规律与猜想规律与猜想问题指的是给出一定条件(可以是有规律的算式、图形或图表)，让学生认真分析，仔细观察、综合归纳，大胆猜想，得出结论，并加以验证的数学探索题，规律与猜想题型几乎是云南省学业水平考试中的必考题型，一般会以选择题或填空题的形式出现，其解题步骤大致可归纳为：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论． 类型1 数式的变化规律 (2022·云南)观察规律并填空：(1－)＝·＝；(1－)(1－)＝···＝·＝；(1－)(1－)(1－)＝·····＝·＝；(1－)(1－)(1－)(1－)＝·······＝·＝；…(1－)(1－)(1－)(1－)…(1－)＝______．(用含n的代数式表示，n是正整数，且n≥2)【思路点拨】由前面算式可以看出：算式的左边利用平方差公式因式分解，中间的数字互为倒数，乘积为1，只剩下两端的(1－)和(1＋)相乘得出结果．【解答】 (1－)(1－)(1－)(1－)…(1－)＝······…·＝.故答案为：.【方法归纳】探索数式规律的题目，一般要仔细观察特殊例子，找出变与不变的因素，找出与序号相一致的数式本身蕴含的规律，并用这一规律去解决简单问题．1．(2022·临沂)观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，….按照上述规律，第2015个单项式是()A．2015x2015B．4029x2014C．4029x2015D．4031x20152．(2022·广东)观察下列一组数：，，，，，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是________．3．(2022·孝感)观察下列等式：1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，…，则1＋3＋5＋7＋…＋2015＝________．4．(2022·黔西南)已知A＝3×2＝6，A＝5×4×3＝60，A＝5×4×3×2＝120，A＝6×5×4×3＝360，依此规律A＝________．4\n5．(2022·大理)下面是按一定规律排列的一列数：，，，，…，那么第n个数是________．6．(2022·安徽)观察下列关于自然数的等式： 32－4×12＝5；52－4×22＝9；72－4×32＝13；…根据上述规律解决下列问题：(1)完成第四个等式：92－4×(________)2＝________；(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)：________________．7．(2022·曲靖)如图，在数轴上，A1，P两点表示的数分别是1、2，A1，A2关于点O对称，A2，A3关于点P对称，A3，A4关于点O对称，A4，A5关于点P对称…依此规律，则点A14表示的数是________．类型2 图形的变化规律 (2022·云南)如图，在△ABC中，BC＝1，点P1、M1分别是AB、AC边的中点，点P2、M2分别是AP1、AM1的中点，点P3、M3分别是AP2、AM2的中点，按这样的规律下去，PnMn的长为________(n为正整数)．【思路点拨】解此题的关键是要知道中位线的性质，即三角形的中位线等于第三边的一半，从而归纳得出其中的规律．【解答】根据中位线的性质可知，在图1中，P1M1＝BC＝；在图2中，P2M2＝P1M1＝；在图3中，P3M3＝P2M2＝；…在图n中，PnMn＝.故答案填.【方法归纳】图形规律问题主要是观察图形的组成特点，分析每个图形之间的联系与区别，用相应的算式描述其中的规律，并注意数形结合．1．(2022·重庆B卷)下列图形都是有几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图1中有2个黑色正方形，图2中有5个黑色正方形，图3中有8个黑色正方形，图4中有11个黑色正方形，…，按此规律，图10中黑色正方形的个数是()4\nA．32 B．29 C．28 D．262．(2022·重庆A卷)下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第(1)个图形中一共有6个小圆圈，其中第(2)个图形中一共有9个小圆圈，其中第(3)个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第(7)个图形中小圆圈的个数为()(1) (2) (3)A．21B．24C．27D．303．(2022·云南)观察下列图形的排列规律(其中▲、■、★分别表示三角形、正方形、五角星)，若第一个图形是三角形，则第18个图形是________．(填图形名称)▲■★▲■★▲■★▲■★▲■★▲■★▲■★…4．(2022·昆明盘龙区一模)下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的，如图所示，按此规律排列下去，第n个图形中有________个实心圆．5．(2022·深圳)观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形有________个太阳．6．(2022·安顺)如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n(n是正整数)个图案中的基础图形个数为________(用含n的式子表示)．7．(2022·曲靖)用火柴棒按下图所示的方式摆大小不同的“H”：依此规律，摆放第9个“H”需要火柴棒________根．8．(2022·昆明西山区二模)它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形共有________个★.9．(2022·徐州)如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长________．4\n第9题图 第10题图10．(2022·昆明二模)正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点A6的坐标是________．参考答案类型1 数式的变化规律1．C 2. 3.10082 4.840 5. 6.(1)4 17 (2)(2n＋1)2－4n2＝4n＋1 7.－25类型2 图形的变化规律1．B 2.B 3.五角星 4.(2n＋2) 5.21 6.3n＋1 7.29 8.(3n＋1) 9.()n－1 10.(31，32)4
