全国名校2022年中考数学模拟试卷分类汇编32 直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系一、选择题1、（2022·湖州市中考模拟试卷3）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，则点A的坐标是().A.（5，4）B.（4，5）C.（5，3）D.（3，5）答案：A2、（2022·湖州市中考模拟试卷8）如图，在ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P,Q，则线段PQ长度的最小值是（）A．4.8B．4.75C．5D．42答案：A3、（2022·湖州市中考模拟试卷8）同学们玩过滚铁环吗？当铁环的半径是30cm，手柄长40cm.当手柄的一端勾在环上，另一端到铁环的圆心的距离为50cm时，铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为()A、相离B、相交C、相切D、不能确定答案：C4、(2022年深圳育才二中一摸)如图，已知AD是△ABC的外接圆的直径，AD=13cm，5CcosB，则AC的长等于（）13ADA．5cmB．6cmC．12cmD．10cmB1（第1题）\n答案：C5、(2022年河南西华县王营中学一摸)如图PA、PB分别切圆O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，∠APB=30°，则∠ACB=（）．A．60°B．75°C．105°D．120°答案：C6、(2022年广西南丹中学一摸)如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C是劣弧AB上的一个动点，若∠P＝40°，则∠ACB的度数是A．80°B．110°C．120°D．140°B答案：BDOC7、(2022年河北省一摸)|如图4，在直径AB＝12的⊙O中，弦CD⊥AAB于M，且M是半径P第10题图OB的中点，]则弦CD的长是A．3B．33C．6D．63答案：D8、．(2022年河北三摸)如图：⊙O与AB相切于点A，BO与⊙O交于点C，∠BAC=30°，则∠B等于A.20°B.50°C.30°D.60°答案：C二、填空题1、(2022年河北省一摸)|如图8，OA是⊙B的直径，OA=4，CD是⊙B的切线，D为切点，∠DOC=30°，则点C的坐标为．答案：(6,0)图82\n三、解答题1、（2022江苏东台实中）已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．（1）如图①，若∠BAC=25°，求∠AMB的大小；（2）如图②，过点B作BD⊥AC于E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小．答案：（1）∠AMB=50°（4分）（2）连结AB，AD，∵BD∥AM,BD=AM∴四边形AMBD为平行四边形,∵AM=BM,AM=DB,∴BD=BM则证明四边形AMBD为菱形，∵AB=AD,则∠AMB=60°（4分）122、（2022江苏东台实中）如图，抛物线yxmxn交x轴于A、B两点，交y轴于点C，2点P是它的顶点，点A的横坐标是3，点B的横坐标是1．（1）求m、n的值；（2）求直线PC的解析式；（3）请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC的位置关系，并说明理由．（参考数据21.414，31.732，52.236）答案：313（1）m1,n（4分）（2）yx（3分）(3)⊙A与直线PC相交(可222用相似知识，也可三角函数，求得圆心A到PC的距离d与r大小比较，从而确定直线和圆的位置关系。)（3分）3、(2022·吉林中考模拟)如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．3\n（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．答案：解：（1）直线DE与⊙O相切．……………………………………1分理由如下：连接OD．∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠OAD．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD．∴∠ODA＝EAD．…………………………………………2分∴EA∥OD．…………………3分∵DE⊥EA，∴DE⊥OD．又∵点D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切．…………4分（2）方法一：如图1，作DF⊥AB，垂足为F．∴∠DFA＝∠DEA＝90°．∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，4\n∴△EAD≌△FAD．…………………………5分∴AF＝AE＝8，DF＝DE．……………………6分∵OA＝OD＝5，∴OF＝3．在Rt△DOF中，DF＝＝4．……7分∴DE＝DF＝4．…………………………………8分方法二：如图2，连接DB．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．………………………………5分∴∠ADB＝∠AED．∵∠EAD＝∠DAB，∴△EAD∽△DAB．…………………………6分EADA∴DA＝BA．8DA即DA＝10．解得DA＝4．……………7分在Rt△ADE中，DE＝＝4．………8分方法三：如图3，作OF⊥AD，垂足为F．5\n1∴AF＝2AD，∠AFO＝∠AED．……………………5分∵∠EAD＝∠FAO，∴△EAD∽△FAO．……………………6分EADA∴FA＝OA．11DA即2DA＝5．解得DA＝4．……………………7分在Rt△ADE中，DE＝＝4．…………8分4、(2022·曲阜市实验中学中考模拟)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过B点作BE∥CD，交AC的延长线于点E，连接BC。CECAABBOOMMD第20题图（1）求证：BE为⊙O的切线；1（2）如果CD6，tanBCD，求⊙O的直径。2答案：证明：BE∥CD，ABCD，ABBE．又AB为直径，BE为⊙O的切线．·······················································································3分（2）AB为直径，ABCD，11CMCD63．·············································································4分22弧BC=弧BD．BACBCD．1BM1tanBCD，．2CM213BMCM．22CM1tanBACtanBCD，AM2AM6．··································································································7分315⊙O的直径ABAMBM6．·························································8分225、（2022·温州市中考模拟）已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点,交BD于点G，交AB于点F．6\nCDEGAFOB（1）求证：AC与⊙O相切；3（2）当BD=6，sinC=时，求⊙O的半径．5答案：（1）证明：连接OE，∵AB=BC且D是BC中点，∴BD⊥AC，∵BE平分∠ABD，∴∠ABE=∠DBE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠OEB=∠DBE，∴OE∥BD，∴OE⊥AC，∴AC与⊙O相切3（2）∵BD=6，sinC=，BD⊥AC，5∴BC=10，∴AB=10，设⊙O的半径为r，则AO=10-r，∵AB=BC∴∠C=∠A，3∴sinA=sinC=5，∵AC与⊙O相切于点E，∴OE⊥AC，7\nOEr3∴sinA===OA10r515∴r=．46、（2022·湖州市中考模拟试卷1）如图，AB为⊙O的直径，D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C．（1）求证：PQ是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，TC3，求弦AD的长答案：证明：（1）连接OT，OTOA…………………………‥1分∴ATOOAT又TACBAT∴ATOTAC‥‥‥3分∴OT∥ACACPQ∴OT⊥PQ∴PQ是⊙O的切线……………………‥6分（2）解：过点作OMAC于M，则AMMD‥…………………‥‥7分又OTCACTOMC90∴四边形OTCM为矩形∴OMTC3………………………‥10分22∴在Rt△AOM中，AMOAOM431．∴弦AD的长为2………………………‥12分7、（2022·湖州市中考模拟试卷3）已知：如图，在⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DEAC于点E．8\n（1）请说明DE是⊙O的切线；（2）若B30，AB＝8，求DE的长．答案：解:(1)解法一：连接OD，则OD=OB.∴BODB，……………………………………………1分∵AB=AC，∴BC.……………………………2分∴ODBC，∴OD//AC…………………………4分∴ODEDEC90.……………………………5分∴DE是⊙O的切线.……………………………6分解法二：连接OD，AD.∵AB是⊙O的直径，∴ADB90.……………………1分又∵AB=AC，∴BD=CD.……………………………2分∵OA=OB，∴OD是△ABC的中位线.……………………4分∴OD//AC，∴ODEDEC90.…………………5分∴DE是⊙O的切线.……………………………6分（2）连接AD（对应（1）的解法一）∵AB是⊙O的直径，∴ADB90.………………7分3∴BDABcosB843.………………9分2又∵AB=AC，∴CD=BD=43，CB30.……11分1∴DECD23……………………………12分2解法二：连接AD.AB是⊙O的直径，∴ADB90.………………7分∴BAD60.………………………………8分1又∵OA=OD，∴ADOAAB4,ODA60.………10分2∴ADEODEODA30.…………………………11分∴DEADcosADE23.……………………………12分解法三：连接AD.AB是⊙O的直径，∴ADB90.………………7分又∵ABAC,BADCAD.ADBAED90,∴⊿ADB∽⊿AED.………………9分9\nDEAD∴.………………10分BDAB1而ADAB4,BDABcosB43.………………11分2ADBD443∴DE23.………………12分AB88、（2022·湖州市中考模拟试卷7）如图,已知在等腰△ABC中,∠A=∠B=30°,过点C作CD⊥AC交AB于点D.(1)尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；(2)求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线；答案：解：（1）作出圆心O，…………………………………………2分以点O为圆心，OA长为半径作圆.……………………………………1分（2）证明：∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°.∴AD是⊙O的直径……………1分连结OC，∵∠A=∠B=30°,∴∠ACB=120°,又∵OA=OC,∴∠ACO=∠A=30°,…………1分∴∠BCO=∠ACB-∠ACO=120°-30°=90°.∴BC⊥OC,∴BC是⊙O的切线.……………………………………1分9、（2022·湖州市中考模拟试卷10）图①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，将这个游戏抽象为数学问题如图②，已知铁环的半径为25cm，设铁环中心为O，铁环与地面接触点为F，铁环钩与铁环的接触点为A，铁环钩与手的接触点是B，铁环钩AB长75cm,BG表示点B距离地面的高度.10\n(1)当铁环钩AB与铁环相切时(如图③)，切点A离地面的高度AM为5cm，求水平距离FG的长；(2)当点A与点O同一水平高度时(如图④)，铁环容易向前滚动，现将如图③铁环钩的一端从A点提升到与O点同一水平高度的C点，铁环钩的另一端点从点B上升到点D，且水平距离FG保持不变，求BD的长（精确到1cm）.解:（1）如图四边形HFGI，HFMA是矩22形，OHOFHFOFAM25520RtOHA中，HAOAOH152分0方法一∵AB是圆的切线，∴OAB900∴OAHBAIOAHAOH90,得BAIAOH,又OHAAIB90,∴OAABOHA∽△AIB,得OHAI2575即得AI602分20AIFGHIHAAI156075(cm)1分(2)如图3，四边形OFGP是矩形，CPOPOCFGOC7525501分2222RtCPD中DPCDCP755025555.90;3RtAIB中,IBABsinBAI75452分5BGBIAM45550,DGDPOF55.902580.9011\nBDDGBG80.905030.9031(cm)2分10、(2022年深圳育才二中一摸)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CF⊥AF，且CF=CE．（1）求证：CF是⊙O的切线；SCBD（2）若sin∠BAC=，求的值．SABC答案：（1）证明：连接OC．∵CE⊥AB，CF⊥AF，CE=CF，∴AC平分∠BAF，即∠BAF=2∠BAC…………1分∵∠BOC=2∠BAC…………………………2分F∴∠BOC=∠BAFC∴OC∥AF…………………………………………3分AOEB∴CF⊥OC．∴CF是⊙O的切线…………………………4分D（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=ED，∠ACB=∠BEC=90°．…………………………5分∴S△CBD=2S△CEB，∠BAC=∠BCE，∴△ABC∽△CBE………………………………………6分∴==（sin∠BAC）2==．…………………………7分∴=…………………………8分11、(2022年广西南丹中学一摸)如图，已知△ABC，且∠ACB＝90°。（1）请用直尺和圆规按要求作图（保留作图痕迹，不写作法和证明）；12\n①以点B为圆心，AC边的长为半径作⊙B；C②以点A为顶点，在AB边的下方作∠BAD=∠ABC．（2）请判断直线AD与⊙B的位置关系，并写出证明过程．BA第21题图【解答】（1）如右图所示；………4分（2）直线BD与⊙A相切．………………5分∵∠ABD＝∠BAC，∴AC∥BD，∵∠ACB＝90°，⊙A的半径等于BC，…7分∴点A到直线BD的距离等于BC，∴直线BD与⊙A相切．………………8分12、(2022年河北二摸)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；1（2）求证：BCAB；2（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值．CAONBP解：M（1）OAOC，AACO，又COB2A，COB2PCB，AACOPCB．…………………………2分又AB是⊙O的直径，ACOOCB90°，PCBOCB90°，即OC⊥CP，…………3分而OC是⊙O的半径，PC是⊙O的切线．………………………………………………4分（2）ACPC，AP，AACOPCBP，又COBAACO，CBOPPCB，∴∠AOB=∠CBO……………………………………………………6分13\n1∴BC=OC∴BC=AB……………………………………………………7分2（3）连接MA，MB，……………………………………………………………………8分⌒⌒点M是弧AB的中点，∴AM=BM，ACMBCM，∵ACMABM，BCMABM，…………………………9分又∵BMNBMC，△MBN∽△MCB，BMMN，∴BM=MN·MC，…………………………………10分MCBM⌒⌒又AB是⊙O的直径，AM=BM，AMB90°，AMBM．AB4，BM22…………………………………………………………11分∴MN·MC=BM=(22)=8……………………………………………………12分13、（2022年温州一摸）已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点,交BD于点G，交AB于点F．（1）求证：AC与⊙O相切；3（2）当BD=6，sinC=时，求⊙O的半径．5C答案：DEGAFOB（1）证明：连接OE，∵AB=BC且D是BC中点∴BD⊥AC∵BE平分∠ABD∴∠ABE=∠DBE∵OB=OE∴∠OBE=∠OEB∴∠OEB=∠DBE∴OE∥BD∴OE⊥AC∴AC与⊙O相切3（2）∵BD=6，sinC=，BD⊥AC5∴BC=10∴AB=10设⊙O的半径为r，则AO=10-r∵AB=BC∴∠C=∠A14\n3∴sinA=sinC=5∵AC与⊙O相切于点E，∴OE⊥ACOEr3∴sinA===OA10r515∴r=415