图形的折叠问题折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．类型1 三角形中的折叠问题 (2022·宜宾)如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB.若C(，)，则该一次函数的解析式为________．【思路点拨】 利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出CO，AO的长，进而得出A、B两点的坐标，再利用待定系数法求出直线AB的解析式．【解答】 连接OC，过点C作CD⊥x轴于点D，∵将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB，C(，)，∴AO＝AC，OD＝，DC＝，BO＝BC，则tan∠COD＝＝，故∠COD＝30°，∠BOC＝60°，∴△BOC是等边三角形，且∠CAD＝60°.则sin60°＝，则AC＝＝1，故A(1，0)，sin30°＝＝＝.则CO＝，故BO＝，B点坐标为(0，)，设直线AB的解析式为y＝kx＋，把A(1，0)代入解析式可得k＝－.∴直线AB的解析式为y＝－x＋.折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．1．(2022·绵阳)如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD∶DB＝1∶2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE∶CF＝（） 7\nA.B.C.D.2．(2022·德阳)如图，△ABC中，∠A＝60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DE的度数为________． 3．(2022·宜宾)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝________．4．(2022·滨州)如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上)，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为(10，8)，则点E的坐标为________．类型2 四边形及其他图形中的折叠问题 (2022·南充)如图，在矩形纸片ABCD中，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP＞AM)，点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．(1)判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)(2)如果AM＝1，sin∠DMF＝，求AB的长．【思路点拨】 (1)由矩形的性质得∠A＝∠B＝∠C＝90°，由折叠的性质和等角的余角相等，可得∠BPQ＝∠AMP＝∠DQC，所以△AMP∽△BPQ∽△CQD；(2)设AP＝x，由折叠关系可得：BP＝AP＝EP＝x，AB＝DC＝2x，AM＝1，根据△AMP∽△BPQ得：＝，7\n即BQ＝x2，根据△AMP∽△CQD得：＝，即CQ＝2，从而得出AD＝BC＝BQ＋CQ＝x2＋2，MD＝AD－AM＝x2＋2－1＝x2＋1，根据Rt△FDM中∠DMF的正弦值得出x的值，从而求出AB的值．【解答】 (1)有三对相似三角形，即△AMP∽△BPQ∽△CQD.理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°.根据折叠可知：∠APM＝∠EPM，∠EPQ＝∠BPQ，∴∠APM＋∠BPQ＝∠EPM＋∠EPQ＝90°.∵∠APM＋∠AMP＝90°，∴∠BPQ＝∠AMP，∴△AMP∽△BPQ，同理：△BPQ∽△CQD.∴△AMP∽△BPQ∽△CQD.(2)设AP＝x，∴由折叠关系，BP＝AP＝EP＝x，AB＝DC＝2x.由△AMP∽△BPQ得，＝，即＝，得BQ＝x2.由△AMP∽△CQD得，＝，即＝，得CQ＝2.∴AD＝BC＝BQ＋CQ＝x2＋2.∴MD＝AD－1＝x2＋1.∵在Rt△FDM中，sin∠DMF＝，∴＝.解得x1＝3，x2＝(不合题意，舍去)．即AB＝6.矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数． 1．(2022·南充)如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12B．24C．12D．162．(2022·泸州)如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝24，tanC＝2，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为（）7\nA．13B.C.D．123．(2022·德阳)将抛物线y＝－x2＋2x＋3在x轴上方的部分沿x轴翻折至x轴下方，图象的剩余部分不变，得到一个新的函数图象，那么直线y＝x＋b与此新图象的交点个数的情况有（）A．6种B．5种C．4种D．3种4．(2022·成都)如图，在□ABCD中，AB＝，AD＝4，将ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为________．5．(2022·内江)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角(∠D，∠C)向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD＝2，BC＝3，则EF的长为________．6．(2022·南充)如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝17，将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边的A′处，折痕所在直线同时经过边AB、AD(包括端点)，设BA′＝x，则x的取值范围是________．7．(2022·绵阳)如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，将矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE.(1)求证：△DEC≌△EDA；(2)求DF的值；7\n(3)如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其顶点Q落在线段AE上，顶点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．7\n参考答案类型1 三角形中的折叠问题1．B 提示：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.又∵折叠△ABC，使得点C恰好与边AB上的点D重合，折痕为EF，∴∠EDF＝∠C＝60°，CE＝DE，CF＝DF.∴∠ADE＋∠FDB＝120°.∴∠AED＝∠FDB.∴△AED∽△BDF.∴＝＝.设等边△ABC边长为6个单位，CE＝x，CF＝y，AE＝6－x，BC＝6－y，∴＝＝，解得x＝，y＝.∴x∶y＝4∶5，故选择B.2.65° 3.1.5 4.(10，3)类型2 四边形及其他图形中的折叠问题1．D 2.A 3.B 提示：由题意，易知y＝－x2＋2x＋3与x轴的两个交点坐标分别为(3，0)和(－1，0)，顶点坐标为(1，4)，顶点关于x轴对称点的坐标为(1，－4)．当直线y＝x＋b过(－1，0)时，b＝1，此时直线与新的函数图象只有一个交点；当b>1时，此时直线与新的函数图象无交点；当直线y＝x＋b过(3，0)时，b＝－3，此时直线与新的函数图象有三个交点；观察图象，易知：当－3<b<1时，此时直线与新的函数图象有三个交点；当直线y＝x＋b过(1，－4)时，b＝－5，此时直线与新的函数图象有三个交点；观察图象，易知：当－5≤b<－3时，此时直线与新的函数图象有四个交点；观察图象，易知：当b<－5时，此时直线与新的函数图象有二个交点；综上，直线y＝x＋b与此新图象的交点的个数的情况有5种，故选B. 4.3 5. 提示：作AH⊥BC于H.∵分别以AE，BE为折痕将两个角(∠D，∠C)向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处，∴DE＝EF，CE＝EF，AF＝AD＝2，BF＝CB＝3.∴DC＝2EF，AB＝5.∵AD∥BC，∠C＝90°，∴四边形ADCH为矩形，∴AH＝DC＝2EF，HB＝BC－CH＝BC－AD＝1.在Rt△ABH中，AH＝＝2，∴EF＝. 6.2≤x≤8 7.(1)证明：由矩形的性质可知△ADC≌△CEA，∴AD＝CE，DC＝EA，∠ACD＝∠CAE.在△CED与△ADE中，∴△DEC≌△EDA.(2)∵∠ACD＝∠CAE，∴AF＝CF.设DF＝x，则AF＝CF＝4－x，在Rt△ADF中，AD2＋DF2＝AF2，即32＋x2＝(4－x)2，解得x＝，即DF＝.(3)由矩形PQMN的性质得PQ∥CA，∴＝.又∵CE＝3，AC＝＝5.设PE＝x(0＜x＜3)，则＝，即PQ＝x.过E作EG⊥AC于G，则PN∥EG，∴＝.7\n又∵在Rt△AEC中，EG·AC＝AE·CE，解得EG＝.∴＝，即PN＝(3－x)．设矩形PQMN的面积为S，则S＝PQ·PN＝－x2＋4x＝－(x－)2＋3(0＜x＜3)．∴当x＝，即PE＝时，矩形PQMN的面积最大，最大面积为3.7
