第九讲 一次函数及其应用第1课时 一次函数,考标完全解读)考点考试内容考试要求一次函数及其图象性质一次函数及正比例函数的概念理解一次函数的图象及性质掌握一次函数表达式的确定待定系数法掌握一次函数与方程(组)的关系掌握一次函数与不等式的关系掌握,感受宜宾中考)1．(2022宜宾中考)如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B，则这个一次函数的表达式是( D )A．y＝2x＋3 B．y＝x－3C．y＝2x－3D．y＝－x＋32．(2022宜宾中考)如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，将△AOB沿直线AB翻折，14\n得△ACB.若C，则该一次函数的表达式为__y＝－x＋____．,核心知识梳理) 一次函数及其图象性质1．一次函数及正比例函数的概念一般地，形如__y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)__的函数，叫做一次函数．形如__y＝kx(k为常数，且k≠0)__的函数叫做正比例函数．【温馨提示】正比例函数是一次函数的特殊形式，正比例函数是一次函数，反之不一定成立，定义中k≠0是非常重要的条件，若k＝0，则函数就成为y＝b(b为常数)，此函数是常数函数，不是一次函数．2．一次函数的图象及性质一次函数y＝kx＋b(k≠0)大致图象k，b符号b＞0b＜0单调性k＞0y随x的增大而__增大__续表k，b符号b＞0b＜0单调性k＜0y随x的增大而__减小__【针对练习】函数y＝－3x＋2经过__第一、二、四__象限，其中y随x的增大而__减小__． 一次函数表达式的确定3．利用坐标确定一次函数表达式的常用方法：__待定系数法__．4．具体步骤(1)设出一次函数表达式__y＝kx＋b(k≠0)__；(2)将两对对应的x，y值代入表达式y＝kx＋b中，得到含有待定系数k，b的方程组；(3)求出待定系数k，b的值；(4)将所求待定系数的值代入所设的函数表达式中．【针对练习】若一次函数y＝kx＋b经过(0，1)，(1，2)两点，则一次函数的表达式为__y＝x＋1__． 一次函数与方程、不等式的关系5．一次函数与方程(组)的关系(1)一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)可转化为二元一次方程kx－y＋b＝0；(2)一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交点的__横坐标__是方程kx＋b＝0的解；(3)一次函数y＝kx＋b与y＝k1x＋b1图象交点的横、纵坐标值是方程组的解．6．一次函数与不等式的关系(1)①函数y＝kx＋b中函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx＋b＞0的解集，对应的函数图象为位于x轴上方的部分，即x＜a，如图①；②函数y＝kx＋b中函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx＋b＜0的解集，对应的函数图象为位于x轴下方的部分，即x＞a，如图①；14\n(2)当两个一次函数有交点时，联立两个函数表达式组成方程组，求出交点坐标，两个一次函数可将平面分成四部分，比较两函数交点左右两边函数的增减性来判断不等式的解集．即k1x＋b1＞k2x＋b2的解集为x＞a；k1x＋b1＜k2x＋b2的解集为x＜a，如图②.,重点难点解析) 一次函数的图象及性质 【例1】已知一次函数y＝kx＋b－x的图象与x轴的正半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，则k，b的取值情况为( )A．k＞1，b＜0 B．k＞1，b＞0C．k＞0，b＞0 D．k＞0，b＜0【解析】一次函数y＝kx＋b－x＝(k－1)x＋b，∵函数值y随x的增大而增大，∴k－1＞0，即k＞1；∵图象与x轴的正半轴相交，∴图象与y轴的负半轴相交，∴b＜0.∴选项A是正确的．【答案】A【针对训练】1．(2022白银中考)在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，观察图象可得( A )A．k>0，b>0 B．k>0，b<0C．k<0，b>0 D．k<0，b<0 待定系数法求一次函数表达式【例2】已知函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与y轴交点的纵坐标为－2，且当x＝2时y＝1，那么此函数表达式为________．【解析】由题意知，图象过(0，－2)，(2，1)两点，将(0，－2)与(2，1)代入y＝kx＋b中，得解得则函数表达式为y＝x－2.【答案】y＝x－2.【针对训练】14\n2．已知一次函数y＝kx＋3的图象经过点(1，4)．(1)求这个一次函数的表达式；(2)求关于x的不等式kx＋3≤6的解集．解：(1)将(1，4)代入一次函数y＝kx＋3中，得4＝k＋3，解得k＝1，∴一次函数的表达式为y＝x＋3；(2)将k＝1代入kx＋3≤6中得，x＋3≤6，解得x≤3. 一次函数综合应用【例3】如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A，B的坐标分别为(1，0)，(4，0)，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x－6上时，线段BC扫过的面积为____cm2.【解析】如图所示．∵点A，B的坐标分别为(1，0)，(4，0)，∴AB＝3.∵∠CAB＝90°，BC＝5，∴AC＝4.∴A′C′＝4.∵点C′在直线y＝2x－6上，∴2x－6＝4，解得x＝5.即OA′＝5.∴CC′＝5－1＝4.∴S▱BB′C′C＝4×4＝16(cm2)．即线段BC扫过的面积为16cm2.【答案】16【针对训练】14\n3．如图，若一次函数y＝－2x＋b的图象交y轴于点A(0，3)，则不等式－2x＋b＞0的解集为( C )A．x＞ B．x＞3C．x＜D．x＜34．已知函数y1＝2x＋4与函数y2＝－2x＋8.(1)求两函数图象与x轴围成的三角形的面积；(2)当x为何值时，y1＝y2，y1＞y2.解：(1)解得即交点坐标(1，6)．∴两函数图象与x轴围成的三角形的面积为：×6×6＝18；(2)x＝1时，y1＝y2，x＞1时，y1＞y2.,当堂过关检测) 1．(2022宁德中考)如图，直线l是一次函数y＝kx＋b的图象，若点A(3，m)在直线l上，则m的值是( C )A．－5B.C.D．7,(第1题图)) ,(第2题图))2．(2022葫芦岛中考)一次函数y＝(m－2)x＋3的图象如图所示，则m的取值范围是( A )A．m＜2B．0＜m＜2C．m＜0D．m＞23．(2022陕西中考)若一个正比例函数的图象经过A(3，－6)，B(m，－4)两点，则m的值为( A )A．2B．8C．－2D．－84．(2022成都中考)如图，正比例函数y1＝k1x和一次函数y2＝k2x＋b的图象相交于点A(2，1)．当x<2时，y1__＜__y2.(选填“>”或“<”)14\n5．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x＋3的图象与x轴和y轴分别交于A，B两点，将△AOB绕点O顺时针方向旋转90°后得到△A′OB′.(1)求直线A′B′的表达式；(2)若直线A′B′与直线AB相交于点C，求S△A′BC∶S△ABO.解：(1)由y＝x＋3，得A(－4，0)和B(0，3)，∴A′(0，4)，B′(3，0)．设A′B′的表达式为y＝kx＋b，将A′，B′坐标代入，得∴∴直线A′B′的表达式为y＝－x＋4；(2)由旋转得：∠A＝∠A′，∠ABO＝∠A′BC，∴∠A′CB＝∠AOB＝90°，∴△A′CB∽△AOB.又∵AB＝＝5，∴S△A′BC∶S△ABO＝2＝＝.教后反思：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________14\n第2课时 一次函数的实际应用,考标完全解读)考点考试内容考试要求一次函数的实际应用用一次函数解决一般问题掌握方案最值问题掌握,感受宜宾中考)(2022宜宾中考)某棵果树前x年的总产量y与x之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前x年的年平均产量最高，则x的值为( C )A．3 B．5 C.7 D．9,核心知识梳理) 一次函数的实际应用1．用一次函数解决实际问题的一般步骤为：(1)设定实际问题中的自变量与因变量；(2)__通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式__；(3)__确定自变量的取值范围__；(4)利用函数性质解决问题；(5)__检验所求解是否符合实际意义__；(6)答．2．方案最值问题对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过__列不等式__，求解出某一个事物的__取值范围__，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案．【方法点拨】求最值的本质为求最优方案，解法有两种：(1)可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；(2)直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．显然，第②种方法更简单快捷．14\n,重点难点解析) 一次函数的实际应用【例1】甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从A地出发前往B地．甲出发1h后，乙出发．设甲与A地相距y甲(km)，乙与A地相距y乙(km)，甲离开A地的时间为x(h)，y甲，y乙与x之间的函数图象如图所示．(1)甲的速度是________km/h；(2)当1≤x≤5时，求y乙关于x的函数表达式；(3)当乙与A地相距240km时，甲与A地相距______km.【解析】(1)根据图象确定甲的路程与时间即可求出速度；(2)利用待定系数法确定出y乙关于x的函数表达式即可；(3)求出乙距A地240km时的时间，乘以甲的速度即可得结果．【答案】解：(1)60；(2)当1≤x≤5时，设y乙关于x的函数表达式为y乙＝kx＋b.∵点(1，0)，(5，360)在其图象上，∴解得∴y乙关于x的函数表达式为y乙＝90x－90(1≤x≤5)；(3)220【针对训练】1．某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果量y(kg)，增种果树x(棵)，它们之间的函数关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750kg?(3)当增种果树多少棵，果园的总产量w(kg)最大？最大产量是多少？解：(1)设函数的表达式为y＝kx＋b.14\n该一次函数过点(12，74)，(28，66)，根据题意，得解得∴该函数的表达式为y＝－0.5x＋80；(2)根据题意，得(－0.5x＋80)(80＋x)＝6750，解得x1＝10，x2＝70.∵投入成本最低，∴x＝10.∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750kg；(3)根据题意，得w＝(－0.5x＋80)(80＋x)＝－0.5x2＋40x＋6400＝－0.5(x－40)2＋7200，∵a＝－0.5＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值．∴当x＝40时，w最大值为7200kg.∴当增种果树40棵时，果园的最大产量是7200kg. 利用一次函数进行方案选择 目的地车型 A村(元/辆)B村(元/辆)大货车800900小货车400600【例2】为了贯彻落实市委市政府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一系列关于帮扶A，B两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到A，B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A，B两村的运费如下表：(1)求这15辆车中大小货车各多少辆；(2)现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A，B两村总费用为y元，试求出y与x的函数表达式；(3)在(2)的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．【解析】(1)设大货车用x辆，小货车用y辆，根据大、小两种货车共15辆，运输152箱鱼苗，列方程组求解；(2)设前往A村的大货车为x辆，则前往B村的大货车为(8－x)辆，前往A村的小货车为(10－x)辆，前往B村的小货车为[7－(10－x)]辆，根据表格所给运费，求出y与x的函数关系式；(3)结合已知条件，求x的取值范围，由(2)的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案．【答案】解：(1)设大货车用x辆，小货车用y辆．根据题意，得解得∴大货车用8辆，小货车用7辆；(2)y＝800x＋900(8－x)＋400(10－x)＋600[7－(10－x)]＝100x＋9400.(3≤x≤8，且x为整数)；(3)由题意，得12x＋8(10－x)≥100，解得x≥5.又∵3≤x≤8，∴5≤x≤8且为整数．∵y＝100x＋9400，k＝100＞0，y随x的增大而增大，14\n∴当x＝5时，y最小，最小值为y＝100×5＋9400＝9900(元).答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A村；3辆大货车、2辆小货车前往B村，最少运费为9900元．【针对训练】2．新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售，某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4000元/m2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该楼盘每套楼房面积均为120m2.若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案：方案一：降价8%，另外每套楼房赠送a元装修基金；方案二：降价10%，没有其他赠送．(1)请写出售价y(元/m2)与楼层x(1≤x≤23，x取整数)之间的函数关系式；(2)老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清购房款，请帮他计算哪种优惠方案更加合算．解：(1)当1≤x≤8时，y＝4000－(8－x)×30＝30x＋3760，当9≤x≤23时，y＝4000＋(x－8)×50＝50x＋3600，∴y＝(2)第十六层楼房每平方米的价格为：50×16＋3600＝4400(元/m2)，按照方案一所交房款为：W1＝4400×120×(1－8%)－a＝485760－a(元)，按照方案二所交房款为：W2＝4400×120×(1－10%)＝475200(元)，当W1＞W2时，即485760－a＞475200，解得0＜a＜10560，当W1＜W2时，即485760－a＜475200，解得a＞10560，∴当0＜a＜10560时，方案二合算；当a＝10560时，两种方案一样；当a＞10560时，方案一合算． 利用一次函数解决分段函数型问题【例3】某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足下列关系式：y＝(1)李明第几天生产的粽子数量为420只？(2)如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？(利润＝出厂价－成本)(3)设(2)小题中第m天利润达到最大值，若要使第(m＋1)天的利润比第m天的利润至少多48元，则第(m＋1)天每只粽子至少应提价几元？14\n【解析】(1)把y＝420代入y＝30x＋120，解方程即可求得；(2)根据图象求得成本p与x之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到W与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；(3)根据(2)得出m＋1＝13，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a与利润w的关系式，再根据题意列出不等式求解即可．【答案】解：(1)设李明第n天生产的粽子数量为420只，由题意可知30n＋120＝420，解得n＝10.答：第10天生产的粽子数量为420只；(2)由图象得，当0≤x≤9时，p＝4.1；当9≤x≤15时，设p＝kx＋b，把点(9，4.1)，(15，4.7)代入，得解得∴p＝0.1x＋3.2，①0≤x≤5时，w＝(6－4.1)×54x＝102.6x，当x＝5时，w最大＝513元；②5＜x≤9时，w＝(6－4.1)×(30x＋120)＝57x＋228，当x＝9时，w最大＝741元；③9＜x≤15时，w＝(6－0.1x－3.2)×(30x＋120)＝－3x2＋72x＋336，∵a＝－3＜0，∴当x＝－＝12时，w最大＝768(元)．∵513<741<768，∴第12天的利润最大，最大利润是768元；(3)由(2)可知m＝12，m＋1＝13，设第13天提价a元．由题意，得w13＝(6＋a－p)(30x＋120)＝510(a＋1.5)，∴510(a＋1.5)－768≥48，解得a＝0.1.答：第13天每只粽子至少应提价0.1元．【针对训练】14\n3．甲、乙两人匀速从同一地点到1500m处的图书馆看书，甲出发5min后，乙以50m/min的速度沿同一路线行走．设甲、乙两人相距s(m)，甲行走的时间为t(min)，s关于t的函数图象的一部分如图所示．(1)求甲行走的速度；(2)在坐标系中，补画s关于t的函数图象的其余部分；(3)问甲、乙两人何时相距360m?解：(1)甲行走的速度：150÷5＝30(m/min)；(2)当t＝35时，甲行走的路程为：30×35＝1050(m)，乙行走的路程为：(35－5)×50＝1500(m)，∴当t＝35时，乙已经到达图书馆，甲距图书馆的路程还有1500－1050＝450m，∴甲到达图书馆还需时间：450÷30＝15(min)，∴35＋15＝50(min)，∴当s＝0时，横轴上对应的时间为50.补画的图象如图所示(横轴上对应的时间为50)；(3)设乙出发经过xmin和甲第一次相遇．根据题意，得150＋30x＝50x，解得x＝7.5，7．5＋5＝12.5(min)，由函数图象可知，当t＝12.5时，s＝0，∴点B的坐标为(12.5，0)，当12.5≤t≤35时，设BC的表达式为s＝kt＋b，把C(35，450)，B(12.5，0)代入可得解得∴s＝20t－250，当s＝360时，20t－250＝360，解得t＝30.5.当35＜t≤50时，设CD的表达式为s＝k1t＋b1，把D(50，0)，C(35，450)代入，得解得∴s＝－30t＋1500，∵当s＝360时，－30t＋1500＝360，解得t＝38.14\n∴当甲行走30.5min或38min时，甲、乙两人相距360m．,当堂过关检测)1.(2022鄂州中考)小东家与学校之间是一条笔直的公路，早饭后，小东步行前往学校，途中发现忘带画板，停下给妈妈打电话，妈妈接到电话后，带上画板马上赶往学校，同时小东沿原路返回，两人相遇后，小东立即赶往学校，妈妈沿原路返回16min到家，再过5min小东到达学校．小东始终以100m/min的速度步行，小东和妈妈的距离y(单位：m)与小东打完电话后的步行时间t(单位：min)之间的函数关系如图所示，下列四种说法：①打电话时，小东和妈妈距离是1400m；②小东与妈妈相遇后，妈妈回家速度是50m/min；③小东打完电话后，经过27min到达学校；④小东家离学校的距离为2900m．其中正确的个数是( D )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．小丁每天从某都市报社以每份0.3元买出报纸200份，然后以每份0.5元卖给读者，若报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份0.2元退给小丁．如果小丁平均每天卖出报纸x份，纯收入为y元．(1)求y与x之间的函数关系式(要求写出自变量x的取值范围)；(2)如每月以30天计，小丁每天至少要卖多少份报纸才能保证每月收入不低于1000元？解：(1)y＝(0.5－0.3)x－(0.3－0.2)(200－x)，即y＝0.3x－20(0≤x≤200，且x为整数)，(2)依题意，得(0.3x－20)×30≥1000，解得x≥177，∵x为整数，∴x取178.答：小丁每天至少应卖出报纸178份，才能保证月收入不低于1000元．3．某学校组织了一次野外长跑活动，参加长跑的同学出发后，另一些同学从同地骑自行车前去加油助威．如图，线段L1，L2分别表示长跑的同学和骑自行车的同学行进的路程y(km)随时间x(min)变化的函数图象．根据图象，解答下列问题：(1)分别求出长跑的同学和骑自行车的同学的行进路程y与时间x的函数表达式；(2)求长跑的同学出发多少时间后，骑自行车的同学就追上了长跑的同学？解：(1)长跑：y＝x，骑车：y＝x－10，14\n(2)联立以上两个方程组，得解得答：长跑的同学出发了30min后，骑自行车的同学就追上了长跑的同学．14
