第十一讲 二次函数及其应用第1课时 二次函数1．(2022随州中考)对于二次函数y＝x2－2mx－3，下列结论错误的是( C )A．它的图象与x轴有两个交点B．方程x2－2mx＝3的两根之积为－3C．它的图象的对称轴在y轴的右侧D．x＜m时，y随x的增大而减小2．在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝－2的是( A )A．y＝(x＋2)2 B．y＝2x2－2C．y＝－2x2－2D．y＝2(x－2)23．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，点C在y轴的正半轴上，且OA＝OC，则( A )A．ac＋1＝bB．ab＋1＝cC．bc＋1＝aD．以上都不是,(第3题图)) ,(第4题图))4．(2022齐齐哈尔中考)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－2，与x轴的一个交点在(－3，0)和(－4，0)之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a－b＝0；②c＜0；③－3a＋c＞0；④4a－2b＞at2＋bt(t为实数)；⑤点，，是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3，正确的个数有( B )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5．(2022安顺中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，给出下列四个结论：①4ac－b2＜0；②3b＋2c＜0；③4a＋c＜2b；④m(am＋b)＋b＜a(m≠1)，其中结论正确的个数是( C )A．1B．2C．3D．4,(第5题图)) ,(第6题图))6．如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，则下列说法：①a＞0；②2a＋b＝0；③a＋b＋c＞0；④当－1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为( C )A．1B．2C．3D．47．若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为( B )A．m＞1 B．m＞0C．m＞－1D．－1＜m＜08．(2022扬州中考)如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A(0，2)，B(1，0)，C(2，1)，若二次函数y＝x210\n＋bx＋1的图象与阴影部分(含边界)一定有公共点，则实数b的取值范围是( C )A．b≤－2B．b＜－2C．b≥－2D．b＞－29．(2022枣庄中考)已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是( D )A．当a＝1时，函数图象经过点(－1，1)B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大10．(2022鄂州中考)如图抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于A(－2，0)和点B，交y轴负半轴于点C，且OB＝OC.下列结论：①2b－c＝2；②a＝；③ac＝b－1；④＞0.其中正确的个数有( C )A．1个B．2个C．3个D．4个11．(2022陕西中考)已知抛物线y＝x2－2mx－4(m＞0)的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为( C )A．(1，－5)B．(3，－13)C．(2，－8)D．(4，－20)12．抛物线y＝x2＋2x＋3的顶点坐标是__(－1，2)__．13．二次函数y＝x2的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B，C在二次函数y＝x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA＝120°，则菱形OBAC的面积为__2__．,(第13题图)) ,(第14题图))14．(2022乌鲁木齐中考)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(－1，0)，且对称轴为直线x＝1，有下列结论：①abc＜0；②10a＋3b＋c＞0；③抛物线经过点(4，y1)与点(－3，y2)，则y1＞y2；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点；⑤am2＋bm＋a≥0，其中所有正确的结论是__②④⑤__．15．(2022鹤岗中考)如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于点A，B两点，与y轴交于C点，10\n点B的坐标为(3，0)，抛物线与直线y＝－x＋3交于C，D两点．连结BD，AD.(1)求m的值；(2)抛物线上有一点P，满足S△ABP＝4S△ABD，求点P的坐标．解：(1)∵抛物线y＝－x2＋mx＋3过(3，0)，∴0＝－9＋3m＋3，∴m＝2；(2)由得∴D.∵S△ABP＝4S△ABD，∴AB×|yP|＝4×AB×，∴|yP|＝9，yP＝±9，当y＝9时，－x2＋2x＋3＝9，无实数解，当y＝－9时，－x2＋2x＋3＝－9，x1＝1＋，x2＝1－，∴P(1＋，－9)或(1－，－9)．16．(2022随州中考)在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax－a为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”． 备用图10\n已知抛物线y＝－x2－x＋2与其“梦想直线”交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与x轴负半轴交于点C.(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的表达式为________，点A的坐标为________，点B的坐标为________；(2)如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)y＝－x＋；(－2，2)；(1，0)；(2)如答图①，过A作AD⊥y轴于点D.答图①在y＝－x2－x＋2中，令y＝0可求得x＝－3或x＝1，∴C(－3，0)，且A(－2，2)，∴AC＝＝.由翻折的性质可知AN＝AC＝，∵△AMN为梦想三角形，∴N点在y轴上，且AD＝2.在Rt△AND中，由勾股定理可得DN＝＝＝3，∵OD＝2，∴ON＝2－3或ON＝2＋3，∴N点坐标为(0，2－3)或(0，2＋3)；(3)①当AC为平行四边形的边时，如答图②，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，答图②则有AC∥EF且AC＝EF，∴∠ACK＝∠EFH.10\n在△ACK和△EFH中，∴△ACK≌△EFH(A.A.S.)，∴FH＝CK＝1，HE＝AK＝2，∵抛物线对称轴为直线x＝－1，∴F点的横坐标为0或－2.∵点F在直线AB上，∴当F点横坐标为0时，则F，此时点E在直线AB下方，∴E到y轴的距离为EH－OF＝2－＝，即E点纵坐标为－，∴E；当F点的横坐标为－2时，则F与A重合，不合题意，舍去；②当AC为平行四边形的对角线时，∵C(－3，0)，且A(－2，2)，∴线段AC的中点坐标为(－2.5，)．设E(－1，t)，F(x，y)，则x－1＝2×(－2.5)，y＋t＝2，∴x＝－4，y＝2－t，代入直线AB表达式可得2－t＝－×(－4)＋，解得t＝－，∴E，F；综上可知存在满足条件的点F，此时E，F或E，F.17．(2022白银中考)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点B(－2，0)，点C(8，0)，与y轴交于点A.(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋4的表达式；(2)连结AC，AB，若点N在线段BC上运动(不与点B，C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；(3)连结OM，在(2)的结论下，求OM与AC的数量关系．10\n解：(1)将点B，点C的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋4，得解得∴二次函数的表达式为y＝－x2＋x＋4；(2)设点N的坐标为(n，0)(2＜n＜8)，则BN＝n＋2，CN＝8－n.∵B(－2，0),C(8，0)，∴BC＝10.在y＝－x2＋x＋4中，令x＝0，解得y＝4，∴点A(0，4)，OA＝4，∵MN∥AC，∴＝＝.∵OA＝4，BC＝10，∴S△ABC＝BC·OA＝×10×4＝20.∴S△ABN＝BN·OA＝(n＋2)×4＝2(n＋2)，又∵＝＝＝，∴S△AMN＝S△ABN＝(8－n)(n＋2)＝－(n－3)2＋5.∴当n＝3时，即N(3，0)时，△AMN的面积最大；(3)当N(3，0)时，N为BC边中点．∴M为AB边中点，∴OM＝AB.∵AB＝＝＝2，AC＝＝＝4，∴AB＝AC，∴OM＝AC.第2课时 二次函数的应用10\n1．图②是图①中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y＝－(x－80)2＋16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA＝10m，则桥面离水面的高度AC为( B ) 图① 图②A．16m B.mC．16mD.m2．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点(－1，0)和点(0，－3)，且顶点在第四象限，设P＝a＋b＋c，则P的取值范围是( B )A．－3＜P＜－1B．－6＜P＜0C．－3＜P＜0D．－6＜P＜－33．赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝－x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为( C )A．－20mB．10mC．20mD．－10m4．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝－x2向下平移1个单位，再向左平移1个单位，得到的抛物线的表达式( A )A．y＝－x2－x－B．y＝－x2＋x－C．y＝－x2＋x－D．y＝－x2－x－5．(2022江汉中考)飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)关于滑行的时间t(单位：s)的函数表达式是s＝60t－t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为__20__s.6．九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如表：10\n售价(元/件)100110120130…月销量(件)200180160140…已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．(1)请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是________元；②月销量是________件；(直接写出结果)(2)设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？解：(1)①(x－60)；②(－2x＋400)；(2)由题意，得y＝(x－60)(－2x＋400)＝－2x2＋520x－24000＝－2(x－130)2＋9800，∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．7．(2022随州中考)某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．(1)求该种水果每次降价的百分率；(2)从第一次降价的第1天算起，第x天(x为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x(天)的利润为y(元)，求y与x(1≤x＜15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？时间x(天)1≤x＜99≤x＜15x≥15售价(元/斤)第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量(斤)80－3x120－x储存和损耗费用(元)40＋3x3x2－64x＋400(3)在(2)的条件下，若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？解：(1)设该种水果每次降价的百分率是x.10(1－x)2＝8.1，x＝10%或x＝190%(舍去)．答：该种水果每次降价的百分率是10%；(2)当1≤x＜9时，第1次降价后的价格：10×(1－10%)＝9(元)，∴y＝(9－4.1)(80－3x)－(40＋3x)＝－17.7x＋352，∵－17.7＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝1时，y有最大值，y大＝－17.7×1＋352＝334.3(元)，当9≤x＜15时，第2次降价后的价格：8.1元，∴y＝(8.1－4.1)(120－x)－(3x2－64x＋400)＝－3x2＋60x＋80＝－3(x－10)2＋380，∵－3＜0，∴当9≤x≤10时，y随x的增大而增大，当10＜x＜15时，y随x的增大而减小，∴当x＝10时，y有最大值，10\ny大＝380(元)，综上所述，y与x(1≤x＜15)之间的函数关系式为：y＝第10天时销售利润最大；(3)设第15天在第14天的价格基础上最多可降a元，由题意，得380－127.5≤(4－a)(120－15)－(3×152－64×15＋400)，252．5≤105(4－a)－115，a≤0.5.答：第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元．8．(2022葫芦岛中考)五一期间，恒大影城隆重开业，影城每天运营成本为1000元，试营业期间统计发现，影城每天售出的电影票张数y(张)与电影票售价x(元/张)之间满足一次函数：y＝－4x＋220(10≤x≤50，且x是整数)，设影城每天的利润为w(元)(利润＝票房收入－运营成本)．(1)试求w与x之间的函数关系式；(2)影城将电影票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？解：(1)根据题意，得w＝(－4x＋220)x－1000＝－4x2＋220x－1000；(2)∵w＝－4x2＋220x－1000＝－4(x－27.5)2＋2025，∴当x＝27或28时，w取得最大值，最大值为2024，答：影城将电影票售价定为27或28元/张时，每天获利最大，最大利润是2024元．9．(2022扬州中考)农经公司以30元/kg的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p(kg)与销售价格x(元/kg)之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：销售价格x(元/kg)3035404550日销售量p(kg)6004503001500(1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？(3)若农经公司每销售1kg这种农产品需支出a元(a＞0)的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．(日获利＝日销售利润－日支出费用)解：(1)假设p与x成一次函数关系，设函数关系式为p＝kx＋b，则解得∴p＝－30x＋1500，检验：当x＝35，p＝450；当x＝45，p＝150；当x＝50，p＝0，符合一次函数表达式，∴所求的函数表达式为p＝－30x＋1500；(2)设日销售利润w＝p(x－30)＝(－30x＋1500)(x－30)即w＝－30x2＋2400x－45000，10\n∴当x＝－＝40时，w有最大值3000元，∴这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；(3)日获利w＝p(x－30－a)＝(－30x＋1500)(x－30－a)，即w＝－30x2＋(2400＋30a)x－(1500a＋45000)，对称轴为x＝－＝40＋a，①若a＞10，则当x＝45时，w有最大值，即w＝2250－150a＜2430(不合题意)；②若a＜10，则当x＝40＋a时，w有最大值，将x＝40＋a代入，可得w＝30，当w＝2430时，2430＝30，解得a1＝2，a2＝38(舍去)．综上所述，a的值为2.10
