专项训练(五) 三角形与四边形一、选择题1.如图，∠AOB的度数可由量角器测得，作∠AOB的平分线OC，则∠AOC的度数为(C)第1题图A.70°B.20°C.25°D.65°【解析】∵∠AOB＝50°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠AOB＝25°.2.如图，甲船从北岸码头A向南行驶，航速为36km/h；乙船从南岸码头B向北行驶，航速为27km/h.两船均于7：15出发，两岸平行，水面宽为18.9km，则两船距离最近时的时刻为(C)第2题图A.7：35B.7：34C.7：33D.7：32【解析】设xh后两船距离最近．根据题意，得36x＝18.9－27x.解得x＝0.3.0.3h＝18min.所以两船距离最近时的时刻为7：33.3.如果一个三角形的三个内角的度数比是2∶3∶4，那么它是(A)A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.钝角三角形或直角三角形【解析】设三角形的三个内角的度数分别为2k，3k，4k，则2k＋3k＋4k＝180°.解得k＝20°.所以这个三角形最大的内角为4×20°＝80°.所以此三角形是锐角三角形．4.在下列三角形中，若AB＝AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是(B) ABCD【解析】A.作∠ABC的平分线即可．C.过点A作BC的垂线即可．D.以点A为顶点AB为一边在三角形内部作一个72°的角即可．只有选项B不能被一条直线分成两个小等腰三角形．5.如图，一根木棍斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上．设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离(A)第5题图6\nA.不变B.变小C.变大D.无法判断【解析】如答图，连接OP.在Rt△AOB中，OP是斜边AB上的中线，∴OP＝AB.由于木棍的长度不变，所以不管木棍如何滑动，OP都是一个定值．第5题答图6.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E.若AB＝6cm，则△DEB的周长为(A)第6题图A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm【解析】∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°.∴∠C＝∠AED.∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠EAD.∵AD＝AD，∴△ACD≌△AED(AAS)．∴AC＝AE，CD＝DE.∴BD＋DE＝BD＋CD＝BC＝AC＝AE.∴△DEB的周长为BD＋DE＋BE＝AE＋BE＝AB＝6cm.7.如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，D是BC上的点，DF∥AB交AC于点F，DE∥AC交AB于点E，那么四边形AFDE的周长为(B)第7题图A.6B.12C.24D.48【解析】∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AFDE是平行四边形，∠B＝∠FDC，∠EDB＝∠C.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴∠B＝∠EDB，∠C＝∠FDC.∴BE＝ED，DF＝FC.∴▱AFDE的周长为AB＋AC＝12.8.如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F.若BF＝12，AB＝10，则AE的长为(D)第8题图A.13B.14C.15D.16【解析】如答图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠DAE＝∠AEB.∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE＝∠BAE.∴∠BAE＝∠BEA.∴AB＝BE.同理AB＝AF.∴AF＝BE.∴四边形ABEF是平行四边形．∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形．∴AE⊥BF，OA＝OE，OB＝OF＝6\nBF＝6.∴OA＝＝＝8.∴AE＝2OA＝16.第8题答图9.(导学号5892921)有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1∶S2等于(D)第9题图A.1∶B.1∶2C.2∶3D.4∶9【解析】如答图．由题意，得EF＝AC，CG＝AC.∴＝＝.易证△DEF∽△HCG.∴S1∶S2＝4∶9.第9题答图二、填空题10.如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动．点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快4s后，四边形ABPQ成为矩形．第10题图【解析】设最快xs后，四边形ABPQ成为矩形．由BP＝AQ，得3x＝20－2x.解得x＝4.11.(导学号5892921)如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，∠AOC＝60°.若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到菱形OA′B′C′，则点B的对应点B′的坐标为(，－)． 第11题图6\n【解析】如答图，作B′H⊥x轴于点H，连接OB，OB′.∵四边形OABC为菱形，∴OB平分∠AOC.∵∠AOC＝60°，∴∠AOB＝∠BOC＝30°.∵菱形OA′B′C′由菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°得到，∴∠BOB′＝75°，OB′＝OB.∴∠COB′＝∠BOB′－∠BOC＝45°.∴△OB′H为等腰直角三角形．易得OB′＝OB＝2，∴OH＝B′H＝OB′＝.∴点B′的坐标为(，－)．第11题答图12.(导学号5892921)如图，把矩形卡片ABCD放在每格宽度都为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上．若α＝37°，则矩形卡片ABCD的周长约为200mm.第12题图【解析】如答图，过点B作BE⊥l于点E，过点D作DF⊥l于点F.∵α＋∠DAF＝90°，∠ADF＋∠DAF＝90°，∴∠ADF＝α＝37°.根据题意，得BE＝24mm，DF＝48mm.在Rt△ABE中，sinα＝，∴AB＝≈＝40(mm)．在Rt△ADF中，cos∠ADF＝，∴AD＝≈＝60(mm)．∴矩形卡片ABCD的周长约为2×(40＋60)＝200(mm)．第12题答图三、解答题13.(2022，唐山古冶区三模)如图，在△ABC中，直线EF垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C作CF∥BA交EF于点F，连接AF.(1)求证：△AED≌△CFD；6\n(2)求证：四边形AECF是菱形；(3)若ED＝6，AE＝10，则菱形AECF的面积是多少？ 第13题图【思路分析】(1)由EF为线段AC的垂直平分线得到AD＝CD，然后根据CF∥AB得到∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，利用AAS证得两个三角形全等．(2)根据全等得到AE＝CF，然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC＝EA，FC＝FA，从而得到EC＝EA＝FC＝FA，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF为菱形．(3)由菱形的性质和勾股定理求出AD，得出AC的长，进而求得菱形的面积．(1)证明：∵EF为线段AC的垂直平分线，∴AD＝CD.∵CF∥AB，∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED.∴△AED≌△CFD(AAS)．(2)证明：∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF.∵EF为线段AC的垂直平分线，∴EC＝EA，FC＝FA.∴EC＝EA＝FC＝FA.∴四边形AECF为菱形．(3)解：∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥EF.∵ED＝6，AE＝10，∴AD＝＝8.∴AC＝2AD＝16.∴菱形AECF的面积为2×·AC·DE＝2××16×6＝96.14.如图，在矩形ABCD中，∠DAB的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，连接BD.(1)求∠AEC的度数；(2)求证：BE＝DC；(3)P是线段EF上一动点(不与点E，F重合)，在点P运动过程中，能否使△BDP成为等腰直角三角形？若能，写出点P满足的条件并证明；若不能，请说明理由．第14题图【思路分析】(1)由矩形的性质与三角形外角的性质即可得出结果．(2)由矩形的性质得出AB＝DC，AD∥BC，再由平行线的性质得出∠AEB＝∠EAD＝45°，即可得出结论．(3)连接CP，证出△CEF为等腰直角三角形，再由P是线段EF的中点得出EP＝CP，∠ECP＝45°，∠EPC＝90°，由SAS证得△BEP≌△DCP，即可得出结论．(1)解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠ABC＝90°.6\n∵∠DAB的平分线交BC于点E，∴∠BAE＝∠EAD＝45°.∴∠AEC＝∠ABC＋∠BAE＝90°＋45°＝135°.(2)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，AD∥BC.∴∠AEB＝∠EAD＝45°.∴∠BAE＝∠AEB＝45°.∴AB＝BE.∴BE＝DC.(3)解：在点P运动过程中，能使△BDP成为等腰直角三角形，此时P是线段EF的中点．证明：如答图，连接CP.∵四边形ABCD是矩形，DC的延长线交∠DAB的平分线于点F，∴∠ECF＝90°，AB∥DF.∴∠F＝∠BAE＝45°.∵∠FEC＝∠AEB＝45°，∴∠F＝∠FEC.∴CE＝CF.∵P是线段EF的中点，∴EP＝CP，∠ECP＝45°，∠EPC＝90°.∴∠DCP＝∠DCB＋∠ECP＝90°＋45°＝135°.∵∠BEP＝∠AEC＝135°，∴∠BEP＝∠DCP.在△BEP和△DCP中，∴△BEP≌△DCP(SAS)．∴BP＝DP，∠BPE＝∠DPC.∴∠BPD＝∠BPE＋∠DPE＝∠DPC＋∠DPE＝∠EPC＝90°.∴△BDP为等腰直角三角形．第14题答图6
