1数据链接真题试做2数据聚焦考点梳理a3数据剖析题型突破第25讲点与圆、直线与圆的位置关系目录\n数据链接真题试做命题点1直线与圆的位置关系命题点2三角形的内心与外心\n直线与圆的位置关系命题点11.(2019·河北,25)如图①和图②,在▱ABCD中,AB=3,BC=15,tan∠DAB=.点P为AB延长线上一点.过点A作☉O切CP于点P.设BP=x.(1)如图①,x为何值时,圆心O落在AP上?若此时☉O交AD于点E,直接指出PE与BC的位置关系;返回子目录数据链接真题试做1\n(2)当x=4时,如图②,☉O与AC交于点Q,求∠CAP的度数,并通过计算比较弦AP与劣弧长度的大小;(3)当☉O与线段AD只有一个公共点时,直接写出x的取值范围.返回子目录图①图②\n解:(1)∵☉O切CP于点P,∵OP⊥PC,即∠CPB=90°.由▱ABCD,得AD∥BC.tan∠CBP=tan∠DAB=,设PC=4k,BP=3k,则BC==5k,∴5k=15,即k=3.∴PC=12,BP=9.∴x=9.垂直.返回子目录\n返回子目录(2)如图,连接OP,OQ,作CK⊥AB于点K,OH⊥AP于点H,同(1)法得CK=12.∵AK=AB+BK=12,∴CK=AK.∴∠CAP=∠ACK=45°.∵AP=7,∴HP=AP=.又∵PK=5,∴PC=13.∵∠HOP=90°-∠OPH=∠CPK.∴Rt△HOP∽Rt△KPC.∴=,即=.∴OP=.∵∠POQ=2∠PAQ=90°,∴=.∵<7,∴<AP,即AP>.(3)x≥18\n返回子目录2.(2012·河北,25)如图,A(-5,0),B(-3,0),点C在y轴的正半轴上,∠CBO=45°,CD∥AB,∠CDA=90°.点P从点Q(4,0)出发,沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动,运动时间为t秒.(1)求点C的坐标;(2)当∠BCP=15°时,求t的值;(3)以点P为圆心,PC为半径的☉P随点P的运动而变化,当☉P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时,求t的值.\n返回子目录解:(1)在Rt△BCO中,∠CBO=45°,∴∠BCO=45°=∠CBO.∴OC=OB=3.又∵点C在y轴的正半轴上,∴点C的坐标为(0,3).（2)当点P在点B右侧时,如图①,若∠BCP=15°,得∠PCO=30°,故OP=OC·tan30°=,此时t=4+;当点P在点B左侧时,如图②,由∠BCP=15°,得∠PCO=60°,故OP=OC·tan60°=3,此时t=4+3.∴t的值为4+或4+3.图①图②\n(3)由题意知,若☉P与四边形ABCD的边相切,有以下三种情况:①当☉P与BC相切于点C时,有∠BCP=90°,从而∠OCP=45°,得到OP=3,此时t=1;②当☉P与CD相切于点C时,有PC⊥CD,即点P与点O重合,此时t=4;③当☉P与AD相切时,由题意,得∠DAO=90°,故点A为切点,如图③所示,PC2=PA2=(9-t)2,PO2=(t-4)2,于是(9-t)2=(t-4)2+32,解得t=5.6.∴t的值为1或4或5.6.返回子目录图③\n返回子目录3.(2014·河北,25)图①和图②中,优弧所在☉O的半径为2,AB=2.点P为优弧上一点(点P不与A,B重合),将图形沿BP折叠,得到点A的对称点A'.(1)点O到弦AB的距离是,当BP经过点O时,∠ABA'=°;(2)当BA'与☉O相切时,如图②,求折痕BP的长;(3)若线段BA'与优弧只有一个公共点B,设∠ABP=α,确定α的取值范围.图①图②160\n返回子目录(2)如图①,作OC⊥AB于点C,连接OB.∵BA'与☉O相切,∴∠OBA'=90°.在Rt△OBC中,OB=2,OC=1,∴sin∠OBC==,∴∠OBC=30°.∴∠ABP=∠ABA'=(∠OBA'+∠OBC)=60°.∴∠OBP=30°.过点O作OD⊥BP于点D,则BP=2BD,∴BD=OB·cos30°=.∴BP=2.图①\n返回子目录(3)如图②,∵点P,A不重合,∴α>0°.由(1)得,当α增大到30°时,点A'在优弧上,当0°<α<30°时,点A'在☉O内,线段BA'与优弧只有一个公共点B.由(2)知,α增大到60°时,BA'与☉O相切,即线段BA'与优弧只有一个公共点B,当α继续增大时,点P逐渐靠近点B.∵点P,B不重合,∴∠OBP<90°.此时α=∠OBA+∠OBP,∵∠OBA=30°,∴α<120°.∴当60°≤α<120°时,线段BA'与优弧只有一个公共点B.综上所述,α的取值范围是0°<α<30°或60°≤α<120°.图②\n返回子目录4.(2017·河北,23)如图,AB=16,O为AB中点,点C在线段OB上(不与点O,B重合),将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD,AP,BQ分别切优弧于点P,Q,且点P,Q在AB异侧,连接OP.(1)求证:AP=BQ;(2)当BQ=4时,求的长(结果保留π);(3)若△APO的外心在扇形COD的内部,求OC的取值范围.\n返回子目录解:(1)证明:如图,连接OQ,∵AP,BQ分别与优弧相切,∴OP⊥AP,OQ⊥BQ,即∠OPA=∠OQB=90°.又∵OA=OB,OP=OQ,∴Rt△APO≌Rt△BQO(HL).∴AP=BQ.(3)设点M为Rt△APO的外心,则M为OA的中点,∴OM=4.∵当点M在扇形的内部时,OM<OC,∴4<OC<8.(2)∵BQ=4,OB=AB=8,∠Q=90°,∴sin∠BOQ==.∴∠BOQ=60°.∵OQ=8×cos60°=4,∴的长为=.\n返回子目录5.(2013·河北,24)如图,△OAB中,OA=OB=10,∠AOB=80°,以点O为圆心,6为半径的优弧分别交OA,OB于点M,N.(1)点P在右半弧上(∠BOP是锐角),将OP绕点O逆时针旋转80°得OP',求证:AP=BP';(2)点T在左半弧上,若AT与弧相切,求点T到OA的距离;(3)设点Q在优弧上,当△AOQ的面积最大时,直接写出∠BOQ的度数.\n返回子目录解:(1)证明:∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80°+∠BOP,∠BOP'=∠POP'+∠BOP=80°+∠BOP,∴∠AOP=∠BOP'.在△AOP和△BOP'中∴△AOP≌△BOP'(SAS).∴AP=BP'.\n返回子目录(2)如图,连接OT,过点T作TH⊥OA于点H,AT与相切,∴∠ATO=90°.∴AT===8.∵×OA×TH=×AT×OT,∴×10×TH=×8×6,解得TH=.故点T到OA的距离为.(3)10°或170°.\n三角形的内心与外心命题点2返回子目录6.(2020·河北,14)有一题目:“已知:点O为△ABC的外心,∠BOC=130°,求∠A.”嘉嘉的解答为:画△ABC以及它的外接圆O,连接OB,OC,如图,由∠BOC=2∠A=130°,得∠A=65°.而淇淇说:“嘉嘉考虑得不周全,∠A还应有另一个不同的值.”下列判断正确的是（）AA.淇淇说的对,且∠A的另一个值是115°B.淇淇说的不对,∠A就得65°C.嘉嘉求的结果不对,∠A应得50°D.两人都不对,∠A应有3个不同值\n返回子目录7.(2016·河北,9)如图为4×4的网格图,A,B,C,D,O均在格点上,点O是()A.△ACD的外心B.△ABC的外心C.△ACD的内心D.△ABC的内心B\n返回子目录8.(2015·河北,6)如图,AC,BE是☉O的直径,弦AD与BE交于点F,下列三角形中,外心不是点O的是()A.△ABEB.△ACFC.△ABDD.△ADEB\n数据聚焦考点梳理考点1点和圆的位置关系考点2直线和园的位置关系考点3切线的性质与判定考点4三角形的外接圆与内切圆\n(1)点在圆外⇔④;(2)点在圆上⇔d=r;(3)点在圆内⇔⑤.点和圆的位置关系考点1返回子目录1.点和圆的位置关系有三种,分别是①、②和③.点在圆上数据聚集考点梳理2点在圆内点在圆外d>rd＜r2.设圆的半径为r,圆所在平面上任一点到圆心的距离为d,如图,则:\n位置关系相离相切相交d与r的关系d>rd⑥rd⑦r直线与圆的公共点的个数没有公共点有且只有一个公共点有两个公共点示意图直线和圆的位置关系考点2返回子目录设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d.=<\n切线的性质与判定考点3返回子目录1.性质:圆的切线⑧于过切点的半径.2.判定(1)经过半径的外端并且⑨于这条半径的直线是圆的切线.(2)圆心到直线的距离⑩半径,则直线是圆的切线.(3)和圆只有⑪公共点的直线是圆的切线.垂直垂直等于一个\n返回子目录3.切线长定理(1)定义:经过圆外一点作圆的一条切线,这一点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长.(2)定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长,这一点和圆心的连线两条切线的夹角.如图,已知PA,PB与☉O分别相切于A,B,则PA=PB,PO平分∠APB.相等平分\n三角形的外接圆与内切圆考点4返回子目录1.外接圆(1)定义:经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,如图所示,外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(2)性质:三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.\n返回子目录2.内切圆(1)定义:与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,如图所示,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,内切圆的圆心叫做三角形的内心.(2)性质:三角形内切圆的圆心到三角形三边的距离相等.\n数据剖析题型突破考向1点、直线与圆的位置关系考向2切线的性质与判定考向3三角形外接圆与内切圆\n点、直线与圆的位置关系（5年考3次）考向1A.当a=-1时,点B在☉A上B.当a<1时,点B在☉A内C.当a<-1时,点B在☉A外D.当-1<a<3时,点B在☉A内返回子目录(2021·河北模拟)在平面直角坐标系内,点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(a,0),☉A的半径为2.下列说法中不正确的是()B数据剖析题型突破3\n返回子目录2.(2021·保定模拟)如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,点D,E分别是AC,AB的中点,则以DE为直径的圆与BC的位置关系是()BA.相切B.相交C.相离D.无法确定\n返回子目录3.(2021·原创题)如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连接PM,以点P为圆心,PM长为半径作☉P.当☉P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为()CA.3B.4C.3或4D.不确定\n返回子目录4.(2021·石家庄质检)“已知点P(x0,y0)和直线y=kx+b,求点P到直线y=kx+b的距离d可用公式d=计算.”根据以上材料解决下面问题:如图,☉C的圆心C的坐标为(1,1),半径为,直线l的表达式为y=-2x+5,点M是直线l上的动点,点N是☉C上的动点,则MN的最小值是()AA.-B.+C.D.\n返回子目录5.(2021·保定一模)如图,在平行四边形ABCD中,AB=10,AD=m,∠D=60°,以AB为直径作☉O.(1)求圆心O到BC的距离;(2)求圆心O到CD的距离(用含m的代数式来表示);(3)当m取何值时,CD与☉O相切;(4)当m取何值时,CD与圆有两个交点.\n返回子目录解:(1)如图,过点O作OH⊥BC于点H,∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠B=∠D=60°.∵AB=10,∴OB=5,∴OH=OB=,圆心O到BC的距离.\n返回子目录(2)分别过点A,O作AE⊥CD,OF⊥CD,垂足分别为点E,F,∴AE∥OF,OF就是圆心O到CD的距离.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴AE=OF.在Rt△ADE中,∠D=60°,sin∠D=,即sin60°=,∴=,∴AE=m,∴OF=AE=m,∴圆心O到CD的距离OF为m.\n返回子目录(3)∵OF=m,AB为O的直径,且AB=10,∴当OF=5时,CD与☉O相切于点F,即m=5,m=,∴当m=,CD与☉O相切.(4)若☉O与线段CD有两个公共点,则该圆和线段CD相交,则5≤m<.\n返回子目录直线与圆的位置关系还可以用直线与圆的公共点的个数来判断:(1)直线与圆有两个公共点⇔相交;(2)直线与圆只有一个公共点⇔相切;(3)直线与圆没有公共点⇔相离.\n切线的性质与判定（5年考3次）考向2返回子目录1.(2021·河北三市联考)如图PA,PB分别与☉O相切于点A,B,点C为☉O上一点,∠P=66°,则∠C=()AA.57°B.60°C.63°D.66°\n返回子目录2.(2021·河北中考压轴卷)如图,是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成,点A为60°角与直尺交点,点B为光盘与直尺唯一交点,若AB=3,则光盘的直径是()AA.6B.3C.6D.3\n返回子目录3.(2021·邯郸质量检测)如图,☉O的直径AB=4,BC切☉O于点B,OC平行于弦AD,OC=5,则AD的长为()A.B.C.D.B\n返回子目录4.(2021·河北预测)如图,有两个同心圆,PA切小圆于点A,PB切大圆于点B,若PA=3cm,PB=2cm,那么两个圆所围成的圆环的面积为()DA.1cm2B.5cm2C.πcm2D.5πcm2\n返回子目录5.(2021·河北预测)如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以BC为直径作☉O交AB于点D.(1)求线段AD的长度;(2)点E是线段AC上的一点,试问:当点E在什么位置时,直线ED与☉O相切?请说明理由\n返回子目录解:(1)在Rt△ACB中,∵AC=3cm,BC=4cm,∠ACB=90°,∴AB=5cm;如图,连接CD,∵BC为直径,∴∠ADC=∠BDC=90°;∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,∴Rt△ADC∽Rt△ACB,∴=,AD==.\n返回子目录(2)当点E是AC的中点时,ED与☉O相切.理由如下:如图,连接OD.∵DE是Rt△ADC的中线,∴ED=EC,∴∠EDC=∠ECD.∵OC=OD,∴∠ODC=∠OCD,∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°,∴ED⊥OD.∴ED与☉O相切.\n返回子目录6.(2021·石家庄模拟)如图,AB是☉O的直径,=,E是OB的中点,连接CE并延长到点F,使EF=CE,连接AF交☉O于点D,连接BD,BF.(1)求证:直线BF是☉O的切线;(2)若OB=2,求BD的长.\n返回子目录解:(1)证明:如图,连接OC,∵AB是☉O的直径,=,∴∠AOC=∠BOC=90°.∵E是OB的中点,∴OE=BE,又∵EF=CE,∠OEC=∠BEF,∴△COE≌△FBE(SAS).∴∠FBE=90°.∴直线BF是☉O的切线.\n返回子目录(2)∵△COE≌△FBE,OB=2,∴BF=OC=2.在Rt△ABF中,由勾股定理得AF=2.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.Rt△ADB∽Rt△ABF,∴=,即=,解得BD=.\n返回子目录在有关圆的切线问题中,如果已知切点,连接过切点的半径(或直径),是一条经常用到的辅助线,由此可得垂直关系,为利用勾股定理或锐角三角函数提供了条件.判定切线常用的证明方法:(1)有切点,连半径,证垂直;(2)无切点,作垂直,证半径.\n三角形外接圆与内切圆（5年考2次）考向3返回子目录1.(2021·河北模拟)如图所示,在△ABC中,∠BIC=125°,点I是内心,点O是外心,则∠BOC等于()CA.130°B.135°C.140°D.145°\n返回子目录2.(2021·河北模拟)如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,连接BD,BE,CE,若∠CBD=32°,则∠BEC的大小为()CA.64°B.120°C.122°D.128°\n返回子目录3.(2021·河北预测)如图,☉O是等边△ABC的内切圆,又是等边△DEF的外接圆,则等于()A.B.C.D.A\n返回子目录4.(2021·邯郸模拟)已知点O是△ABC的外心,连接AO并延长交BC于点D.若∠B=40°,∠BAD=22°,则∠C的度数为()DA.52°B.58°C.62°D.68°\n返回子目录5.(2021·河北模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,点I是Rt△ABC的内心,连接CI并延长交AB于点D,若CD=,则AC的长为()A.B.2C.+1D.3C\n返回子目录6.(2021·河北预测)如图,以△ABC的边AC为直径的☉O恰为△ABC的外接圆,∠ABC的平分线交☉O于点D,过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.(1)求证:DE是☉O的切线;(2)若AB=2,BC=,求DE的长.\n返回子目录解:(1)证明:如图,连接OD.∵AC是☉O的直径,∴∠ABC=90°.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=45°.∴∠AOD=90°.∵DE∥AC,∴∠ODE=∠AOD=90°,即OD⊥DE.∴DE是☉O的切线.\n返回子目录(2)在Rt△ABC中,∵AB=2,BC=,∴AC==5,∴OD=.如图,过点C作CG⊥DE,垂足为G,则四边形ODGC为正方形,∴DG=CG=OD=.∵DE∥AC,∴∠CEG=∠ACB.∴tan∠CEG=tan∠ACB.∴=,即=.∴GE=.∴DE=DG+GE=.\n返回子目录三角形的外心是三角形各边垂直平分线的交点,外心到三角形的三个顶点的距离相等;三角形的内心是三角形内角平分线的交点,内心到三角形三边的距离相等.外心到三角形各顶点的距离等于外接圆的半径,内心到三角形三边的距离等于内切圆的半径.
