圆的有关计算及证明本专项主要以圆为背景，考查线段、角、弧长等有关的计算，常与三角形、四边形等简单几何图形综合考查，属于中档题．且近两年的安徽中考对圆的考查有加强的态势，分值较大，复习时应予以重视．类型1 圆中有关角、线段、垂径定理的计算1．(2022·眉山)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO＝45°，则∠B的度数为( )A．30°B．35°C．40°D．45°2．(2022·酒泉)△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是( )A．80°B．160°C．100°D．80°或100°3．(2022·南通)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为( )A．2.5B．2.8C．3D．3.24．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交于D.(1)请写出四个不同类型的正确结论；(2)若BC＝8，ED＝2，求⊙O的半径．5．(2022·安徽)在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.(1)如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；8\n(2)如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．6．(2022·永州)如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD.(1)求证：BE＝CE；(2)试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；(3)若BC＝8，AD＝10，求CD的长．7．(2022·德州)如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.(1)判断△ABC的形状：__________；(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；8\n(3)当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．类型2 圆中弧长与扇形面积的计算1．(2022·福建)在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是( )A．πB．2πC．4πD．6π2．(2022·西宁)如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆交AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是( )A.π－1B.π－2C．π－2D．π－1 3．(2022·咸宁)如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，以AB的中点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在EF上，设∠BDF＝α(0°＜α＜90°)，当α由小到大变化时，图中阴影部分的面积( )A．由小到大B．由大到小C．不变D．先由小到大，后由大到小4．(2022·南通)如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB＝60°.(1)求∠P的度数；8\n(2)若⊙O的半径长为4cm，求图中阴影部分的面积．5．(2022·随州)如图，射线PA切⊙O于点A，连接PO.(1)在PO的上方作射线PC，使∠OPC＝∠OPA(用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法)，并证明：PC是⊙O的切线；(2)在(1)的条件下，若PC切⊙O于点B，AB＝AP＝4，求的长．6．(2022·吉林)如图1，半径为R，圆心角为n°的扇形面积是S扇形＝，由弧长l＝，得S扇形＝＝··R＝lR.通过观察，我们发现S扇形＝lR类似于S三角形＝×底×高．类比扇形，我们探索扇环(如图2，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分叫作扇环)的面积公式及其应用．(1)设扇环的面积为S扇环，的长为l1，的长为l2，线段AD的长为h(即两个同心圆半径R与r的差)．类比S梯形＝×(上底＋下底)×高，用含l1，l2，h的代数式表示S扇环，并证明；8\n(2)用一段长为40m的篱笆围成一个如图2所示的扇环形花园，线段AD的长h为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？8\n参考答案类型11．D 2.D 3.B 4.(1)不同类型的正确结论有：①BE＝CE；②＝；③∠BED＝90°；④∠BOD＝∠A；⑤AC∥OD；⑥AC⊥BC；⑦OE2＋BE2＝OB2；⑧S△ABC＝BC·OE；⑨△BOD是等腰三角形；⑩△BOE∽△BAC等等．(2)∵OD⊥BC，∴BE＝CE＝BC＝4.设⊙O的半径为R，则OE＝OD－DE＝R－2.在Rt△OEB中，由勾股定理得OE2＋BE2＝OB2，即(R－2)2＋42＝R2.解得R＝5.∴⊙O的半径为5. 5.(1)连接OQ.∵PQ⊥OP，∴∠QPO＝90°.∵PQ∥AB，∴∠POB＝90°.∵直径AB＝6，∠ABC＝30°，∴OP＝.∴PQ＝＝.(2)点P在BC上移动，要使PQ最大，则必须OP最小．根据垂线段最短得当BC⊥OP时OP最小．由sin∠OBP＝得，＝，即OP＝.∴PQmax＝＝. 6.(1)证明：∵AD是直径，∴∠ABD＝∠ACD＝90°.在Rt△ABD和Rt△ACD中，∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)．∴∠BAD＝∠CAD.∵AB＝AC，∴BE＝CE.(2)四边形BFCD是菱形．理由：∵AD是直径，AB＝AC，∴AD⊥BC，BE＝CE.∵CF∥BD，∴∠FCE＝∠DBE.在△BED和△CEF中，∴△BED≌△CEF(ASA)．∴CF＝BD.∴四边形BFCD是平行四边形．8\n∵∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD.∴四边形BFCD是菱形．(3)∵AD是直径，AD⊥BC，BE＝CE，由△CED∽△AEC得∴CE2＝DE·AE.设DE＝x，∵BC＝8，AD＝10，∴42＝x(10－x)．解得x＝2或x＝8(舍去)．在Rt△CED中，CD＝＝＝2. 7.(1)等边三角形 (2)在PC上截取PD＝AP，连接AD.又∵∠APC＝60°，∴△APD是等边三角形．∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°.∴∠ADC＝120°.又∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°，∴∠ADC＝∠APB.在△APB和△ADC中，∴△APB≌△ADC(AAS)．∴BP＝CD.又∵PD＝AP，∴CP＝BP＋AP.(3)当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由：过点P作PE⊥AB，垂足为E.过点C作CF⊥AB，垂足为F.∵S△APE＝AB·PE，S△ABC＝AB·CF，∴S四边形APBC＝AB·(PE＋CF)．当点P为的中点时，PE＋CF＝PC，PC为⊙O的直径，此时四边形APBC的面积最大．又∵⊙O的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB＝.∴S四边形APBC＝×2×＝.类型21．B 2.D 3.C 4.(1)连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP.∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠C＝120°，∴∠P＝360°－(90°＋90°＋120°)＝60°.8\n∴∠P＝60°.(2)连接OP.∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠APO＝∠APB＝30°.在Rt△APO中，tan30°＝，∴AP＝＝＝4(cm)．∴S阴影＝2(S△AOP－S扇形)＝2×(×4×4－)＝(16－)(cm2)． 5.(1)作图如图．连接OA，过O作OB⊥PC.∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA.又∵∠OPC＝∠OPA，OB⊥PC，∴OA＝OB，即d＝r.∴PC是⊙O的切线．(2)∵PA、PC是⊙O的切线，∴PA＝PB.又∵AB＝AP＝4，∴△PAB是等边三角形．∴∠APB＝60°.∴∠AOB＝120°，∠POA＝60°.在Rt△AOP中，tan60°＝，∴OA＝.∴l＝＝π. 6.(1)S扇环＝(l1＋l2)h，证明：设大扇形半径为R，小扇形半径为r，圆心角度数为n，则由l＝，得R＝，r＝，∴图中扇环的面积S＝×l1×R－×l2×r＝l1·－l2·＝(l－l)＝(l1＋l2)(l1－l2)＝··(R－r)(l1＋l2)＝(l1＋l2)(R－r)＝(l1＋l2)h，故猜想正确．(2)根据题意得：l1＋l2＝40－2h，则S扇环＝(l1＋l2)h＝(40－2h)h＝－h2＋20h＝－(h－10)2＋100.∵－1＜0，∴开口向下，S有最大值，当h＝10时，S最大值是100.所以线段AD的长h为10m时，花园的面积最大，最大面积是100m2.8
