课时训练(二十八) 直线与圆的位置关系(限时:30分钟)|夯实基础|1.若☉O的半径是5,直线l是☉O的切线,则点O到直线l的距离是( )A.2.5B.3C.5D.102.[2022·宜昌]如图K28-1,直线AB是☉O的切线,C为切点,OD∥AB交☉O于点D,点E在☉O上,连接OC,EC,ED,则∠CED的度数为( )图K28-1A.30°B.35°C.40°D.45°3.[2022·常州]如图K28-2,AB是☉O的直径,MN是☉O的切线,切点为N,如果∠MNB=52°,则∠NOA的度数为( )图K28-213\nA.76°B.56°C.54°D.52°4.[2022·烟台]如图K28-3,四边形ABCD内接于☉O,点I是△ABC的内心,∠AIC=124°,点E在AD的延长线上,则∠CDE的度数是( )图K28-3A.56°B.62°C.68°D.78°5.[2022·重庆A卷]如图K28-4,已知AB是☉O的直径,点P在BA的延长线上,PD与☉O相切于点D,过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C.若☉O的半径为4,BC=6,则PA的长为( )图K28-4A.4B.23C.3D.2.56.如图K28-5,AB是☉O的直径,CD是☉O的切线,切点为D,CD与AB的延长线交于点C,∠A=30°,给出下面3个结论:①AD=CD;②BD=BC;③AB=2BC.其中正确结论的个数是( )图K28-5A.3B.2C.1D.07.[2022·益阳]如图K28-6,在圆O中,AB为直径,AD为弦,过点B的切线与AD的延长线交于点C,AD=DC,则∠C= 度. 13\n图K28-68.[2022·包头]如图K28-7,AB是☉O的直径,点C在☉O上,过点C的切线与BA的延长线交于点D,点E在BC上(不与点B,C重合),连接BE,CE.若∠D=40°,则∠BEC= 度. 图K28-79.[2022·大庆]在△ABC中,∠C=90°,AB=10,且AC=6,则这个三角形的内切圆半径为 . 10.[2022·安徽]如图K28-8,菱形ABOC的边AB,AC分别与☉O相切于点D,E,若点D是AB的中点,则∠DOE= . 图K28-811.[2022·岳阳]如图K28-9,以AB为直径的☉O与CE相切于点C,CE交AB的延长线于点E,直径AB=18,∠A=30°,弦CD⊥AB,垂足为点F,连接AC,OC,则下列结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号) ①BC=BD;②扇形OBC的面积为274π;③△OCF∽△OEC;④若点P为线段OA上一动点,则AP·OP有最大值20.25.图K28-913\n12.如图K28-10,直尺、三角尺都和☉O相切,其中B,C是切点,且AB=8cm.求☉O的直径.图K28-1013.[2022·郴州]如图K28-11,已知BC是☉O的直径,点D是BC延长线上一点,AB=AD,AE是☉O的弦,∠AEC=30°.图K28-11(1)求证:直线AD是☉O的切线;(2)若AE⊥BC,垂足为M,☉O的半径为4,求AE的长.13\n14.[2022·遂宁]如图K28-12,过☉O外一点P作☉O的切线PA切☉O于点A,连接PO并延长,与☉O交于C,D两点,M是半圆CD的中点,连接AM交CD于点N,连接AC,CM.图K28-12(1)求证:CM2=MN·MA;(2)若∠P=30°,PC=2,求CM的长.|拓展提升|15.[2022·北京]如图K28-13,AB是☉O的一条弦,E是AB的中点,过点E作EC⊥OA于点C,过点B作☉O的切线交CE的延长线于点D.(1)求证:DB=DE;(2)若AB=12,BD=5,求☉O的半径.13\n图K28-1313\n参考答案1.C2.D [解析]∵直线AB是☉O的切线,C为切点,∴∠OCB=90°,∵OD∥AB,∴∠COD=90°,∴∠CED=45°,故选择D.3.A [解析]∵N为切点,∴MN⊥ON,则∠MNO=90°.∵∠MNB=52°,∴∠BNO=38°,∵ON=OB,∴∠BNO=∠B,∴∠NOA=2∠BNO=76°.4.C [解析]∵点I是△ABC的内心,∴AI,CI分别平分∠BAC,∠ACB,∴∠AIC=90°+12∠B=124°,∴∠B=68°.∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠CDE=∠B=68°,故选C.5.A [解析]如图,连接OD.∵PC切☉O于点D,∴OD⊥PC.∵☉O的半径为4,∴PO=PA+4,PB=PA+8.∵OD⊥PC,BC⊥PD,∴OD∥BC,∴△POD∽△PBC,∴ODBC=POPB,即46=PA+4PA+8,解得PA=4.13\n故选A.6.A [解析]连接OD,由CD是☉O的切线,可得CD⊥OD,由∠A=30°,可以得出∠DOB=60°,进而得△ODB是等边三角形,∠C=∠BDC=30°,再结合在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半,继而得到结论①②③成立.7.45 [解析]∵AB是圆O的直径,∴∠ADB=90°.∵BC是圆O的切线,AB是圆O的直径,∴∠ABC=90°.∵AD=DC,∴BD垂直平分AC.∴AB=BC,∴△ABC为等腰直角三角形.∴∠C=45°.8.115 [解析]连接OC,AC,由CD是切线得∠OCD=90°.又因为∠D=40°可得∠COD=50°.因为OA=OC,可得∠OAC=65°.因为四边形ACEB是圆内接四边形,由圆内接四边形对角互补得到∠BEC的度数.9.2 [解析]根据三角形内切圆的圆心到三角形三边的距离相等,依据三角形的面积公式求解.在Rt△ABC中,BC=AB2-AC2=102-62=8,设内切圆的半径是r,则12AB·r+12AC·r+12BC·r=12BC·AC,即5r+3r+4r=24,解得:r=2.10.60° [解析]连接OA,∵四边形ABOC是菱形,13\n∴BA=BO,∵AB与☉O相切于点D,∴OD⊥AB.∵D是AB的中点,∴OD是AB的垂直平分线,∴OA=OB,∴△AOB是等边三角形,∴∠AOD=12∠AOB=30°,同理∠AOE=30°,∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°,故答案为60°.11.①③④ [解析]∵AB是☉O的直径,CD⊥AB,∴BC=BD,故①正确;∵∠A=30°,∴∠COB=60°,∴扇形OBC的面积=60360·π·AB22=272π,故②错误;∵CE是☉O的切线,∴∠OCE=90°,∴∠OCD=∠E,又∵∠EOC=∠COF,∴△OCF∽△OEC,故③正确;设AP=x,则OP=9-x,∴AP·OP=x(9-x)=-x2+9x=-x-922+814,13\n∴当x=92时,AP·OP取最大值814,814=20.25,故④正确.故答案为①③④.12.解:如图,连接OC,OA,OB.∵AC,AB都是☉O的切线,切点分别是C,B,∴∠OBA=∠OCA=90°,∠OAC=∠OAB=12∠BAC.∵∠CAD=60°,∴∠BAC=120°,∴∠OAB=12×120°=60°,∴∠BOA=30°,∴OA=2AB=16cm.由勾股定理得OB=OA2-AB2=162-82=83(cm),即☉O的半径是83cm,∴☉O的直径是163cm.13.解:(1)证明:∵∠AEC=30°,∴∠B=∠AEC=30°,∵AB=AD,∴∠B=∠D=30°,连接OA,∴OA=OB,∴∠B=∠BAO=30°,∴∠AOD=60°,∴∠OAD=180°-30°-60°=90°,∴OA⊥AD,13\n∴直线AD是☉O的切线.(2)∵∠AOC=60°,☉O的半径为4,AE⊥BC,∴sin∠AOC=AMOA,∴AM=23,∴AE=2AM=43.14.解:(1)证明:∵在☉O中,点M是半圆CD的中点,∴∠CAM=∠DCM,又∵∠M是△CMN和△AMC的公共角,∴△CMN∽△AMC,∴CMAM=MNMC,∴CM2=MN·MA.(2)连接OA,DM,∵PA是☉O的切线,∴∠PAO=90°,又∵∠P=30°,∴OA=12PO=12(PC+CO).设☉O的半径为r,∵PC=2,13\n∴r=12(2+r),解得r=2.又∵CD是直径,∴∠CMD=90°,∵点M是半圆CD的中点,∴CM=DM,∴△CMD是等腰直角三角形,∴在Rt△CMD中,由勾股定理得CM2+DM2=CD2,∴2CM2=(2r)2=16,∴CM2=8,∴CM=22.15.解:(1)证明:如图①,∵DC⊥OA,∴∠1+∠3=90°.∵BD为切线,∴OB⊥BD,∴∠2+∠5=90°.∵OA=OB,∴∠1=∠2.∵∠3=∠4,∴∠4=∠5,∴DE=DB.13\n(2)如图②,作DF⊥AB于F,连接OE,∵DB=DE,∴EF=12BE=3.在Rt△DEF中,EF=3,DE=BD=5,∴DF=52-32=4,∴sin∠DEF=DFDE=45.∵∠AOE=∠DEF,∴在Rt△AOE中,sin∠AOE=AEAO=45,∵AE=6,∴AO=152.即☉O的半径为152.13
