三角形、四边形的证明与计算纵观广西近几年的中考，全等三角形的判定与性质单独考查得比较少，且考查的难度比较基础，但全等三角形的判定与性质常与四边形综合起来考查．常考的问题有证明三角形全等或者通过三角形全等去证明线段相等或者求角度问题、证明四边形是平行四边形、矩形、菱形等，解决这类题型不仅要熟练掌握四边形的有关知识，还要掌握不同知识之间的综合应用．类型1 全等三角形的判定与性质1．如图所示，∠BAC＝∠ABD＝90°，AC＝BD，点O是AD，BC的交点，点E是AB的中点．(1)图中有哪几对全等三角形？请写出来；(2)试判断OE和AB的位置关系，并给予证明．2．如图，在10×10的正方形网格中，△ABC的顶点和线段EF的端点都在边长为1的小正方形的顶点上．(1)填空：tanA＝________，AC＝________(结果保留根号)；(2)请你在图中找出一点D(仅一个点即可)，连接DE、DF，使以D、E、F为顶点的三角形与△ABC全等，并加以证明．类型2 三角形、四边形的综合证明与计算 (2022·玉林)如图1，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP＝BM，连接NP，BP.10\n(1)求证：四边形BMNP是平行四边形；(2)如图2，线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．【思路点拨】 (1)根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝∠C，然后利用“边角边”证明△ABM和△BCP全等，根据全等三角形对应边相等可得AM＝BP，∠BAM＝∠CBP，再求出AM⊥BP，从而得到MN∥BP，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；(2)根据同角的余角相等求出∠BAM＝∠CMQ，然后得出△ABM和△MCQ相似，根据相似三角形对应边成比例可得＝，再求出△AMQ∽△ABM，根据相似三角形对应边成比例可得＝，从而得到＝，即可得解．【解答】 (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C.在△ABM和△BCP中，∴△ABM≌△BCP(SAS)．∴AM＝BP，∠BAM＝∠CBP.∵∠BAM＋∠AMB＝90°，∴∠CBP＋∠AMB＝90°.∴AM⊥BP.∵线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，∴AM⊥MN，且AM＝MN.∴MN∥BP，MN＝BP.∴四边形BMNP是平行四边形．(2)BM＝MC.理由如下：∵∠BAM＋∠AMB＝90°，∠AMB＋∠CMQ＝90°，∴∠BAM＝∠CMQ.又∵∠ABC＝∠C＝90°，∴△ABM∽△MCQ.∴＝.∵△MCQ∽△AMQ，∴△AMQ∽△ABM.∴＝.∴＝.∴BM＝MC.本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．10\n(1)求出两个三角形全等是解题的关键；(2)根据相似于同一个三角形的两个三角形相似求出△AMQ∽△ABM是解题的关键． 1．(2022·徐州)如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC.(1)求证：四边形BFCE是平行四边形；(2)若AD＝10，DC＝3，∠EBD＝60°，则BE＝________时，四边形BFCE是菱形．2．(2022·南通)如图，在ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD.(1)求证：△AED≌△CFB；(2)若∠A＝30°，∠DEB＝45°，求证：DA＝DF.3．(2022·玉林)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点P是AB边上一点(不与A，B重合)，连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ.(1)当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；10\n(2)取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．4．(2022·北海)如图1，E是正方形ABCD的边BC上的一个点(E与B、C两点不重合)，过点E作射线EP⊥AE，在射线EP上截取线段EF，使得EF＝AE；过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G.(1)求证：FG＝BE；(2)连接CF，如图2，求证：CF平分∠DCG；(3)当＝时，求sin∠CFE的值．10\n10\n类型3 动点问题中三角形与四边形的有关证明与计算1．已知正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别是OB，OC上的动点．(1)如果动点E，F满足BE＝CF(如图1)．①写出所有以点E或F为顶点的全等三角形(不得添加辅助线)；②证明：AE⊥BF；(2)如果动点E，F满足BE＝OF(如图2)，问当AE⊥BF时，点E在什么位置，并证明你的结论．2．(2022·柳州)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发以2cm/s的速度沿ADC运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．(1)从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD?10\n(2)从运动开始，当t取何值时，△PQC为直角三角形？参考答案类型11．(1)△ABC≌△BAD，△AOE≌△BOE，△AOC≌△BOD.(2)OE⊥AB.证明：在△ABC和△BAD中，∴△ABC≌△BAD(SAS)．∴∠DAB＝∠CBA.∴OA＝OB.又∵点E是AB的中点，∴OE⊥AB. 2.(1) 2 (2)图中找出一点D，连接DE、DF，△ABC≌△EFD，如图所示．证明：过D作DM⊥EF，交EF延长线于点M.在Rt△EMD中，EM＝4，MD＝2，根据勾股定理，得ED＝＝2，在Rt△FDM中，FM＝2，MD＝2，根据勾股定理，得FD＝＝2，同理，根据勾股定理得BC＝2.在△ABC和△EFD中，∴△ABC≌△EFD(SSS)．类型21．(1)证明：∵AB＝DC，∴AB＋BC＝DC＋BC，即AC＝DB.在△AEC和△DFB中，∴△AEC≌△DFB(SAS)．∴EC＝BF，∠ACE＝∠DBF.∴EC∥BF.∴四边形BFCE是平行四边形．(2)当四边形BFCE是菱形时，BE＝CE，∵AD＝10，DC＝3，AB＝CD＝3，∴BC＝10－3－3＝4.∵∠EBD＝60°，∴△EBC为等边三角形．∴BE＝BC＝4.∴当BE＝4时，四边形BFCE是菱形． 2.(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，∠A＝∠C，AD∥CB.∴∠ADB＝∠CBD.10\n∵ED⊥DB，FB⊥BD，∴∠EDB＝∠FBD＝90°.∴∠ADE＝∠CBF.在△AED和△CFB中，∴△AED≌△CFB(ASA)．(2)过点D作DH⊥AB，垂足为H，在Rt△ADH中，∠A＝30°，∴AD＝2DH.在Rt△DEB中，∠DEB＝45°，∴EB＝2DH.∴AD＝EB.∵∠EDB＝∠FBD＝90°，∴ED∥BF.又∵△AED≌△CFB，∴ED＝FB.∴四边形EBFD为平行四边形．∴FD＝EB.∴DA＝DF. 3.(1)解法一：∵△CDQ≌△CPQ，∴CP＝CD＝5.在Rt△CBP中，PB＝＝4，AP＝5－4＝1.又∠CPQ＝90°，∴∠QPA＋∠CPB＝90°.∵∠PQA＋∠QPA＝90°，∴∠PQA＝∠CPB.又∵∠A＝∠B＝90°，∴△QAP∽△PBC.∴＝.∴AQ＝.解法二：∵△CDQ≌△CPQ，∴CP＝CD＝5.在Rt△CBP中，PB＝＝4，故AP＝5－4＝1.设AQ＝x，则PQ＝QD＝3－x.在Rt△QAP中，QP2＝QA2＋AP2.即(3－x)2＝x2＋1，∴x＝，∴AQ＝.(2)解法一：由题意MD，MP分别是Rt△CDQ与Rt△CPQ共同斜边CQ的中线，∴MD＝MC＝MP＝MQ.∴∠DMQ＝2∠DCQ，∠PMQ＝2∠PCQ.∴∠DMQ＋∠PMQ＝2(∠DCQ＋∠PCQ)．∴∠DCQ＋∠PCQ＝(∠DMQ＋∠PMQ)＝45°.∴∠PCB＝90°－45°＝45°.∴PB＝BC＝3，∠APQ＝45°.∴AQ＝AP＝5－3＝2.解法二：由题意MD，MP分别是Rt△CDQ与Rt△CPQ共同斜边CQ的中线，∴MD＝MC＝MP＝MQ.∴∠QDM＝∠DQM，∠MQP＝∠MPQ.又∠DMQ＋∠PMQ＝90°，∴∠QDM＋∠DQM＋∠MQP＋∠MPQ＝360°－90°＝270°.∴∠DQM＋∠MQP＝135°，∠AQP＝180°－135°＝45°.又∠CPB＝180°－90°－45°＝45°，∴△QAP与△PBC均是等腰直角三角形．∴PB＝BC＝3，AQ＝AP＝5－3＝2. 4.(1)证明：∵EP⊥AE，∴∠AEB＋∠GEF＝90°.∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°.∴∠AEB＋∠BAE＝90°.∴∠GEF＝∠BAE.∵FG⊥BC，∴∠ABE＝∠EGF＝90°.在△ABE与△EGF中，∴△ABE≌△EGF.∴FG＝BE.(2)证明：由(1)可得BC＝AB＝EG，∴BC－EC＝EG－EC，即BE＝CG.10\n∵△ABE≌△EGF，∴FG＝BE.∴FG＝CG.∵∠CGF＝90°，∴∠FCG＝45°＝∠DCG.∴CF平分∠DCG.(3)过点C作CH⊥EF于H，则△EHC∽△EGF，∴＝.∵＝，令BE＝3a，则BC＝4a，EC＝a，EG＝4a，FG＝CG＝3a，∴EF＝5a，CF＝3a.∴＝，HC＝a.∴sin∠CFE＝＝.类型31．(1)①△ABE≌△BCF，△AOE≌△BOF，△ABF≌△DAE.②证明：延长AE交BF于M.根据正方形的性质得AB＝BC，OB＝OC，∠ABE＝∠BCF＝45°，在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF(SAS)．∴∠BAE＝∠CBF.∴∠AMF＝∠BAE＋∠ABM＝∠CBF＋∠ABM＝90°，即AE⊥BF.(2)点E为BO的中点．理由：延长AE交BF于M.∵∠BME＝∠AOE＝90°，∠BEM＝∠AEO，∴△BEM∽△AEO.∴＝，即AO＝.∵∠MBE＝∠OBF，∠BME＝∠BOF＝90°，∴△BEM∽△BFO.∴＝，即BO＝.∵四边形ABCD为正方形，∴AO＝BO，∴OE＝OF.又∵BE＝OF，∴BE＝EO.∴当AE⊥BF时，点E为BO的中点． 2.(1)当PQ∥CD时，四边形PDCQ是平行四边形，此时PD＝QC，∴12－2t＝t，∴t＝4s．∴当t＝4s时，PQ∥CD.(2)过点P作PE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，∴DF＝PE＝AB＝8cm.FC＝BC－BF＝BC－AD＝18－12＝6(cm)．①当PQ⊥BC时，则BE＋CE＝18，即2t＋t＝18，∴t＝6；∴P刚好运动到D点，C运动到F点时，△PQC为直角三角形．∴P在CD段运动时不可能出现PQ⊥BC.②当QP⊥PC时，∵DF＝AB＝8cm，CF＝18－12＝6(cm)，∴CD＝＝10cm，易知点P在DC上，此时有△CPQ∽△CFD.∴＝，即＝.解得t＝.③当PC⊥BC时，∵∠DCB<90°，∴此种情形不存在．∴当t＝6s或s时，△PQC是直角三角形．10\n10
