新定义运算、新概念问题新定义运算、新概念问题一般是介绍新定义、新概念，然后利用新定义、新概念解题，其解题步骤一般都可分为以下几步：1.阅读定义或概念，并理解；2.总结信息，建立数模；3.解决数模，回顾检查． (2022·自贡)观察下表：序号123…图形x xyx xx x xy yx x xy yx x xx x x xy y yx x x xy y yx x x xy y yx x x x… 我们把某格中字母和所得到的多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为4x＋y.回答下列问题：(1)第3格的“特征多项式”为________，第4格的“特征多项式”为__________，第n格的“特征多项式”为________________；(2)若第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16.①求x，y的值；②在此条件下，第n个特征多项式是否有最小值？若有，求出最小值和相应的n值．若没有，请说明理由．【思路点拨】 (1)抓住x、y的排列规律；x在第n格是按(n＋1)排，每排是(n＋1)个x来排列的；y在第n格是按n排，每排是n个y来排列的，根据这个规律即可得解；(2)①按排列规律得出“特征多项式”以及提供的相应的值，联立成二元一次方程组来解，可求出x、y的值；②求最小值可以通过建立一个二次函数来解决；前面我们写出了第n格的“特征多项式”，求出了x、y的值，所以可以建立最小值关于n的二次函数，根据二次函数的最小值性质便可求得．【解答】 (1)16x＋9y 25x＋16y (n＋1)2x＋n2y(n为正整数)(2)①依题意，得解得②设最小值为W，依题意得：W＝(n＋1)2x＋n2y＝－(n＋1)2＋n2＝n2－n－＝(n－12)2－.即有最小值为－，相应的n的值为12.这类题首先要读懂题目中的新概念或定义，然后将新概念的问题与原有的知识结合，利用原有的知识解决问题，其实就是“披了一件新外衣”，解决方法还是用原来的知识点． 1．(2022·德阳)已知m＝x＋1，n＝－x＋2，若规定y＝则y的最小值为()A．0B．1C．－1D．22．(2022·宜宾)在平面直角坐标系中，任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)规定运算：①AB＝(x1＋x2，y1＋y2)；②AB＝x1x2＋y1y2；③当x1＝x2且y1＝y2时，A＝B.有下列四个命题：(1)若A(1，2)，B(2，－1)，则AB＝(3，1)，AB＝0；3\n(2)若AB＝BC，则A＝C；(3)若AB＝BC，则A＝C；(4)对任意点A、B、C，均有(AB)C＝A(BC)成立．其中正确命题的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个3．(2022·宜宾)对于实数a、b，定义一种运算“”为：ab＝a2＋ab－2，有下列命题：①13＝2；②方程x1＝0的根为x1＝－2，x2＝1；③不等式组的解集为－1＜x＜4；④点(，)在函数y＝x(－1)的图象上．其中正确的是()A．①②③④B．①③C．①②③D．③④4．(2022·达州)对于任意实数m、n，定义一种运算m※n＝mn－m－n＋3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：3※5＝3×5－3－5＋3＝10.请根据上述定义解决问题：若a＜2※x＜7，且解集中有两个整数解，则a的取值范围是________．5．(2022·乐山)在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y′)，给出如下定义：若y′＝则称点Q为点P的“可控变点”．例如：点(1，2)的“可控变点”为点(1，2)，点(－1，3)的“可控变点”为点(－1，－3)．(1)若点(－1，－2)是一次函数y＝x＋3图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为________；(2)若点P在函数y＝－x2＋16(－5≤x≤a)的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是－16≤y′≤16，则实数a的取值范围是________．6．(2022·宜宾)规定：sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，sin(x＋y)＝sinx·cosy＋cosx·siny.据此判断下列等式成立的是________(写出所有正确的序号)．①cos(－60°)＝－；②sin75°＝；③sin2x＝2sinx·cosx；④sin(x－y)＝sinx·cosy－cosx·siny.7．(2022·乐山)对于平面直角坐标系中任意两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，称|x1－x2|＋|y1－y2|为P1、P2两点的直角距离，记作：d(P1，P2)．若P0(x0，y0)是一定点，Q(x，y)是直线y＝kx＋b上的一动点，称d(P0，Q)的最小值为P0到直线y＝kx＋b的直角距离．令P0(2，－3)．O为坐标原点．则：(1)d(O，P0)＝________；(2)若P(a，－3)到直线y＝x＋1的直角距离为6，则a＝________．8．(2022·资阳)已知抛物线p：y＝ax2＋bx＋c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点(点A在点B左侧)，点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y＝x2＋2x＋1和y＝2x＋2，则这条抛物线的解析式为____________．9．(2022·乐山)对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x>，即当n为非负整数时，若n－≤x<n＋，则<x>＝n，如<0.46>＝0，<3.67>＝4，给出下列关于<x>的结论：①<1.493>＝1；②<2x>＝2<x>；③若<x－1>＝4，则实数x的取值范围是9≤x<11；④当x≥0，m为非负整数时，有<m＋2013x>＝m＋<2013x>；⑤<x＋y>＝<x>＋<y>.其中，正确的结论有________(填写所有正确的序号)．10．(2022·成都)若正整数n使得在计算n＋(n＋1)＋(n＋2)的过程中，各数位均不产生进位现象，3\n则称n为“本位数”．例如2和30是“本位数”，而5和91不是“本位数”．现从所有大于0且小于100的“本位数”中，随机抽取一个数，抽到偶数的概率为________．11．(2022·成都)如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是________．(写出所有正确说法的序号)①方程x2－x－2＝0是倍根方程；②若(x－2)(mx＋n)＝0是倍根方程，则4m2＋5mn＋n2＝0；③若点(p，q)在反比例函数y＝的图象上，则关于x的方程px2＋3x＋q＝0是倍根方程；④若方程ax2＋bx＋c＝0是倍根方程，且相异两点M(1＋t，s)，N(4－t，s)都在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个根为.参考答案1．B 2.C 3.C 4.4≤a＜5 5.(1)(－1，2) (2)0≤a≤4 6.②③④7．(1)5 (2)2或－10 8.y＝x2－2x－3 9.①③④ 10. 11.②③3
