反比例函数的综合本专题是对一次函数与反比例函数、反比例函数与几何图形的综合的深化．解决这类问题首先要理清头绪，挖掘题目中的隐含条件，还要善于利用函数图象，运用数形结合思想，列出相应的关系式，然后根据函数的相关性质求解．类型1 反比例函数与几何图形相结合 (2022·柳州)如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F是AB上的一个动点(F不与A，B重合)，过点F的反比例函数y＝(k>0)的图象与BC边交于点E.(1)当F为AB的中点时，求该函数的解析式；(2)当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？【思路点拨】 (1)由F为矩形OABC中AB中点得F(3，1)，反比例函数过点F，则可求反比例函数的解析式；(2)设点E的坐标为(e，2)，点F的坐标为(3，f)，由y＝过E(e，2)与F(3，f)，可得e＝，f＝，即CE＝，AF＝，从而可求△EFA面积为－(k－3)2＋，再利用二次函数的最值可求解．【解答】 (1)∵四边形OABC是矩形，OA＝3，OC＝2，∴AB＝2，BC＝3.∵F为AB中点，∴AF＝1，∴F(3，1)．∵y＝过点F(3，1)，∴k＝3×1＝3，∴y＝.(2)设点E的坐标为(e，2)，点F的坐标为(3，f)，∵y＝过E(e，2)与F(3，f)，∴e＝，f＝，S△AEF＝f(3－e)＝××(3－)＝－k2＋k＝－(k－3)2＋.∵k＝－＜0，∴当k＝3时，△EFA面积最大，最大面积为.本题是反比例函数与几何图形的综合题，由矩形的边长确定点的坐标，再由坐标求反比例的解析式；点在反比例函数上，则可用坐标表示图形的边长，从而求图形的面积．1．如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG的顶点F的坐标为(4，2)，将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴上，得到矩形OMNP，OM与GF相交于点A.若经过点A的反比例函数y＝(x>0)的图象交EF于点B，则点B的坐标为________．4\n2．(2022·柳州模拟)双曲线y1＝、y2＝在第一象限的图象如图，过y2上的任意一点A，作x轴的平行线交y1于B，交y轴于C，过A作x轴的垂线交y1于点D，交x轴于点E，连接BD，CE，则的值是________．3．(2022·玉林)如图，OABC是平行四边形，对角线OB在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y＝和y＝的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论：①＝；②阴影部分面积是(k1＋k2)；③当∠AOC＝90°时，|k1|＝|k2|；④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．其中正确的结论是________(把所有正确的结论的序号都填上)．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线y＝的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E.(1)填空：双曲线的另一支在第________象限，k的取值范围是________；(2)若点C的坐标为(2，2)，当点E在什么位置时，阴影部分的面积S最小？4\n(3)若＝，S△OAC＝2，求双曲线的解析式．类型2 反比例函数与一次函数的综合运用1．(2022·菏泽)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(1，0)，与反比例函数y＝(x＞0)的图象相交于点B(2，1)．(1)求m的值和一次函数的解析式；(2)结合图象直接写出：当x＞0时，不等式kx＋b＞的解集．2．(2022·安徽)如图，已知反比例函数y＝与一次函数y＝k2x＋b的图象交于点A(1，8)、B(－4，m)．(1)求k1、k2、b的值；(2)求△AOB的面积；(3)若M(x1，y1)、N(x2，y2)是比例函数y＝图象上的两点，且x1＜x2，y1＜y2，指出点M、N各位于哪个象限，并简要说明理由．4\n参考答案类型11．(4，) 2. 3.①④ 4.(1)三 k>0 (2)∵梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，而点C的坐标为(2，2)，∴A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为(2，0)．把y＝2代入y＝得x＝；把x＝2代入y＝得y＝，∴A点的坐标为(，2)，E点的坐标为(2，)．∴S阴影＝S△ACE＋S△OBE＝×(2－)×(2－)＋×2×＝k2－k＋2＝(k－2)2＋.当k＝2时，S阴影最小，最小值为.∴E点的坐标为(2，1)，即E点为BC的中点．∴当点E为BC的中点时，阴影部分的面积S最小．(3)设D点坐标为(a，)，∵＝，∴OD＝DC，即D点为OC的中点．∴C点坐标为(2a，)．∴A点的纵坐标为.把y＝代入y＝得x＝，∴A点坐标为(，)．∵S△OAC＝2，∴×(2a－)×＝2，∴k＝.∴双曲线解析式为y＝.类型21．(1)把点B(2，1)代入y＝，得m＝1×2＝2.∵一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(1，0)，B(2，1)，∴解得∴一次函数的解析式为y＝x－1.(2)x＞2. 2.(1)把A(1，8)，B(－4，m)分别代入y＝，得k1＝8，m＝－2.∵A(1，8)，B(－4，－2)在y＝k2x＋b图象上，∴解得∴y＝2x＋6.(2)设直线y＝2x＋6与x轴交于点C，当y＝0时，x＝－3，∴OC＝3.∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×3×8＋×3×2＝15.(3)点M在第三象限，点N在第一象限．①若x1<x2<0，点M、N在第三象限分支上，则y1>y2，不合题意；②若0<x1<x2，点M、N在第一象限分支上，则y1>y2，不合题意；③若x1<0<x2，点M在第三象限，点N在第一象限，则y1<0<y2，符合题意．4
