第三章 函数及其图象第八讲 平面直角坐标系及函数,考标完全解读)考点考试内容考试要求平面直角坐标系及点的坐标特征平面直角坐标系的定义了解平面直角坐标系中点的坐标特征掌握函数及其自变量的取值范围函数的相关概念了解自变量的取值范围掌握函数值了解表示方法理解图象的画法掌握,感受宜宾中考)1.(2022宜宾中考)如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是( C )A．乙前4s行驶的路程为48mB．在0到8s内甲的速度每秒增加4m/sC．两车到第3s时行驶的路程相等D．在4至8s内甲的速度都大于乙的速度2．(2022宜宾中考)在平面直角坐标系中，将点A(－1，2)向右平移3个单位得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是__(2，－2)__．3．(2022宜宾中考)在平面直角坐标系中，点M(3，－1)关于原点的对称点的坐标是__(－3，1)__．6\n,核心知识梳理) 平面直角坐标系及点的坐标特征1．平面直角坐标系的定义如图，在平面内画两条__互相垂直__并且__原点重合____的数轴，水平的数轴叫做__x轴____或横轴，取向右为正方向，垂直的数轴叫做__y轴____或纵轴，取向上为正方向；两轴交点O为__原点____，这样就建立了平面直角坐标系，这个平面叫做坐标平面，坐标平面内每一个点P都对应着一个横坐标x和一个纵坐标y，我们称一对有序实数P(x，y)，即点P的坐标．2．平面直角坐标系中点的坐标特征(1)各象限点的坐标的符号特征点P(x，y)在第一象限⇔__x＞0，y＞0__；点P(x，y)在第二象限⇔__x＜0，y＞0__；点P(x，y)在第三象限⇔__x＜0，y＜0__；点P(x，y)在第四象限⇔__x＞0，y＜0__．【针对练习】判断下列坐标在第几象限？例如：(1，3)在__第一__象限；(－1，2)在__第二__象限；(－3，－2)在__第三__象限；(2，－1)在__第四__象限．(2)坐标轴上点的坐标特征．x轴上的点的纵坐标为__0__；y轴上的点的横坐标为__0__；原点的坐标为__(0，0)__．(3)象限角平分线上的点的坐标特征．第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标__相等____；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标__互为相反数__．(4)对称点的坐标特征点P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为__(a，－b)__；点P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为__(－a，b)__；点P(a，b)关于原点对称的点的坐标为__(－a，－b)__．6\n(5)点平移的坐标特征P(x，y) __P′(x＋a，y)____P′(x－a，y)__ __P″(x，y＋b)____P″(x，y－b)__【针对练习】将点P(1，－2)向右平移3个单位，得到的点的坐标为__(4，－2)__． 函数及其自变量的取值范围3．函数的相关概念(1)变量：某一变化过程中可以取不同数值的量．(2)常量：某一变化过程中保持相同数值的量．(3)函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的任意确定的值，y都有__唯一确定__的值与其对应，那么我们就说x是自变量，__y是x的函数__．4．自变量的取值范围A．分式型，如y＝.分母不为0，即__x≠0__；B．根式型，如y＝.被开方数大于等于0，即__x≥0__；C．分式＋根式型，如y＝.同时满足两个条件：__①被开方数大于等于0，即x≥0；②分母不为0，即x≠0__．5．函数值：如果当x＝a时，y＝b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值． 函数的表示方法及其图象函数图象的判断近年来考查多次，题型都为选择题、填空题．出题背景有：(1)与实际问题结合；(2)与几何图形结合；(3)与几何图形中的动点问题结合，设问方式均为“判断函数图象大致是”．6．表示方法：__列表法__、__图象法__、__表达式____是函数关系的三种不同表达形式，它们分别表现出具体、形象直观和便于抽象应用的特点．7．图象的画法：知道函数的表达式，一般用描点法按下列步骤画出函数的图象．(1)__列表__．根据函数的表达式，取自变量的一些值，得出函数的对应值，按这些对应值列表．(2)__描点__．根据自变量和函数的数值表，在直角坐标系中描点．(3)__连线__．用平滑的曲线将这些点连接起来，即得函数的图象．8．已知函数表达式，判断点P(x，y)是否在函数图象上的方法：若点P(x，y)的坐标适合函数表达式，则点P(x，y)在其图象上；若点P(x，y)的坐标不适合函数表达式，则点P(x，y)不在其图象上．【方法点拨】判断符合题意的函数图象的方法：(1)与实际问题结合判断符合实际问题的函数图象时，需遵循以下几点：①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找相对应点；②找特殊点：即指交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；③判断图象趋势：判断出函数的增减性；④看是否与坐标轴相交：即此时另外一个量为0.(2)与几何图形(含动点)结合以几何图形为背景判断函数图象的题目，一般的解题思路为设时间为t，6\n找因变量与t之间存在的函数关系，用含t的式子表示，再找相对应的函数图象，要注意的是是否需要分类讨论自变量的取值范围．(3)分析函数图象判断结论正误分清图象的横纵坐标代表的量及函数中自变量的取值范围，同时也要注意：①分段函数要分段讨论；②转折点：判断函数图象的倾斜方向或增减性发生变化的关键点；③平行线：函数值随自变量的增大而保持不变．再结合题干推导出实际问题的运动过程，从而判断结论的正误．,重点难点解析) 平面直角坐标系及点的特征【例1】点A到x轴的距离为2且到y轴的距离为3，则点A的坐标是________．【解析】考查点到x轴、y轴的距离，注意与横、纵坐标的关系，同时要注意考虑全面，距离向坐标转化要注意正负两种情况．【答案】(3，2)或(3，－2)或(－3，2)或(－3，－2)【例2】已知点P(2－a，2a－7)，其中a为整数，位于第三象限，则点P的坐标为________．【解析】主要考查坐标系中各象限内点的坐标的符号特征，第三象限(－，－)，构造不等式组，求出a即可．【答案】(－1，－1)【针对训练】1．如图，在3×3的正方形网格中由四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是( B )A．A点 B．B点 C．C点 D．D点2．平面直角坐标系中，点P(－2，3)关于x轴对称的点的坐标为( A )A．(－2，－3)B．(2，－3)C．(－3，－2)D．(3，－2) 函数及其图象的意义【例3】小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y(m)与时间t(min)之间关系的大致图象是( )【解析】根据题中信息可知，相同的路程，跑步比慢步走的速度快；在一定时间内没有移动距离，则速度为零．故小华的爷爷跑步到公园的速度最快，即单位时间内通过的路程最大，打太极的过程中没有移动距离，因此通过的路程为零，还要注意出去和回来时的方向不同，故B符合要求．【答案】B【针对训练】6\n3．如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止(不含点A和点B)，则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是( B )4．园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间，已知绿化面积S(m2)与工作时间t(h)的函数关系的图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为( B )A．100m2 B．50m2C．80m2 D．40m2 函数自变量的取值范围【例4】在函数y＝中，自变量x的取值范围是( )A．x≠－2B．x＞2C．x＜2D．x≠2【解析】根据分式有意义的条件是分母不为0，分析原函数式可得关系式x－2≠0，解可得自变量x的取值范围．【答案】D【针对训练】5．某油箱容量为60L的汽车，加满汽油后行驶了100km时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为xkm，油箱中剩油量为yL，则y与x之间的函数表达式和自变量取值范围分别是( D )A．y＝0.12x，x＞0 B．y＝60－0.12x，x＞0C．y＝0.12x，0≤x≤500 D．y＝60－0.12x，0≤x≤5006．在函数y＝中，自变量x的取值范围是____x≤1且x≠－2__．,当堂过关检测)1.(2022荆门中考)在函数y＝中，自变量x的取值范围是( A ) A．x>5 B．x≥5C．x≠5D．x<52．(2022丽水中考)在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发，6\n图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y(km)与行驶时间x(h)的函数关系的图象，下列说法错误的是( D )A．乙先出发的时间为0.5hB．甲的速度是80km/hC．甲出发0.5h后两车相遇D．甲到B地比乙到A地早h3．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A，P，D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是( B ) 6
