求最短路径问题最短路径问题在四川省的中考中出现的频率很高，这类问题一般与垂线段最短、两点之间线段最短关系密切．类型1 利用“垂线段最短”求最短路径问题 如图所示，AB是一条河流，要铺设管道将河水引到C，D两个用水点，现有两种铺设管道的方案．方案一：分别过C，D作AB的垂线，垂足分别为E，F，沿CE，DF铺设管道；方案二：连接CD交AB于点P，沿PC、PD铺设管道．问：这两种铺设管道的方案中哪一种更节省材料，为什么？【思路点拨】 方案一管道长为CE＋DF，方案二管道长为PC＋PD，利用垂线段最短即可比较出大小．【解答】 按方案一铺设管道更节省材料．理由如下：∵CE⊥AB，DF⊥AB，而AB与CD不垂直，∴根据“垂线段最短”，可知DF＜DP，CE＜CP，∴CE＋DF＜CP＋DP，∴沿CE、DF铺设管道更节省材料．本题易错误的利用两点之间线段最短解决，解答时需要准确识图，找到图形对应的知识点． 1．(2022·保定一模)如图，点A的坐标为(－1，0)，点B(a，a)，当线段AB最短时，点B的坐标为()A．(0，0)B．(，－)C．(－，－)D．(－，－)2．(2022·杭州模拟)在直角坐标系中，点P落在直线x－2y＋6＝0上，O为坐标原点，则|OP|的最小值为()A.B．3C.D.3．(2022·内江)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A(13，0)，直线y＝kx－3k＋4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为________．9\n4．(2022·碑林区期中)如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；(2)计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．9\n类型2 利用“两点之间线段最短”求最短路径问题 (2022·乐陵模拟)(1)如图1，直线同侧有两点A，B，在直线MN上求一点C，使它到A、B之和最小；(保留作图痕迹不写作法)(2)知识拓展：如图2，点P在∠AOB内部，试在OA、OB上分别找出两点E、F，使△PEF周长最短；(保留作图痕迹不写作法)(3)解决问题：①如图3，在五边形ABCDE中，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN周长最小；(保留作图痕迹不写作法)②若∠BAE＝125°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，∠AMN＋∠ANM的度数为________．【思路点拨】 (1)根据两点之间线段最短，作A关于直线MN的对称点E，连接BE交直线MN于C，即可解决；(2)作P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD交OA、OB于E、F，此时△PEF周长有最小值；(3)①取点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N，PQ的长度即为△AMN的周长最小值；②根据三角形的内角和等于180°求出∠P＋∠Q，再根据三角形的外角以及三角形内角和知识运用整体思想解决．【解答】 (1)作A关于直线MN的对称点E，连接BE交直线MN于C，连接AC，BC，则此时C点符合要求． 图1 图2图3(2)作图如图．(3)①作图如图．②∵∠BAE＝125°，∴∠P＋∠Q＝180°－125°＝55°.∵∠AMN＝∠P＋∠PAM＝2∠P，∠ANM＝∠Q＋∠QAN＝2∠Q，∴∠AMN＋∠ANM＝2(∠P＋∠Q)＝2×55°＝110°.“两点(直线同侧)一线型”在直线上求一点到两点的和最短时，利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点与直线的交点就是所求的点；“一点两线型”求三角形周长最短问题，作点关于两直线的对称点，连接两个对称点与两直线分别有两个交点，顺次连接所给的点与两交点即可得三角形；“两点两线型”求四边形的周长最短类比“一点两线型”即可． 1．(2022·内江)如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，则这个最小值为()9\nA.B．2C．2D. 2．(2022·遵义)如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为()A．50°B．60°C．70°D．80°3．(2022·攀枝花)如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE＋DE的最小值为________．4．(2022·鄂州)如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP＝6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为________． 5．(2022·凉山)菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E(0，－1)，当EP＋BP最短时，点P的坐标为____________．6．(2022·广元改编)如图，已知抛物线y＝－(x＋2)(x－m)(m＞0)与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．(1)若抛物线过点G(2，2)，求实数m的值；9\n(2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使AH＋CH最小，并求出点H的坐标．7．(2022·成都改编)如图，一次函数y＝－x＋4的图象与反比例y＝(k为常数，且k≠0)的图象交于A，B两点．在x轴上找一点P，使PA＋PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．8．如图所示，已知点A是半圆上的三等分点，B是的中点，P是直径MN上的一动点，⊙O的半径为1，请问：P在MN上什么位置时，AP＋BP的值最小？并给出AP＋BP的最小值．9．(2022·达州)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A(0，4)、C(5，0)，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象抛物线经过A，C两点．(1)求该二次函数的表达式；(2)F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值；9\n(3)抛物线上是否在点P，使△ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．9\n参考答案类型1 利用“垂线段最短”求最短路径问题1．D 2.C 3.24 提示：∵直线y＝kx－3k＋4必过点D(3，4)，∴当BC过点D且BC⊥OD时最小．∵点D的坐标是(3，4)，∴OD＝5.∵OB＝OA＝13，∴根据勾股定理可得BD＝12.∴BC的长的最小值为24. 4.(1)∵两点之间线段最短，∴连接AD，BC交于H，则H为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小．(2)过H作HG⊥EF，垂足为G.则沿HG开渠最短，根据垂线段最短．类型2 利用“两点之间线段最短”求最短路径问题1．B 2.D 3. 提示：作B关于AC的对称点B′，连接AD、AB′、BB′、B′D，交AC于E，此时BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE＋ED的最小值，∵B、B′关于AC对称，∴AC、BB′互相垂直平分．∴四边形ABCB′是平行四边形．∵三角形ABC是边长为2，∵D为BC的中点，∴AD⊥BC.∴AD＝，BD＝CD＝1，BB′＝2AD＝2，作B′G⊥BC的延长线于G，∴B′G＝AD＝，在Rt△B′BG中，BG＝＝＝3.∴DG＝BG－BD＝3－1＝2.在Rt△B′DG中，B′D＝＝＝.故BE＋ED的最小值为.4.36－54 5.(2－3，2－) 6.(1)抛物线过点G(2，2)时，－(2＋2)(2－m)＝2，即m＝4.(2)∵m＝4，∴y＝－(x＋2)(x－4)．令y＝0，则－(x＋2)(x－4)＝0，解得x1＝－2，x2＝4.∴A(－2，0)，B(4，0)．∴抛物线对称轴为直线x＝＝1.令x＝0，则y＝2，∴C(0，2)．∵B点与A点关于对称轴对称，∴连接BC，BC与对称轴的交点便为所求点H.∵B(4，0)，C(0，2)，∴求得线段BC所在直线为y＝－x＋2.当x＝1时，y＝，∴H(1，)． 9\n7.联立解得或∴A(1，3)，B(3，1)．B点关于x轴的对称点B′坐标为(3，－1)，连接AB′交x轴于点P′，连接BP′.设直线AB′为y＝kx＋b，联立得解得∴y＝－2x＋5.令y＝0，得x＝.∴P′(，0)．即满足条件的P的坐标为(，0)． 8.作A关于MN的对称点A′，根据圆的对称性，则A′必在圆上，连接BA′交MN于P，连接PA，则PA＋PB最小，此时PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B.连接OA、OA′、OB，∵＝，∴∠AON＝∠A′ON＝60°.∵＝，∴∠BON＝∠AON＝30°.∴∠A′OB＝90°.∴A′B＝＝＝，即AP＋BP的最小值是. 9.(1)将A(0，4)、C(5，0)代入二次函数y＝x2＋bx＋c，得解得∴二次函数的表达式y＝x2－x＋4.(2)延长EC至E′，使E′C＝EC，延长DA至D′，使D′A＝DA，连接D′E′，交x轴于F点，交y轴于G点，连接DG，EF，DE，GD＝GD′，EF＝E′F，(DG＋GF＋EF＋ED)最小＝D′E′＋DE，由E点坐标为(5，2)，D(4，4)，得D′(－4，4)，E′(5，－2)．由勾股定理，得DE＝＝，D′E′＝＝3，9\n∴(DG＋GF＋EF＋ED)最小＝D′E′＋DE＝3＋，即四边形DEFG周长的最小值为3＋.(3)如下图：OD＝＝4.∵S△ODP＝12.∴点P到OD的距离＝＝＝3.过点O作OF⊥OD，取OF＝3，过点F作直线FG∥OD，交y轴于G点，交抛物线于点P1，P2，在Rt△OGF中，OG＝＝＝6.∴直线GF的解析式为y＝x－6.将y＝x－6代入y＝x2－x＋4得：x－6＝x2－x＋4.解得x1＝，x2＝.将x1，x2的值代入y＝x－6得：y1＝，y2＝.∴点P1(，)，P2(，)．如下图所示：过点O作OF⊥OD，取OF＝3，过点F作直线FG，交y轴于G点，交抛物线于P3，P4，在Rt△GFO中，OG＝＝6.∴直线FG的解析式为y＝x＋6.将y＝x＋6代入y＝x2－x＋4得：x＋6＝x2－x＋4.解得x1＝，x2＝.y1＝x1＋6＝，y2＝x2＋6＝，∴P3(，)，P4(，)．综上所述：点P的坐标为(，)或(，)或(，)或(，)．9
