几何图形中的动点问题 (2022·遵义)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，动点M、N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A、B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM、PN，设移动时间为t(单位：秒，0<t<2.5)．(1)当t为何值时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似？(2)是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】 (1)根据勾股定理求得AB＝5cm，分类讨论：△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC两种情况，利用相似三角形的对应边成比例来求t的值．(2)过点P作PH⊥BC于点H，由平行线分线段成比例求得用t表示的PH的值；然后根据“S＝S△ABC－S△BPN”列出S与t的关系式，再由二次函数最值的求法即可得到S的最小值．【解答】 (1)∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，∴根据勾股定理，得AB＝＝5cm.以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：①当△AMP∽△ABC时，＝，即＝，解得t＝；②当△APM∽△ABC时，＝，即＝，解得t＝0(不合题意，舍去)．综上所述，当t＝时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似．(2)存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下：假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．过点P作PH⊥BC于点H，则PH∥AC，∴＝，即＝.∴PH＝t.∴S＝S△ABC－S△BPN＝×3×4－×(3－t)·t＝(t－)2＋(0<t<2.5)．8\n∵>0，∴S有最小值．当t＝时，S最小值＝.综上所述：当t＝时，四边形APNC的面积S有最小值，最小值是.贵州中考所考的图形动点问题，均是双动点问题，解决此类点运动引起几何图形变化的问题可以从以下方面入手：①若设问为“当t为何值时，某某结论是否成立”或设问为“是否存在某一时刻t，使结论成立”时，一般是先假设结论成立，然后通过四边形的性质或相似三角形的性质或全等三角形的性质等知识列出关于t的方程，方程有解且求出的t值符合实际意义时，结论成立，否则结论不成立；②若涉及求最值问题，如面积最值，周长最值时，则需将所求最值用含变量的关系式表示出来，列出函数关系式，利用函数的图象性质来解决．1．(2022·贵阳)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD＝3.(1)求MP的值；(2)在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合，当AF等于多少时，△MEF的周长最小？(3)若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ＝2.当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．(计算结果保留根号)2．(2022·烟台)在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．(1)如图1，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF，交于点P，请你写出AE与DF的关系，并说明理由；8\n(2)如图2，当点E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，(1)的结论还成立吗？(请直接回答“是”或“否”，不需证明)(3)如图3，当E、F分别在CD、BC的延长线上移动时，连接AE和DF，(1)的结论还成立吗？请说明理由；(4)如图4，当E、F分别在DC、CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P的运动路径的草图，若AD＝2，试求出线段CP的最小值．3．(2022·武汉)如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0＜t＜2)，连接PQ.(1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值；(2)如图2，连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；(3)试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．8\n4．(2022·广东)如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC与Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AB＝BC＝4cm.(1)填空：AD＝________cm，DC＝________cm；(2)点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A→D，C→B的方向运动，当N点运动到B点时，M，N两点同时停止运动．连接MN，求当M，N点运动了x秒时，点N到AD的距离(用含x的式子表示)；(3)在(2)的条件下，取DC中点P，连接MP，NP，设△PMN的面积为y(cm2)，在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出这个最大值．(参考数据：sin75°＝，sin15°＝)8\n参考答案1．(1)由折叠的性质可知PH＝PD＝3，MH＝CD＝4，∠MHP＝90°，∴MP＝＝5.(2)作点M关于AB所在直线的对称点M′，连M′E与AB交于点F，此时△MEF的周长最小．AM′＝AM＝12－3－5＝4.∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC.∴∠MPE＝∠CEP.又由折叠的性质可知CE＝ME，∠CEP＝∠MEP.∴∠MPE＝∠MEP.∴ME＝MP＝5.∴EC＝5.∴BE＝7.∵AM∥BC，∴＝，即＝.解得AF＝.∴当AF等于时，△MEF的周长最小．(3)在(2)的基础上作M′N平行且等于GQ，连接NE交于AB点Q，连接M′G.此时四边形MEQG的周长最小，最小周长为ME＋GQ＋NE.延长M′N与CB的延长线交于点L.EL＝BE＋BL＝11，NL＝2.∴NE＝＝5.∴ME＋GQ＋NE＝5＋2＋5＝7＋5.∴最小周长为7＋5.2．(1)AE＝DF，AE⊥DF.理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝∠C＝90°.∵DE＝CF，∴△ADE≌△DCF(SAS)．∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF.又∠CDF＋∠ADF＝90°，∴∠DAE＋∠ADF＝90°.∴AE⊥DF.(2)是．(3)成立．8\n理由：由(1)同理可证，AE＝DF，∠DAE＝∠CDF.延长FD交AE于点G，则∠CDF＋∠ADG＝90°，∴∠ADG＋∠DAE＝90°，∴∠AGD＝90°.∴AE⊥DF.(4)由于点P在运动中保持∠APD＝90°，∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，如图所示．设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小．在Rt△ODC中，OC＝＝＝.∴CP＝OC－OP＝－1.3．(1)由题意，得BP＝5tcm，QC＝4tcm，AB＝＝10cm.①当△BPQ∽△BAC时，∴＝.∴＝，∴t＝1；②当△BPQ∽△BCA时，∴＝，∴＝，∴t＝.∴若△BPQ与△ABC相似，则t＝1或t＝.(2)过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则PB＝5t，PM＝3t，MC＝8－4t，∵∠NAC＋∠NCA＝90°，∠PCM＋∠NCA＝90°，∴∠NAC＝∠PCM，且∠ACQ＝∠PMC＝90°.∴△ACQ∽△CMP，8\n∴＝.∴＝，解得t＝.(3)证明：如图3，仍有PM⊥BC于点M，PQ的中点设为D点，再作PE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，∵∠ACB＝90°，∴DF为梯形PECQ的中位线，∴DF＝.∵QC＝4t，PE＝8－BM＝8－4t，∴DF＝＝4.∵BC＝8，过BC的中点R作直线平行于AC，∴RC＝DF＝4成立，∴D在过R的中位线上，∴PQ的中点在△ABC的一条中位线上．4．(1)2 2(2)过点N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC延长线于F，则NE＝DF.∵∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，∴∠NCF＝75°，∠FNC＝15°.∵sin15°＝，NC＝x，sin15°＝，∴FC＝x.∴NE＝DF＝x＋2.∴点N到AD的距离为(x＋2)cm.(3)∵NC＝x，sin75°＝，且sin75°＝，8\n∴FN＝(x)cm.∵PD＝CP＝cm，∴PF＝(x＋)cm.∴y＝(x＋2－x)(x＋2)－(2－x)×－(x＋)(x)．即y＝x2＋x＋2.∴当x＝－＝时，y有最大值为x2＋x＋2＝×()2＋×＋2＝＋2＝＋2＝(cm)．8
