解直角三角形．分析：（1）欲证明BC是⊙O的切线，只需证明OB⊥BC即可；（2）首先，在Rt△AEM中，根据特殊角的三角函数值求得∠A=30°；其次，利用圆心角、弧、弦间的关系、圆周角定理求得∠BON=2∠A=60°，由三角形函数的定义求得ON==；最后，由弧长公式l=计算的长．解答：（1）证明：如图，∵ME=1，AM=2，AE=，∴ME2+AE2=AM2=4，∴△AME是直角三角形，且∠AEM=90°．又∵MN∥BC，∴∠ABC=∠AEM=90°，即OB⊥BC．又∵OB是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；（2）解：如图，连接ON．在Rt△AEM中，sinA==，∴∠A=30°．∵AB⊥MN，∴=，EN=EM=1，∴∠BON=2∠A=60°．在Rt△OEN中，sin∠EON=，∴ON==，∴的长度是：•=．76\n点评：本题综合考查了切线的判定与性质、勾股定理的逆定理，弧长的计算，解直角三角形等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 21、（2022甘肃兰州10分、27）已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．考点：切线的判定；平行线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE=∠DEM=90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切线．（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有△ACD∽△ADE．根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．解答：（1）证明：连接OD．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．（1分）∵∠OAD=∠DAE，∴∠ODA=∠DAE．（2分）∴DO∥MN．（3分）∵DE⊥MN，∴∠ODE=∠DEM=90°．即OD⊥DE．（4分）∵D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线．（5分）（2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，∴．（6分）连接CD．∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=∠AED=90°．（7分）∵∠CAD=∠DAE，∴△ACD∽△ADE．（8分）∴．76\n∴．则AC=15（cm）．（9分）∴⊙O的半径是7.5cm．（10分）点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，线段等量关系的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题． 22、(2022年广东省9分、24)如题24图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,弦BD=BA,AB=12,BC=5,BE⊥DC交DC的延长线于点E.(1)求证：∠BCA=∠BAD;(2)求DE的长;(3)求证:BE是⊙O的切线.解析：(1)∵AB=DB,∴∠BDA=∠BAD,又∵∠BDA=∠BCA,∴∠BCA=∠BAD.(2)在Rt△ABC中，AC=,易证△ACB∽△DBE,得,∴DE=(3)连结OB,则OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠BAC+∠BCD=180°,又∵∠BCE+∠BCD=180°,∴∠BCE=∠BAC,由(1)知∠BCA=∠BAD,∴∠BCE=∠OBC,∴OB∥DE∵BE⊥DE,∴OB⊥BE,∴BE是⊙O的切线.23、(2022年广东湛江)如图，已知是⊙O的直径，为⊙O外一点，且，.．（１）求证：为⊙O的切线；（２）若，求的长．解：（１）是⊙O的直径，，又△∽△，，为⊙O的切线。76\n（２），由（１）知，△∽△，，在△中，，的长为8。24、（2022•湖州）如图，已知P是⊙O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB．（1）求BC的长；（2）求证：PB是⊙O的切线．考点：切线的判定；等边三角形的判定与性质；垂径定理．分析：（1）首先连接OB，由弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，易证得△OBC是等边三角形，则可求得BC的长；（2）由OC=CP=2，△OBC是等边三角形，可求得BC=CP，即可得∠P=∠CBP，又由等边三角形的性质，∠OBC=60°，∠CBP=30°，则可证得OB⊥BP，继而证得PB是⊙O的切线．解答：（1）解：连接OB，∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，∴弧BC与弧AC的度数为：60°，∴∠BOC=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OC=2；（2）证明：∵OC=CP，BC=OC，∴BC=CP，∴∠CBP=∠CPB，∵△OBC是等边三角形，∴∠OBC=∠OCB=60°，∴∠CBP=30°，∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°，∴OB⊥BP，∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线．76\n点评：此题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．25、（2022•泰州）如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．（1）求证：DP是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．考点：切线的判定；扇形面积的计算．分析：（1）连接OD，求出∠AOD，求出∠DOB，求出∠ODP，根据切线判定推出即可；（2）求出OP、DP长，分别求出△DOB和三角形ODP面积，即可求出答案．解答：（1）证明：连接OD，∵∠ACD=60°，∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°，∴∠DOP=180°﹣120°=60°，∵∠APD=30°，∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°，∴OD⊥DP，∵OD为半径，∴DP是⊙O切线；（2）解：∵∠P=30°，∠ODP=90°，OD=3cm，∴OP=6cm，由勾股定理得：DP=3cm，∴图中阴影部分的面积S=S△ODP﹣S扇形DOB=×3×3﹣=（﹣π）cm276\n点评：本题考查了扇形面积，三角形面积，切线的判定，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力．26、（2022•南宁）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，BE交⊙O于点F，连接AF，AF的延长线交DE于点P．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求tan∠ABE的值；（3）若OA=2，求线段AP的长．考点：切线的判定；圆周角定理；解直角三角形．3718684专题：证明题．分析：（1）连结AD、OD，根据圆周角定理得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形的直线得DC=DB，所以OD为△BAC的中位线，则OD∥AC，然后利用DE⊥AC得到OD⊥DE，这样根据切线的判定定理即可得到结论；（2）易得四边形OAED为正方形，然后根据正切的定义计算tan∠ABE的值；（3）由AB是⊙O的直径得∠AFB=90°，再根据等角的余角相等得∠EAP=∠ABF，则tan∠EAP=tan∠ABE=，在Rt△EAP中，利用正切的定义可计算出EP，然后利用勾股定理可计算出AP．解答：（1）证明：连结AD、OD，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，∴AD垂直平分BC，即DC=DB，∴OD为△BAC的中位线，∴OD∥AC，而DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵OD⊥DE，DE⊥AC，∴四边形OAED为矩形，而OD=OA，∴四边形OAED为正方形，∴AE=AO，76\n∴tan∠ABE==；（3）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴∠ABF+∠FAB=90°，而∠EAP+∠FAB=90°，∴∠EAP=∠ABF，∴tan∠EAP=tan∠ABE=，在Rt△EAP中，AE=2，∵tan∠EAP==，∴EP=1，∴AP==．点评：本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了圆周角定理和解直角三角形．27、（2022•钦州）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．（1）求⊙O的半径OD；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）求图中两部分阴影面积的和．考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算．3718684专题：计算题．分析：76\n（1）由AB为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AB，在直角三角形BDO中，利用锐角三角函数定义，根据tan∠BOD及BD的值，求出OD的值即可；（2）连接OE，由AE=OD=3，且OD与AE平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到OE与AD平行，再由DA与AE垂直得到OE与AC垂直，即可得证；（3）阴影部分的面积由三角形BOD的面积+三角形ECO的面积﹣扇形DOF的面积﹣扇形EOG的面积，求出即可．解答：解：（1）∵AB与圆O相切，∴OD⊥AB，在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD==，∴OD=3；（2）连接OE，∵AE=OD=3，AE∥OD，∴四边形AEOD为平行四边形，∴AD∥EO，∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，又∵OE为圆的半径，∴AC为圆O的切线；（3）∵OD∥AC，∴=，即=，∴AC=7.5，∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5，∴S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形BOD﹣S扇形EOG=×2×3+×3×4.5﹣=3+﹣=．点评：此题考查了切线的判定与性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，平行四边形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．28、（2022•玉林）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．（1）求证：AC是⊙O的切线：（2）若BF=8，DF=，求⊙O的半径r．76\n考点：切线的判定．分析：（1）连接OA、OD，求出∠D+∠OFD=90°，推出∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，求出∠OAD+∠CAF=90°，根据切线的判定推出即可；（2）OD=r，OF=8﹣r，在Rt△DOF中根据勾股定理得出方程r2+（8﹣r）2=（）2，求出即可．解答：（1）证明：连接OA、OD，∵D为弧BE的中点，∴OD⊥BC，∠DOF=90°，∴∠D+∠OFD=90°，∵AC=AF，OA=OD，∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，∵∠CFA=∠OFD，∴∠OAD+∠CAF=90°，∴OA⊥AC，∵OA为半径，∴AC是⊙O切线；（2）解：∵⊙O半径是r，当F在半径OE上时，∴OD=r，OF=8﹣r，在Rt△DOF中，r2+（8﹣r）2=（）2，r=，r=（舍去）；当F在半径OB上时，∴OD=r，OF=r﹣8，在Rt△DOF中，r2+（r﹣8）2=（）2，r=，r=（舍去）；76\n即⊙O的半径r为．点评：本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算的能力．29、（2022安顺）如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．（1）求证：CT为⊙O的切线；（2）若⊙O半径为2，CT=，求AD的长．考点：切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．分析：（1）连接OT，根据角平分线的性质，以及直角三角形的两个锐角互余，证得CT⊥OT，CT为⊙O的切线；（2）证明四边形OTCE为矩形，求得OE的长，在直角△OAE中，利用勾股定理即可求解．解答：（1）证明：连接OT，∵OA=OT，∴∠OAT=∠OTA，又∵AT平分∠BAD，∴∠DAT=∠OAT，∴∠DAT=∠OTA，∴OT∥AC，（3分）又∵CT⊥AC，∴CT⊥OT，∴CT为⊙O的切线；（5分）（2）解：过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点，又∵CT⊥AC，∴OE∥CT，∴四边形OTCE为矩形，（7分）∵CT=，∴OE=，又∵OA=2，∴在Rt△OAE中，，∴AD=2AE=2．（10分）76\n点评：本题主要考查了切线的判定以及性质，证明切线时可以利用切线的判定定理把问题转化为证明垂直的问题． 30、（2022•六盘水）在Rt△ACB中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交与点D，E，且∠CBD=∠A．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论．（2）若AD：AO=6：5，BC=3，求BD的长．考点：切线的判定．分析：（1）连接OD，DE，求出∠ADE=90°=∠C推出DE∥BC∴∠EDB=∠CBD=∠A，根据∠A+∠OED=90°求出∠EDB+∠ODE=90°，根据切线的判定推出即可；（2）求出AD：DE：AE=6：8：10，求出△ADE∽△ACB，推出DC：BC：BD=AD：DE：AE=6：8：10，代入求出即可．解答：（1）直线BD与⊙O的位置关系是相切，证明：连接OD，DE，∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°，∵∠A=∠CBD，∴∠A+∠CDB=90°，∵OD=OA，∴∠A=∠ADO，∴∠ADO+∠CDB=90°，∴∠ODB=180°﹣90°=90°，∴OD⊥BD，∵OD为半径，∴BD是⊙O切线；（2）解：∵AD：AO=6：5，∴=，76\n∴由勾股定理得：AD：DE：AE=6：8：10，∵AE是直径，∴∠ADE=∠C=90°，∵∠CBD=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴DC：BC：BD=AD：DE：AE=6：8：10，∵BC=3，∴BD=．点评：本题考查了切线的判定，平行线性质和判定，等腰三角形性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．31、（2022•黔东南州）如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°．（1）先作∠ACB的平分线；设它交AB边于点O，再以点O为圆心，OB为半径作⊙O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）证明：AC是所作⊙O的切线；（3）若BC=，sinA=，求△AOC的面积．考点：作图—复杂作图；切线的判定．分析：（1）根据角平分线的作法求出角平分线FC，进而得出⊙O；（2）根据切线的判定定理求出EO=BO，即可得出答案；（3）根据锐角三角函数的关系求出AC，EO的长，即可得出答案．解答：（1）解：如图所示：（2）证明：过点O作OE⊥AC于点E，∵FC平分∠ACB，∴OB=OE，∴AC是所作⊙O的切线；（3）解：∵sinA=，∠ABC=90°，∴∠A=30°，76\n∴∠ACB=∠OCB=ACB=30°，∵BC=，∴AC=2，BO=tan30°BC=×=1，∴△AOC的面积为：×AC×OE=×2×1=．点评：此题主要考查了复杂作图以及切线的判定和锐角三角函数的关系等知识，正确把握切线的判定定理是解题关键．32、（2022年河北）如图16，△OAB中，OA=OB=10，∠AOB=80°，以点O为圆心，6为半径的优弧分别交OA，OB于点M，N.（1）点P在右半弧上（∠BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′.求证：AP=BP′；（2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求点T到OA的距离；（3）设点Q在优弧上，当△AOQ的面积最大时，直接写出∠BOQ的度数.解析：（1）证明：如图2，∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80º+∠BOP.∠BOP’=∠POP’+∠BOP=80º+∠BOP∴∠AOP=∠BOP’2分又∵OA=OB，OP=OP’∴△AOP≌△BOP’4分∴AP=BP’5分（2）解：连接OT，过T作TH⊥OA于点H∵AT与相切，∴∠ATO=90º6分76\n∴==87分∵=,即=∴TH=，即为所求的距离9分（3）10º，170º11分【注：当OQ⊥OA时，△AOQ的面积最大，且左右两半弧上各存在一点】33、（2022•牡丹江）如图，点C是⊙O的直径AB延长线上的一点，且有BO=BD=BC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若半径OB=2，求AD的长．考点：切线的判定；含30度角的直角三角形；勾股定理．3718684专题：证明题．分析：（1）由于BO=BD=BC，即DB为△ODC的边OC的中线，且有DB=OC，则∠ODC=90°，然后根据切线的判定方法即可得到结论；（2）由AB为⊙O的直径得∠BDA=90°，而BO=BD=2，则AB=2BD=4，然后根据勾股定理可计算出AD．解答：（1）证明：连结OD，如图，∵BO=BD=BC，∴BD为△ODC的中线，且DB=OC，∴∠ODC=90°，∴OD⊥CD，而OD为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA=90°，∵BO=BD=2，∴AB=2BD=4，∴AD==2．76\n点评：本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了直角三角形的判定方法、勾股定理．34、（2022•鄂州）已知：如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F．（1）求证：DE为⊙O的切线．（2）求证：AB：AC=BF：DF．考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．3718684专题：证明题．分析：（1）连接OD、AD，求出CDA=∠BDA=90°，求出∠1=∠4，∠2=∠3，推出∠4+∠3=∠1+∠2=90°，根据切线的判定推出即可；（2）证△ABD∽△CAD，推出=，证△FAD∽△FDB，推出=，即可得出AB：AC=BF：DF．解答：证明：（1）连结DO、DA，∵AB为⊙O直径，∴∠CDA=∠BDA=90°，∵CE=EA，∴DE=EA，∴∠1=∠4，∵OD=OA，∴∠2=∠3，∵∠4+∠3=90°，∴∠1+∠2=90°，即：∠EDO=90°，∵OD是半径，∴DE为⊙O的切线；76\n（2）∵∠3+∠DBA=90°，∠3+∠4=90°，∴∠4=∠DBA，∵∠CDA=∠BDA=90°，∴△ABD∽△CAD，∴=，∵∠FDB+∠BDO=90°，∠DBO+∠3=90°，又∵OD=OB，∴∠BDO=∠DBO，∴∠3=∠FDB，∵∠F=∠F，∴△FAD∽△FDB，∴=，∴=，即AB：AC=BF：DF．点评：本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．35、（2022•恩施州）如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线．（2）求证：AF=CF．（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．考点：76\n切线的判定；等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．3718684专题：证明题．分析：（1）连结OC，由C是劣弧AE的中点，根据垂径定理得OC⊥AE，而CG∥AE，所以CG⊥OC，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连结AC、BC，根据圆周角定理得∠ACB=90°，∠B=∠1，而CD⊥AB，则∠CDB=90°，根据等角的余角相等得到∠B=∠2，所以∠1=∠2，于是得到AF=CF；（3）在Rt△ADF中，由于∠DAF=30°，FA=FC=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到DF=1，AD=，再由AF∥CG，根据平行线分线段成比例得到DA：AG=DF：CF然后把DF=1，AD=，CF=2代入计算即可．解答：（1）证明：连结OC，如图，∵C是劣弧AE的中点，∴OC⊥AE，∵CG∥AE，∴CG⊥OC，∴CG是⊙O的切线；（2）证明：连结AC、BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠2+∠BCD=90°，而CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠2，∵AC弧=CE弧，∴∠1=∠B，∴∠1=∠2，∴AF=CF；（3）解：在Rt△ADF中，∠DAF=30°，FA=FC=2，∴DF=AF=1，∴AD=DF=，∵AF∥CG，∴DA：AG=DF：CF，即：AG=1：2，∴AG=2．点评：76\n本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了圆周角定理、垂径定理和等腰三角形的判定．36、（2022•黄冈）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，AD=4，求AC的长．考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．3481324分析：（1）连接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，然后利用角平分线的性质可以证明∠DAC=∠OCA，接着利用平行线的判定即可得到OC∥AD，然后就得到OC⊥CD，由此即可证明直线CD与⊙O相切于C点；（2）连接BC，根据圆周角定理的推理得到∠ACB=90°，又∠DAC=∠OAC，由此可以得到△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性质即可解决问题．解答：（1）证明：连接OC∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∵AC平分∠DAB∴∠DAC=∠OAC∴∠DAC=∠OCA∴OC∥AD∵AD⊥CD∴OC⊥CD∴直线CD与⊙O相切于点C；（2）解：连接BC，则∠ACB=90°．∵∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴，∴AC2=AD•AB，∵⊙O的半径为3，AD=4，∴AB=6，∴AC=2．76\n点评：此题主要考查了切线的性质与判定，解题时首先利用切线的判定证明切线，然后利用切线的想这已知条件证明三角形相似即可解决问题．37、（2022•株洲）已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C．（1）求∠BAC的度数；（2）求证：AD=CD．考点：切线的性质；等腰直角三角形；圆周角定理．3718684分析：（1）由AB是⊙O的直径，易证得∠ADB=90°，又由∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，易证得△ABD≌△CBD，即可得△ABC是等腰直角三角形，即可求得∠BAC的度数；（2）由AB=CB，BD⊥AC，利用三线合一的知识，即可证得AD=CD．解答：解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB=90°，BD⊥AC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（ASA），∴AB=CB，∵直线BC与⊙O相切于点B，∴∠ABC=90°，∴∠BAC=∠C=45°；（2）证明：∵AB=CB，BD⊥AC，∴AD=CD．76\n点评：此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．38、（2022•广安）雅安芦山发生7.0级地震后，某校师生准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个半圆制作玩具，寄给灾区的小朋友．已知如图，是腰长为4的等腰直角三角形ABC，要求剪出的半圆的直径在△ABC的边上，且半圆的弧与△ABC的其他两边相切，请作出所有不同方案的示意图，并求出相应半圆的半径（结果保留根号）．考点：作图—应用与设计作图．3718684专题：作图题．分析：分直径在直角边AC、BC上和在斜边AB上三种情况分别求出半圆的半径，然后作出图形即可．解答：解：根据勾股定理，斜边AB==4，①如图1、图2，直径在直角边BC或AC上时，∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切，∴=，解得r=4﹣4，②如图3，直径在斜边AB上时，∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切，∴=，解得r=2，作出图形如图所示：点评：本题考查了应用与设计作图，主要利用了直线与圆相切，相似三角形对应边成比例的性质，分别求出半圆的半径是解题的关键．39、（2022•铁岭）如图，△ABC内接与⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于AC点E，交PC于点F，连接AF．（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长．76\n考点：切线的判定与性质．3718684分析：（1）AF为为圆O的切线，理由为：练级OC，由PC为圆O的切线，利用切线的性质得到CP垂直于OC，由OF与BC平行，利用两直线平行内错角相等，同位角相等，分别得到两对角相等，根据OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对角相等，再由OC=OA，OF为公共边，利用SAS得出三角形AOF与三角形COF全等，由全等三角形的对应角相等及垂直定义得到AF垂直于OA，即可得证；（2）由AF垂直于OA，在直角三角形AOF中，由OA与AF的长，利用勾股定理求出OF的长，而OA=OC，OF为角平分线，利用三线合一得到E为AC中点，OE垂直于AC，利用面积法求出AE的长，即可确定出AC的长．解答：解：（1）AF为圆O的切线，理由为：连接OC，∵PC为圆O切线，∴CP⊥OC，∴∠OCP=90°，∵OF∥BC，∴∠AOF=∠B，∠COF=∠OCB，∵OC=OB，∴∠OCB=∠B，∴∠AOF=∠COF，∵在△AOF和△COF中，，∴△AOF≌△COF（SAS），∴∠OAF=∠OCF=90°，则AF为圆O的切线；（2）∵△AOF≌△COF，∴∠AOF=∠COF，∵OA=OC，∴E为AC中点，即AE=CE=AC，OE⊥AC，∵OA⊥AF，∴在Rt△AOF中，OA=4，AF=3，根据勾股定理得：OF=5，∵S△AOF=•OA•AF=•OF•AE，76\n∴AE=，则AC=2AE=．点评：此题考查了切线的判定与性质，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积求法，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． 40、（2022•十堰）如图1，△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，OE⊥CB于点E，以O为圆心，OD为半径作⊙O．（1）求证：⊙O与CB相切于点E；（2）如图2，若⊙O过点H，且AC=5，AB=6，连接EH，求△BHE的面积和tan∠BHE的值．考点：切线的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．3718684专题：计算题．分析：（1）由CA=CB，且CH垂直于AB，利用三线合一得到CH为角平分线，再由OD垂直于AC，OE垂直于CB，利用角平分线定理得到OE=OD，利用切线的判定方法即可得证；（2）由CA=CB，CH为高，利用三线合一得到AH=BH，在直角三角形ACH中，利用勾股定理求出CH的长，由圆O过H，CH垂直于AB，得到圆O与AB相切，由（1）得到圆O与CB相切，利用切线长定理得到BE=BH，如图所示，过E作EF垂直于AB，得到EF与CH平行，得出△BEF与△BCH相似，由相似得比例，求出EF的长，由BH与EF的长，利用三角形面积公式即可求出△BEH的面积；根据EF与BE的长，利用勾股定理求出FB的长，由BH﹣BF求出HF的长，利用锐角三角形函数定义即可求出tan∠BHE的值．解答：（1）证明：∵CA=CB，点O在高CH上，∴∠ACH=∠BCH，∵OD⊥CA，OE⊥CB，∴OE=OD，∴圆O与CB相切于点E；（2）解：∵CA=CB，CH是高，76\n∴AH=BH=AB=3，∴CH==4，∵点O在高CH上，圆O过点H，∴圆O与AB相切于H点，由（1）得圆O与CB相切于点E，∴BE=BH=3，如图，过E作EF⊥AB，则EF∥CH，∴△BEF∽△BCH，∴=，即=，解得：EF=，∴S△BHE=BH•EF=×3×=，在Rt△BEF中，BF==，∴HF=BH﹣BF=3﹣=，则tan∠BHE==2．点评：此题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．41、（2022•自贡）如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=cm．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）76\n考点：切线的判定；扇形面积的计算．3718684分析：（1）求出∠COB的度数，求出∠A的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OCA的度数，根据切线的判定推出即可；（2）如解答图所示，解题关键是证明△CDM≌△OBM，从而得到S阴影=S扇形BOC．解答：如图，连接BC，OD，OC，设OC与BD交于点M．（1）证明：根据圆周角定理得：∠COB=2∠CDB=2×30°=60°，∵AC∥BD，∴∠A=∠OBD=30°，∴∠OCA=180°﹣30°﹣60°=90°，即OC⊥AC，∵OC为半径，∴AC是⊙O的切线；（2）解：由（1）知，AC为⊙O的切线，∴OC⊥AC．∵AC∥BD，∴OC⊥BD．由垂径定理可知，MD=MB=BD=．在Rt△OBM中，∠COB=60°，OB===6．在△CDM与△OBM中，∴△CDM≌△OBM∴S△CDM=S△OBM∴阴影部分的面积S阴影=S扇形BOC==6π（cm2）．点评：本题考查了平行线性质，切线的判定，扇形的面积，三角形的面积，圆周角定理的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．42、（2022•咸宁）如图，△ABC内接于⊙O，OC和AB相交于点E，点D在OC的延长线上，且∠B=∠D=∠BAC=30°．（1）试判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）AB=6，求⊙O的半径．76\n考点：切线的判定；解直角三角形．分析：（1）连接OA，求出∠AOC=2∠B=60°，根据三角形内角和定理求出∠OAD，根据切线判定推出即可；（2）求出∠AEC=90°，根据垂径定理求出AE，根据锐角三角函数的定义即可求出AC，根据等边三角形的性质推出即可．解答：解：（1）直线AD与⊙O相切．理由如下：如图，连接OA．∵∠B=30°，∴∠AOC=2∠B=60°，∴∠OAD=180°﹣∠AOD﹣∠D=90°，即OA⊥AD，∵OA为半径，∴AD是⊙O的切线．（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，∴△ACO是等边三角形，∴∠ACO=60°，AC=OA，∴∠AEC=180°﹣∠EAC﹣∠ACE=90°，∴OC⊥AB，又∵OC是⊙O的半径，∴AE=AB=6=3，在Rt△ACE中，sin∠ACE==sin60°，∴AC=6，∴⊙O的半径为6．点评：本题考查了切线的判定，含30度角的直角三角形，锐角三角函数的定义，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生综合运用性质进行推理的能力．76\n43、（2022•孝感）如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若PD=，求⊙O的直径．考点：切线的判定．分析：（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，再由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=30°，再由AP=AC得出∠P=30°，继而由∠OAP=∠AOC﹣∠P，可得出OA⊥PA，从而得出结论；（2）利用含30°的直角三角形的性质求出OP=2OA，可得出OP﹣PD=OD，再由PD=，可得出⊙O的直径．解答：（1）证明：连接OA，∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°，又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线．（2）在Rt△OAP中，∵∠P=30°，∴PO=2OA=OD+PD，又∵OA=OD，∴PD=OA，∵，∴．∴⊙O的直径为．点评：本题考查了切线的判定及圆周角定理，解答本题的关键是掌握切线的判定定理、圆周角定理及含30°直角三角形的性质．76\n44、（2022•常德）如图，已知⊙O是等腰直角三角形ADE的外接圆，∠ADE=90°，延长ED到C使DC=AD，以AD，DC为邻边作正方形ABCD，连接AC，连接BE交AC于点H．求证：（1）AC是⊙O的切线．（2）HC=2AH．考点：切线的判定；等腰直角三角形；正方形的性质．专题：证明题．分析：（1）根据圆周角定理由∠ADE=90°得AE为⊙O的直径，再根据等腰直角三角形得到∠EAD=45°，根据正方形得到∠DAC=45°，则∠EAC=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）由AB∥CD得△ABH∽△CEH，则AH：CH=AB：ED，根据等腰直角三角形和正方形的性质易得EC=2AB，则AH：CH=1：2．解答：证明：（1）∵∠ADE=90°，∴AE为⊙O的直径，∵△ADE为等腰直角三角形，∴∠EAD=45°，∵四边形ABCD为正方形，∴∠DAC=45°，∴∠EAC=45°+45°=90°，∴AC⊥AE，∴AC是⊙O的切线；（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AB∥CD，∴△ABH∽△CEH，∴AH：CH=AB：ED，∵△ADE为等腰直角三角形，∴AD=ED，而AD=AB=DC，∴EC=2AB，∴AH：CH=1：2，即HC=2AH．点评：本题考查了切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰直角三角形的性质、正方形的性质以及三角形相似的判定与性质．45、（2022•淮安）如图，AB是⊙0的直径，C是⊙0上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且∠BAC=∠DAC．（1）猜想直线MN与⊙0的位置关系，并说明理由；76\n（2）若CD=6，cos=∠ACD=，求⊙0的半径．考点：切线的判定；解直角三角形．3718684分析：（1）连接OC，推出AD∥OC，推出OC⊥MN，根据切线的判定推出即可；（2）求出AD、AB长，证△ADC∽△ACB，得出比例式，代入求出AB长即可．解答：解：（1）直线MN与⊙0的位置关系是相切，理由是：连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵∠CAB=∠DAC，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∵AD⊥MN，∴OC⊥MN，∵OC为半径，∴MN是⊙O切线；（2）∵CD=6，cos∠ACD==，∴AC=10，由勾股定理得：AD=8，∵AB是⊙O直径，AD⊥MN，∴∠ACB=∠ADC=90°，∵∠DAC=∠BAC，∴△ADC∽△ACB，∴=，∴=，∴AB=12.5，∴⊙O半径是×12.5=6.25．76\n点评：本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，平行线性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．46、（2022•苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．（1）求证：BD=BF；（2）若CF=1，cosB=，求⊙O的半径．考点：切线的性质；圆周角定理．3718684专题：计算题．分析：（1）连接OE，由AC为圆O的切线，利用切线的性质得到OE垂直于AC，再由BC垂直于AC，得到OE与BC平行，根据O为DB的中点，得到E为DF的中点，即OE为三角形DBF的中位线，利用中位线定理得到OE为BF的一半，再由OE为DB的一半，等量代换即可得证；（2）在直角三角形ABC中，由cosB的值，设BC=3x，得到AB=5x，由BC+CF表示出BF，即为BD的长，再由OE为BF的一半，表示出OE，由AB﹣OB表示出AO，在直角三角形AOE中，利用两直线平行同位角相等得到∠AOE=∠B，得到cos∠AOE=cosB，根据cosB的值，利用锐角三角函数定义列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出圆的半径长．解答：（1）证明：连接OE，∵AC与圆O相切，∴OE⊥AC，∵BC⊥AC，∴OE∥BC，又∵O为DB的中点，∴E为DF的中点，即OE为△DBF的中位线，76\n∴OE=BF，又∵OE=BD，则BF=BD；（2）解：设BC=3x，根据题意得：AB=5x，又∵CF=1，∴BF=3x+1，由（1）得：BD=BF，∴BD=3x+1，∴OE=OB=，AO=AB﹣OB=5x﹣=，∵OE∥BF，∴∠AOE=∠B，∴cos∠AOE=cosB，即=，即=，解得：x=，则圆O的半径为=．点评：此题考查了切线的性质，锐角三角函数定义，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．47、（2022鞍山）如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．（1）AC与CD相等吗？问什么？（2）若AC=2，AO=，求OD的长度．76\n考点：切线的性质；勾股定理．专题：计算题．分析：（1）AC=CD，理由为：由AC为圆的切线，利用切线的性质得到∠OAC为直角，再由OC与OB垂直，得到∠BOC为直角，由OA=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再利用对顶角相等及等角的余角相等得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；（2）由ODC=OD+DC，DC=AC，表示出OC，在直角三角形OAC中，利用勾股定理即可求出OD的长．解答：解：（1）AC=CD，理由为：∵OA=OB，∴∠OAB=∠B，∵直线AC为圆O的切线，∴∠OAC=∠OAB+∠DAC=90°，∵OB⊥OC，∴∠BOC=90°，∴∠ODB+∠B=90°，∵∠ODB=∠CDA，∴∠CDA+∠B=90°，∴∠DAC=∠CDA，则AC=CD；（2）在Rt△OAC中，AC=CD=2，AO=，OC=OD+DC=OD+2，根据勾股定理得：OC2=AC2+AO2，即（OD+2）2=22+（）2，解得：OD=1．点评：此题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 48、（2022•莱芜）如图，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交于⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM=PN．（1）当点M在⊙O内部，如图一，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程；（2）当点M在⊙O外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由；（3）当点M在⊙O外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积．考点：圆的综合题．分析：（1）根据切线的判定得出∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA进而求出即可；（2）根据已知得出∠PNM+∠ONA=90°，进而得出∠PNO=180°﹣90°=90°即可得出答案；（3）首先根据外角的性质得出∠AON=30°进而利用扇形面积公式得出即可．76\n解答：（1）PN与⊙O相切．证明：连接ON，则∠ONA=∠OAN，∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN．∵∠AMO=∠PMN，∴∠PNM=∠AMO．∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA=90°．即PN与⊙O相切．（2）成立．证明：连接ON，则∠ONA=∠OAN，∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN．在Rt△AOM中，∴∠OMA+∠OAM=90°，∴∠PNM+∠ONA=90°．∴∠PNO=180°﹣90°=90°．即PN与⊙O相切．（3）解：连接ON，由（2）可知∠ONP=90°．∵∠AMO=15°，PM=PN，∴∠PNM=15°，∠OPN=30°，∵∠PON=60°，∠AON=30°．作NE⊥OD，垂足为点E，则NE=ON•sin60°=1×=．S阴影=S△AOC+S扇形AON﹣S△CON=OC•OA+CO•NE=×1×1+π﹣×1×=+π﹣．点评：此题主要考查了扇形面积公式以及切线的判定等知识，熟练根据切线的判定得出对应角的度数是解题关键．49、（2022•宁夏）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径作⊙O交AC于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．且BD=BF．（1）求证：AC与⊙O相切．（2）若BC=6，AB=12，求⊙O的面积．76\n考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．3718684分析：（1）连接OE，求出∠ODE=∠F=∠DEO，推出OE∥BC，得出OE⊥AC，根据切线的判定推出即可；（2）证△AEO∽△ACB，得出关于r的方程，求出r即可．解答：证明：（1）连接OE，∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，∵BD=BF，∴∠ODE=∠F，∴∠OED=∠F，∴OE∥BF，∴∠AEO=∠ACB=90°，∴AC与⊙O相切；（2）解：由（1）知∠AEO=∠ACB，又∠A=∠A，∴△AOE∽△ABC，∴，设⊙O的半径为r，则，解得：r=4，∴⊙O的面积π×42=16π．点评：本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，平行线的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理和计算能力，用了方程思想．50、（2022•滨州）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，EF⊥AC，垂足为F．求证：直线EF是⊙O的切线．76\n考点：切线的判定．专题：证明题．分析：连接DE，则根据圆周角定理可得：DE⊥BC，由AB=AC，可得∠C=∠B，继而可得∠CEF+∠OEB=90°，由切线的判定定理即可得出结论．解答：解：连接DE，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB=90°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，又∵OB=OE，∴∠ABC=∠OEB，∵∠FEC+∠C=90°，∴∠FEC+∠OEB=90°，∴OE⊥EF，∵OE是⊙O半径，∴直线EF是⊙O的切线．点评：本题考查了切线的判定、圆周角定理及等腰三角形的性质，关键是作出辅助线，利用等角代换得出∠OEF为直角，难度一般． 51、（2022•德州）如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．（1）求AD的长；（2）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．76\n考点：切线的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的性质．专题：计算题．分析：（1）连接BD，由ED为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∠DBE为直角，由BCOE为平行四边形，得到BC与OE平行，且BC=OE=1，在直角三角形ABD中，C为AD的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出AD的长即可；（2）连接OB，由BC与OD平行，BC=OD，得到四边形BCDO为平行四边形，由AD为圆的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AD，可得出四边形BCDO为矩形，利用矩形的性质得到OB垂直于BC，即可得出BC为圆O的切线．解答：解：（1）连接BD，则∠DBE=90°，∵四边形BCOE为平行四边形，∴BC∥OE，BC=OE=1，在Rt△ABD中，C为AD的中点，∴BC=AD=1，则AD=2；（2）连接OB，∵BC∥OD，BC=OD，∴四边形BCDO为平行四边形，∵AD为圆O的切线，∴OD⊥AD，∴四边形BCDO为矩形，∴OB⊥BC，则BC为圆O的切线．点评：此题考查了切线的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．52、（2022菏泽）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P．（1）求证：AP是⊙O的切线；76\n（2）OC=CP，AB=6，求CD的长．考点：切线的判定与性质；解直角三角形．分析：（1）连接AO，AC（如图）．欲证AP是⊙O的切线，只需证明OA⊥AP即可；（2）利用（1）中切线的性质在Rt△OAP中利用边角关系求得∠ACO=60°．然后在Rt△BAC、Rt△ACD中利用余弦三角函数的定义知AC=2，CD=4．解答：（1）证明：连接AO，AC（如图）．∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=∠CAD=90°．∵E是CD的中点，∴CE=DE=AE．∴∠ECA=∠EAC．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC．∴∠ECA+∠OCA=90°．∴∠EAC+∠OAC=90°．∴OA⊥AP．∵A是⊙O上一点，∴AP是⊙O的切线；（2）解：由（1）知OA⊥AP．在Rt△OAP中，∵∠OAP=90°，OC=CP=OA，即OP=2OA，∴sinP==，∴∠P=30°．∴∠AOP=60°．∵OC=OA，∴∠ACO=60°．在Rt△BAC中，∵∠BAC=90°，AB=6，∠ACO=60°，∴AC==2，又∵在Rt△ACD中，∠CAD=90°，∠ACD=90°﹣∠ACO=30°，∴CD===4．76\n点评：本题考查了切线的判定与性质、解直角三角形．注意，切线的定义的运用，解题的关键是熟记特殊角的锐角三角函数值． 53、（2022聊城）如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2．求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切线．考点：切线的判定与性质；菱形的判定．分析：（1）首先连接OC，由垂径定理，可求得CE的长，又由勾股定理，可求得半径OC的长，然后由勾股定理求得AD的长，即可得AD=CD，易证得四边形FADC是平行四边形，继而证得四边形FADC是菱形；（2）首先连接OF，易证得△AFO≌△CFO，继而可证得FC是⊙O的切线．解答：证明：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=DE=CD=×4=2，设OC=x，∵BE=2，∴OE=x﹣2，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=（x﹣2）2+（2）2，解得：x=4，∴OA=OC=4，OE=2，∴AE=6，在Rt△AED中，AD==4，∴AD=CD，∵AF是⊙O切线，∴AF⊥AB，76\n∵CD⊥AB，∴AF∥CD，∵CF∥AD，∴四边形FADC是平行四边形，∴▱FADC是菱形；（2）连接OF，∵四边形FADC是菱形，∴FA=FC，在△AFO和△CFO中，，∴△AFO≌△CFO（SSS），∴∠FCO=∠FAO=90°，即OC⊥FC，∵点C在⊙O上，∴FC是⊙O的切线．点评：此题考查了切线的判定与性质、菱形的判定与性质、垂径定理、勾股定理以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．54、（2022•烟台）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D，E为上一点，连结AE，BE，BE交AC于点F，且AE2=EF•EB．（1）求证：CB=CF；（2）若点E到弦AD的距离为1，cos∠C=，求⊙O的半径．76\n考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．分析：（1）如图1，通过相似三角形（△AEF∽△AEB）的对应角相等推知，∠1=∠EAB；又由弦切角定理、对顶角相等证得∠2=∠3；最后根据等角对等边证得结论；（2）如图2，连接OE交AC于点G，设⊙O的半径是r．根据（1）中的相似三角形的性质证得∠4=∠5，所以由“圆周角、弧、弦间的关系”推知点E是弧AD的中点，则OE⊥AD；然后通过解直角△ABC求得cos∠C=sin∠GAO==，则以求r的值．解答：（1）证明：如图1，∵AE2=EF•EB，∴=．又∠AEF=∠AEB，∴△AEF∽△AEB，∴∠1=∠EAB．∵∠1=∠2，∠3=∠EAB，∴∠2=∠3，∴CB=CF；（2）解：如图2，连接OE交AC于点G，设⊙O的半径是r．由（1）知，△AEF∽△AEB，则∠4=∠5．∴=．∴OE⊥AD，∴EG=1．∵cos∠C=，且∠C+∠GAO=90°，∴sin∠GAO=，∴=，即=，解得，r=，即⊙O的半径是．76\n点评：本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质．解答（2）题的难点是推知点E是弧AD的中点．55、（2022•雅安）如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算．分析：（1）首先连接OD，由BC是⊙O的切线，可得∠ABC=90°，又由CD=CB，OB=OD，易证得∠ODC=∠ABC=90°，即可证得CD为⊙O的切线；（2）在Rt△OBF中，∠ABD=30°，OF=1，可求得BD的长，∠BOD的度数，又由S阴影=S扇形OBD﹣S△BOD，即可求得答案．解答：（1）证明：连接OD，∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC=90°，∵CD=CB，∴∠CBD=∠CDB，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∴∠ODC=∠ABC=90°，即OD⊥CD，∵点D在⊙O上，∴CD为⊙O的切线；（2）解：在Rt△OBF中，∵∠ABD=30°，OF=1，∴∠BOF=60°，OB=2，BF=，76\n∵OF⊥BD，∴BD=2BF=2，∠BOD=2∠BOF=120°，∴S阴影=S扇形OBD﹣S△BOD=﹣×2×1=π﹣．点评：此题考查了切线的判定与性质、垂径定理以及扇形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．56、（2022•衢州）如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若DE=2BC，求AD：OC的值．考点：切线的判定；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．分析：（1）首选连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO=90°，即可证得直线CD是⊙O的切线；（2）由△COD≌△COB．可得CD=CB，即可得DE=2CD，易证得△EDA∽△ECO，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AD：OC的值．解答：（1）证明：连结DO．∵AD∥OC，∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．…（1分）又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO，∴∠COD=∠COB．…（2分）在△COD和△COB中，，∴△COD≌△COB（SAS）…（3分）∴∠CDO=∠CBO=90°．又∵点D在⊙O上，76\n∴CD是⊙O的切线．…（4分）（2）解：∵△COD≌△COB．∴CD=CB．…（5分）∵DE=2BC，∴ED=2CD．…（6分）∵AD∥OC，∴△EDA∽△ECO．…（7分）∴．…（8分）点评：此题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．57、（2022•广安）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙0，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙0的切线．（2）如果⊙0的半径为5，sin∠ADE=，求BF的长．考点：切线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形．3718684分析：（1）连结OD，AB为⊙0的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论；（2）由∠DAC=∠DAB，根据等角的余角相等得∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，利用解直角三角形的方法可计算出AD=8，在Rt△ADE中可计算出AE=，然后由OD∥AE，得△FDO∽△FEA，再利用相似比可计算出BF．解答：（1）证明：连结OD，如图，∵AB为⊙0的直径，∴∠ADB=90°，76\n∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴AD平分BC，即DB=DC，∵OA=OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴EF是⊙0的切线；（2）解：∵∠DAC=∠DAB，∴∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，sin∠ADE=sin∠ABD==，而AB=10，∴AD=8，在Rt△ADE中，sin∠ADE==，∴AE=，∵OD∥AE，∴△FDO∽△FEA，∴=，即=，∴BF=．点评：本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、圆周角定理和解直角三角形．58、（2022•泸州）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD2=CA•CB；（2）求证：CD是⊙O的切线；（3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA=，求BE的长．76\n考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．分析：（1）通过相似三角形（△ADC∽△DBC）的对应边成比例来证得结论；（2）如图，连接OD．欲证明CD是⊙O的切线，只需证明CD⊥OA即可；（3）通过相似三角形△EBC∽△ODC的对应边成比例列出关于BE的方程，通过解方程来求线段BE的长度即可．解答：（1）证明：∵∠CDA=∠CBD，∠C=∠C，∴△ADC∽△DBC，∴=，即CD2=CA•CB；（2）证明：如图，连接OD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠1+∠3=90°．∵OA=OD，∴∠2=∠3，∴∠1+∠2=90°．又∠CDA=∠CBD，即∠4=∠1，∴∠4+∠2=90°，即∠CDO=90°，∴OD⊥OA．又∵OA是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（3）解：如图，连接OE．∵EB、CD均为⊙O的切线，∴ED=EB，OE⊥DB，∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，∴∠ABD=∠OEB，∴∠CDA=∠OEB．而tan∠CDA=，∴tan∠OEB==，∵Rt△CDO∽Rt△CBE，76\n∴===，∴CD=8，在Rt△CBE中，设BE=x，∴（x+8）2=x2+122，解得x=5．即BE的长为5．点评：本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质．59、（2022•内江）如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC．（1）求证：BC平分∠PDB；（2）求证：BC2=AB•BD；（3）若PA=6，PC=6，求BD的长．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：（1）连接OC，由PD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于PD，由BD垂直于PD，得到OC与BD平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，再由OC=OB，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换即可得证；（2）连接AC，由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到△ABC为直角三角形，根据一对直角相等，以及第一问的结论得到一对角相等，确定出△ABC与△BCD相似，由相似得比例，变形即可得证；（3）由切割线定理列出关系式，将PA，PC的长代入求出PB的长，由PB﹣PA求出AB的长，确定出圆的半径，由OC与BD平行得到△PCO与△DPB相似，由相似得比例，将OC，OP，以及PB的长代入即可求出BD的长．解答：（1）证明：连接OC，∵PD为圆O的切线，76\n∴OC⊥PD，∵BD⊥PD，∴OC∥BD，∴∠OCB=∠CBD，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠CBD=∠OBC，则BC平分∠PBD；（2）证明：连接AC，∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD，∴△ABC∽△CBD，∴=，即BC2=AB•BD；（3）解：∵PC为圆O的切线，PAB为割线，∴PC2=PA•PB，即72=6PB，解得：PB=12，∴AB=PB﹣PA=12﹣6=6，∴OC=3，PO=PA+AO=9，∵△OCP∽△BDP，∴=，即=，则BD=4．点评：此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．60、(2022年黄石)如图，是圆的直径，和是圆的两条切线，是圆上一点，是上一点，连接并延长交于，且，.ADMOEFBCN（1）求证：是圆的切线；（2）求证：.解析：76\n（1）证明：连接，是⊙的切线，是⊙的半径∴°∵∥∴，∵∴在△和△中∴∴°∴与⊙相切（3分）（2）∵和是⊙的两切线∴，∴∥∵是的中点，∥∴∥且∵切⊙于点∴，∴61、(2022年江西省)如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P（4，2）是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C．（1）证明PA是⊙O的切线；（2）求点B的坐标；（3）求直线AB的解析式．【答案】（1）证明：依题意可知，A（0，2）∵A（0，2），P（4，2），∴AP∥x轴．∴∠OAP=90°，且点A在⊙O上，76\n∴PA是⊙O的切线；（2）解法一：连接OP，OB，作PE⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点D，∵PB切⊙O于点B，∴∠OBP=90°，即∠OBP=∠PEC，又∵OB=PE=2，∠OCB=∠PEC．∴△OBC≌△PEC．∴OC=PC．（或证Rt△OAP≌△OBP，再得到OC=PC也可）设OC=PC=x，则有OE=AP=4，CE=OE－OC=4－x，在Rt△PCE中，∵PC2=CE2+PE2，∴x2=(4－x)2+22，解得x=，……………………4分∴BC=CE=4－=，∵OB·BC=OC·BD，即×2×=××BD，∴BD=．∴OD===，由点B在第四象限可知B（，）；解法二：连接OP，OB，作PE⊥x轴于点E，BD⊥y轴于点D，∵PB切⊙O于点B，∴∠OBP=90°即∠OBP=∠PEC．又∵OB=PE=2，∠OCB=∠PEC，∴△OBC≌△PEC．∴OC=PC（或证Rt△OAP≌△OBP，再得到OC=PC也可）设OC=PC=x，则有OE=AP=4，CE=OE－OC=4－x，在Rt△PCE中，∵PC2=CE2＋PE2,76\n∴x2=(4－x)2+22，解得x=，………………………………4分∴BC=CE=4－=，∵BD∥x轴，∴∠COB=∠OBD，又∵∠OBC=∠BDO=90°，∴△OBC∽△BDO，∴==，即==．∴BD=，OD=．由点B在第四象限可知B（，）；（3）设直线AB的解析式为y=kx+b，由A（0，2），B（，），可得；解得∴直线AB的解析式为y=－2x+2．【考点解剖】本题考查了切线的判定、全等、相似、勾股定理、等面积法求边长、点的坐标、待定系数法求函数解析式等．【解题思路】（1）点A在圆上，要证PA是圆的切线，只要证PA⊥OA（∠OAP=90°）即可，由A、P两点纵坐标相等可得AP∥x轴，所以有∠OAP+∠AOC=180°得∠OAP=90°；（2）要求点B的坐标，根据坐标的意义，就是要求出点B到x轴、y轴的距离，自然想到构造Rt△OBD，由PB又是⊙O的切线，得Rt△OAP≌△OBP，从而得△OPC为等腰三角形，在Rt△PCE中,PE=OA=2,PC+CE=OE=4,列出关于CE的方程可求出CE、OC的长，△OBC的三边的长知道了，就可求出高BD,再求OD即可求得点B的坐标；（3）已知点A、点B的坐标用待定系数法可求出直线AB的解析式．【解答过程】略.【方法规律】从整体把握图形，找全等、相似、等腰三角形；求线段的长要从局部入手，若是直角三角形则用勾股定理，若是相似则用比例式求，要掌握一些求线段长的常用思路和方法.【关键词】切线点的坐标待定系数法求解析式62、(2022年临沂)如图，在△ABC中，∠ACB=，E为BC上一点，以CE为直径作⊙O,AB与⊙O相切于点D，连接CD,若BE=OE=2.（1）求证：∠A=2∠DCB；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留和根号）.76\n解析：(1)证明：连接OD.∵AB与⊙O相切于点D,∴，∴.∵,∴,∴∵OC=OD,∴.∴(2)方法一：在Rt△ODB中，OD=OE,OE=BE∴∴……6分1.cOm∵∴方法二：连接DE,在Rt△ODB中，∵BE=OE=2∴,∵OD=OE,∴△DOE为等边三角形，即63、（2022•天津）已知直线I与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥I于点D．（Ⅰ）如图①，当直线I与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；（Ⅱ）如图②，当直线I与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．考点：切线的性质；圆周角定理；直线与圆的位置关系．3718684分析：（Ⅰ）如图①，首先连接OC，根据当直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l于点D．易证得OC∥AD，继而可求得∠BAC=∠DAC=30°；76\n（Ⅱ）如图②，连接BF，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠AFB=90°，由三角形外角的性质，可求得∠AEF的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得∠B的度数，继而求得答案．解答：解：（Ⅰ）如图①，连接OC，∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l，∵AD⊥l，∴OC∥AD，∴∠OCA=∠DAC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∴∠BAC=∠DAC=30°；（Ⅱ）如图②，连接BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴∠BAF=90°﹣∠B，∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°，在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，∴∠AEF+∠B=180°，∴∠B=180°﹣108°=72°，∴∠BAF=90°﹣∠B=180°﹣72°=18°．点评：此题考查了切线的性质、圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．64、（2022•昆明）已知：如图，AC⊙O是的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，∠PBA=∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若OP∥BC，且OP=8，BC=2．求⊙O的半径．76\n考点：切线的判定；全等三角形的判定与性质分析：（1）连接OB，求出∠ABC=90°，∠PBA=∠OBC=∠OCB，推出∠PBO=90°，根据切线的判定推出即可；（2）证△PBO和△ABC相似，得出比例式，代入求出即可．解答：（1）证明：连接OB，∵AC是⊙O直径，∴∠ABC=90°，∵OC=OB，∴∠OBC=∠ACB，∵∠PBA=∠ACB，∴∠PBA=∠OBC，即∠PBA+∠OBA=∠OBC+∠ABO=∠ABC=90°，∴OB⊥PB，∵OB为半径，∴PB是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，则AC=2r，OB=R，∵OP∥BC，∠OBC=∠OCB，∴∠POB=∠OBC=∠OCB，∵∠PBO=∠ABC=90°，∴△PBO∽△ABC，∴=，∴=，r=2，即⊙O的半径为2．点评：本题考查了等腰三角形性质，平行线性质，相似三角形的性质和判定，切线的判定等知识点的应用，主要考查学生的推理能力，用了方程思想．65、（12-2直线与圆的位置关系·2022东营中考）(本题满分8分)如图，为的直径，点为上一点，若，过点作直线垂直于射线AM，垂足为点D．（1）试判断与的位置关系，并说明理由；76\n（2）若直线与的延长线相交于点，的半径为3，并且.求的长．（第20题图）AOBDClME20.(本题满分8分)分析：（1）连接CO，根据，证明DC∥AD，再根据，得，从而证明CD是⊙O的切线.（2）由题意得，则在中，.（第20题答案图）AOBDClME（1）解：直线CD与⊙O相切.………………1分理由如下：连接OC.∵OA=OC∴∠BAC=∠OCA∵∠BAC=∠CAM∴∠OCA=∠CAM∴OC∥AM…………………………3分∵CD⊥AM∴OC⊥CD∴直线与相切.…………………………5分（2）解：∵∴∠COE=2∠CAB=∴在Rt△COE中，OC=3，CE=OC·tan=.…………………………8分点拨：要证明过圆上已知点的直线是圆的切线时，只需连结圆心和这点，再证过已知点的半径垂直于这条直线即可.76\n66、（2022山西，23，9分）（本题9分）如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。（1）在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由。（2）若cosB=，BP=6，AP=1，求QC的长。解析】解：（1）CD是⊙O的切线,理由如下：连接OC,∵OC=OB,∴∠B=∠1.又∵DC=DQ,∴∠Q=∠2∵PQ⊥AB,∴∠QPB=90°∴∠B+∠Q=90°∴∠1+∠2=90°∴∠DCO=∠QCB-(∠1+∠2)=180°-90°,∴OC⊥DC,∵OC是⊙O的半径∴CD是⊙O的切线(2)连接AC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.在Rt△ABC中,BC=ABcosB=(AP+BP)cosB=(1+6)×=.76\n在Rt△BPQ中BQ===10∴QC=BQ-BC=10==67OAEB第23题图DFC、（2022陕西）如图，直线与⊙O相切于点D，过圆心O作EF∥交⊙O于E、F两点，点A是⊙O上一点，连接AE，AF，并分别延长交直线于B、C两点；（1）求证：∠ABC+∠ACB=90°；（2）若⊙O的半径，BD=12，求tan∠ACB的值．考点：切线的性质应用，圆内角的性质的应用，正方形的判定与性质的应用及三角函数的定义及正切值的求法。构造矩形的过程与12年的类似。解析：切线的性质的应用是：有切线，连切点，得垂直。直径所对的圆周角是直角的应用及等价转化的思想的应用。（1）证明：如图，∵EF是⊙O的直径，∴∠EAF=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°（2）解：连接OD，则OD⊥BD．过点E作EH⊥BC，垂足为点H，OAEB第23题图DFCH∴EH∥OD∵EF∥BC，EH∥ODOE=OD∴四边形EODH是正方形．∴EH=HD=OD=5∵BD=12，∴BH=7，在Rt△BEH中，tan∠BEH=又∵∠ABC+∠BEH=90°,∠ABC+∠ACB=90°,∴∠ACB=∠BEH∴tan∠ACB．68、（德阳市2022年）如图，已知AB是圆O的直径，BC是圆O的弦，弦ED⊥AB于点F,交BC于点G，过点C作圆O的切线与ED的延长线交于点P．(1）求证：PC＝PG；（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；（3）在满足（2）的条件下，已知圆为O的半径为5,若点O到BC的距离为时，求弦ED的长．76\n解析：76
