专项训练(六) 圆一、选择题1.如图所示的方格纸上一圆经过(2，6)，(－2，2)，(2，－2)，(6，2)四点，则该圆圆心的坐标为(B)第1题图A.(2，－1)B.(2，2)C.(2，1)D.(3，1)【解析】根据弦的垂直平分线必过圆心，得点(2，6)和点(2，－2)的垂直平分线是y＝2，点(－2，2)和点(6，2)的垂直平分线是x＝2，则该圆圆心的坐标为两条垂直平分线的交点(2，2)．2.如图，⊙O过点B，C，圆心O在等腰直角三角形ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝2，BC＝6，则⊙O的半径为(A)第2题图A.B.2C.3D.【解析】如答图，延长AO交BC于点D，连接OB.∵△ABC是等腰直角三角形，圆心O一定在BC的垂直平分线上，∴AD⊥BC，AD＝BD＝BC＝×6＝3.∴OD＝AD－OA＝3－2＝1.在Rt△ODB中，OB＝＝＝.第2题答图3.如图，AB是半圆O的直径，点C，D，E，F在半圆上，AC＝CD＝DE＝EF＝FB，则∠COF的度数是(C)第3题图7\nA.90°B.100°C.108°D.120°【解析】∵AC＝CD＝DE＝EF＝FB，∴＝＝＝＝＝.∴∠COF＝×180°＝108°.4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点．若∠BAD＝100°，则∠DCE的度数是(C)第4题图A.115°B.105°C.100°D.95°【解析】∵∠BAD＝100°，∴∠BCD＝180°－∠BAD＝80°.∴∠DCE＝180°－∠BCD＝100°.5.(导学号5892921)已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB＝8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为(C)A.2cmB.4cmC.2cm或4cmD.2cm或4cm【解析】如答图①，连接OA.∵直径CD＝10cm，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，∴OA＝5cm，AM＝AB＝4(cm)．∴OM＝＝3(cm)．∴MC＝5＋3＝8(cm)．∴AC＝4cm.如答图②，MC＝OC－OM＝5－3＝2(cm)，即AC＝2cm.综上所述，线段AC的长度为4cm或2cm.第5题答图6.(导学号5892921)如图所示的是一个五角星(即A，B，C，D，E为圆的五等分点)．已知AC＝a，则此五角星的外接圆直径可表示为(C)第6题图A.a·sin72°B.7\nC.D.【解析】如答图，连接AO，并延长交⊙O于点F，连接CF，则∠ACF＝90°.∵A，B，C，D，E是⊙O的五等分点，∴∠CAD＝∠DBE＝∠ACE＝∠ADB＝∠BEC.∴∠CAD＝×180°＝36°.∴∠CAF＝∠CAD＝18°.在Rt△ACF中，AC＝a，∴AF＝＝.第6题答图7.如图，在△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝2，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为(C)第7题图A.B.C.2D.3【解析】在Rt△BCM中，tan60°＝＝.∴BC＝＝2.∵AB为⊙O的直径，且AB⊥BC，∴BC为⊙O的切线．∵CD为⊙O的切线，∴CD＝BC＝2.二、填空题8.圆的半径为3，它的内接正三角形的边长为3.【解析】如答图，连接AO并延长，交BC于点D，连接OB，则∠ADB＝90°.在Rt△BOD中，OB＝3，∠OBD＝30°，∴BD＝OB·cos30°＝.∵BD＝CD，∴BC＝2BD＝3.故它的内接正三角形的边长为3.第8题答图9.如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是⊙O上一点，则tan∠OBC＝().7\n第9题图【解析】如答图，设⊙O与x轴负半轴交于点D，连接CD.∵∠COD＝90°，∴CD是⊙O的一条直径．在Rt△OCD中，CD＝6，OC＝2，则OD＝＝4.∴tan∠CDO＝＝.由圆周角定理，得∠OBC＝∠CDO，∴tan∠OBC＝.第9题答图10.如图所示的是一个废弃的扇形统计图，小华利用它的阴影部分来制作一个圆锥，则这个圆锥底面圆的半径是3.6.第10题图【解析】由题意，得阴影部分的弧长为＝7.2π，∴圆锥底面圆的半径是7.2π÷2π＝3.6.11.(2022，廊坊模拟，导学号5892921)如图，在边长为6的菱形ABCD中，分别以各顶点为圆心，以边长的一半为半径，在菱形内作四条圆弧，则图中阴影部分的周长是6π.第11题图【解析】由题意，得四条圆弧的半径都为3，所有圆心角的和为菱形的内角和．故阴影部分的周长是＝6π.12.如图，⊙O的圆心O到直线l的距离为3cm，⊙O的半径为1cm，将直线l向右(垂直于l的方向)平移，使l与⊙O相切，则平移的距离为2cm或4cm.7\n第12题图【解析】∵圆心O到直线l的距离为3cm，半径为1cm，∴当直线与圆在左边相切时，平移的距离为3－1＝2(cm)，当直线与圆在右边相切时，平移的距离为3＋1＝4(cm)．三、解答题13.如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D是上一点，连接BD，E是BD上一点，且BE＝CD.(1)求证：△AED为等腰三角形；(2)若∠BCA＝60°，ED＝8，CD＝2，求AC的长．第13题图【思路分析】(1)根据同弧所对的圆周角相等，可得∠ABE＝∠ACD，再根据SAS，可得三角形全等，根据全等三角形的对应边相等，可得AE＝AD，根据等腰三角形的定义，可得答案．(2)由(1)中的结论和圆周角定理判定△AED是等边三角形．作AH⊥BD于点H.在△ABH中，利用勾股定理得到AB的长度，则可得AC的长．(1)证明：∵＝，∴∠ABE＝∠ACD.在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD(SAS)．∴AE＝AD.∴△AED为等腰三角形．(2)解：如答图，作AH⊥BD于点H.由(1)知，AE＝AD.∵∠BCA＝60°，∴∠BDA＝∠BCA＝60°.∴△AED是等边三角形．∴AE＝DE＝8，∠AED＝60°.∴EH＝AE＝4.∴AH＝EH＝4.∵BE＝CD＝2，∴BH＝BE＋EH＝2＋4＝6.在Rt△ABH中，7\nAB＝＝＝2.∴AC＝AB＝2.第13题答图14.(导学号5892921)如图，D是等边三角形ABC中BC边的延长线上一点，且AC＝CD，以AB为直径作⊙O，分别交边AC，BC于点E，F.(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)连接OC，交⊙O于点G.若AB＝8，求线段CE，CG与围成的阴影部分的面积S.第14题图【思路分析】(1)欲证明AD是⊙O的切线，只要证明AD⊥AB即可．(2)根据S阴影＝S△OEC－S扇形OEG，只要证明AE＝EC，推出S△OEC＝S△AOE＝×42＝4即可解决问题．(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°.∵CA＝CD，∴∠D＝∠CAD.∵∠ACB＝∠D＋∠CAD，∴∠CAD＝30°.∴∠BAD＝60°＋30°＝90°，即DA⊥BA.∴AD是⊙O的切线．(2)解：如答图，连接OE.∵OA＝OE，∠OAE＝60°，∴△OAE是等边三角形．∴AE＝AO＝AB＝AC.∴AE＝EC.∴S△OEC＝S△AOE＝×42＝4.∵CA＝CB，OA＝OB，∴CO⊥AB.∴∠AOC＝90°.∴∠EOG＝30°.∴S扇形OEG＝＝.7\n∴S阴影＝S△OEC－S扇形OEG＝4－.第14题答图7
