规律探索题类型一 探索图形排列规律针对演练1.（2022崇左）下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第4个图形中所有正三角形的个数有()第1题图A.160B.161C.162D.1632.（2022绵阳）将一些相同的“O”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“O”的个数，若第n个“龟图”中有245个“O”，则n=()第2题图A.14B.15C.16D.173.（2022重庆A卷）下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中第（1）个图形的面积为 2cm2，第（2）个图形的面积为8cm2,第（3）个图形的面积为18cm2，…，则第（10）个图形的面积为()第3题图A.196cm2B.200cm2C.216cm2D.256cm24.如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，如果铺成一个如图②的图案，其中完整的圆共有5个，如果铺设成如图③的图案，其中完整的圆共有13个，如果铺成如图④的图案，其中完整的圆共有25个，以此规律下去，第10个图中，完整的圆共有()\n第4题图A.100个B.101个C.181个D.221个5.如图，某同学在沙滩上用石子摆小房子，观察图形的变化规律，写出第⑨个小房子用的石子总数为()第5题图A.155B.147C.145D.1466.下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第①个图形中面积为1的正方形有9个，第②个图形中面积为1的正方形有14个，…，按此规律，则第⑦个图形中面积为1的正方形的个数为()第6题图A.22B.30C.39D.507.（2022重庆B卷）下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，依此规律，图⑩中黑色正方形的个数是()第7题图A.32B.29C.28D.268.（2022重庆B卷）下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是()\n第8题图A.22B.24C.26D.289.用同样大小的黑色五角星按如图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第13个图案需要的黑色五角星的个数是()第9题图A.20B.21C.22D.2310.如图，下列是由边长为2的等边三角形按照一定规律排列而成，第一个图形的周长为6，第二个图形的周长为8，将若干个等边三角形按照这样的规律来摆放，则第8个图形的周长为()第10题图A.18B.19C.20D.2111.观察下列一组图形，其中图①中共有6个小黑点，图②中共有16个小黑点，图③中共有31个小黑点，…，按此规律，图⑤中小黑点的个数是()第11题图A.46B.51C.61D.7612.（2022内江）如图是由火柴棒搭成的几何图案,则第n个图案中有根火柴棒(用含n的代数式表示).\n第12题图13.(2022昆明)用火柴棒按如图所示的方式摆大小不同的“H”,依此规律,摆出第9个“H”需用火柴棒根.第13题图14.(2022深圳)观察下列图形,它们是按照一定规律排列的,依照此规律,第五个图有个太阳.第14题图15.(2022三明)观察下列图形的构成规律,依照此规律,第10个图形中共有个“●”.第15题图16.（2022山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成.第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图案有10个三角形，…,依此规律，第n个图案有个三角形（用含n的代数式表示）.第16题图\n17.(2022莆田)谢尔宾斯基地毯,最早是由波兰数学家谢尔宾斯基这样制作出来的：把一个正三角形分成全等的4个小正三角形,挖去中间的一个小正三角形;对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法…将这种做法继续进行下去,就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯(如图).若图①中的阴影三角形面积为1,则图⑤中的所有阴影三角形的面积之和是.第17题图18.(2022随州)观察下列图形规律：当n=时,图形中“●”的个数和“△”的个数相等.第18题图【答案】针对演练1.B【解析】第1个图形中正三角形的个数为：1+4，第2个图形中正三角形的个数为：1+4+3×4，第3个图形中正三角形的个数为：1+4+3×4+9×4，…，第n个图形中正三角形的个数为：1+4+3×4+9×4+…+3n-1×4，∴第4个图形中正三角形个数为1+4+3×4+9×4+34-1×4=1+4+12+36+108=161.2.C【解析】设每一个图形中“○”的个数为an，则根据图形变化由图可知，每个图固定有5个“○”，然后在躯干部分“○”在增加，具体见下表:图序图中圈的个数an圈的个数与图序的关系①55+1×0=5+1×(1-1)②75+2×1=5+2×(2-1)③115+3×2=5+3×(3-1)④175+4×3=5+4×(4-1)………2455+n(n-1)由表知，这组图的变化规律为5+n(n-1)，∵第n个图有245个“○”，∴5+n(n-1)=245，解得n=16或n=-15(舍去)，故n=16.3.B【解析】第（1）个图形的面积为1×1×2＝2；第（2）个图形的面积为2×2×2＝8；第（3）个图形的面积为3×3×2＝18；第（4）个图形的面积为4×4×2=32；…；由此规律可以得出每个图形都是由小矩形所组成，共有n×n个小矩形.故第（n）个图形的总面积为n2×2＝2n2.故第（10）个图形的面积为102×2＝200cm2.\n4.C【解析】观察图形可知，第②个图形中，每个小瓷砖有1个完整小圆，小圆的数目是4＝22，而每4个小瓷砖中有一个完整的大圆，大圆个数为1；图③中，小圆有9＝32个，大圆有4＝（3-1）2个；图④中，小圆有16＝42个，大圆有9＝（4-1）2个;∴图⑩中圆的个数等于小圆个数加上大圆个数为102+（10-1）2＝181个.5.C【解析】要找这个小房子的规律，可以分为两部分来看：第一个屋顶是1，第二个屋顶是3，第三个屋顶是6，以此类推，第n个屋顶是.第一个下边是4，第二个下边是9，第三个下边是16，以此类推，第n个下边是（n+1）2.两部分相加即可得出第n个小房子用的石子数是（n+1)2+,代入n=9即可确定答案.所以第⑨个小房子用的石子总数为（9+1）2+=100+45=145.6.C【解析】第①个图形面积为1的小正方形有9个，第②个图形面积为1的小正方形有9+5＝14个，第③个图形面积为1的小正方形有9+5×2＝19个，…第个图形面积为1的小正方形有9+5×（n-1）＝5n+4个，所以第⑦个图形面积为1的小正方形有5×7+4＝39个.7.B【解析】图①有2个黑色正方形；图②有2+3=5个黑色正方形；图③有2+3×2=8个黑色正方形；图④有2+3×3=11个黑色正方形，…，按照这个规律，图⑩一共有2+3×9=29个黑色正方形.8.C【解析】第一个图形中有2个三角形：6×1-4=2；第二个图形中有8个三角形：6×2-4=8；第三个图形中有14个三角形：6×3-4=14；…第n个图形中有三角形的个数为：6n-4.由以上规律可得，第五个图形中有三角形的个数为：6×5-4=26.9.B【解析】当n为奇数时：通过观察发现每个图形的每一行有个,故共有个.当n为偶数时:中间一行有+1个，第一行、第三行有个，故共有+1个.∴当n＝13时，共有＝21个.10.C【解析】第1个图形的周长为6，第2个图形的周长为6+2，第3个图形的周长为6+2×2＝10，第4个图形的周长为6+3×2＝12，所以第8个图形的周长为6+7×2＝20.11.D【解析】由图形①、②、③可以看出，第①个图形小黑点的个数：5×1+1＝6；第②个图形小黑点的个数：5×（1+2）+1＝16；第③个图形小黑点的个数：5×（1+2+3）+1＝31；所以第⑤个图形小黑点的个数：5×（1+2+3+4+5）+1＝76.12.2n(n+1)【解析】由图形规律可得当n=1时，火柴棒个数为4×1=4;当n=2时，火柴棒个数为4×3＝12;当n=3时，火柴棒个数为4×6＝24；依次类推，可得第n个图案中火柴棒个数为×4=2n(n+1).13.29【解析】先从前面三个所需的火柴棒数，得出规律来，再按照规律进行计算.具体见下表：图形序号火柴棒数量图形序号与火柴棒数量的关系第1个5根3×1+2=5第2个8根3×2+2=8第3个11根3×3+2=11………第n个（3n+2）根3×n+2=3n+2\n∴第9个“H”所需的火柴棒的数量为3×9+2=29根.14.21【解析】第一行太阳的个数为1、2、3、4、…、n,第五个图形第一行太阳的个数为5，第二行太阳的个数为1、2、4、8、…、2n-1,第五个图形第二行太阳的个数为24＝16，所以第五个图形共有5+16＝21个太阳.15.111【解析】由图形可知：第1个图形中，“●”的个数为1×2+1＝3，第2个图形中，“●”的个数为2×3+1＝7，第3个图形中，“●”的个数为3×4+1＝13，第4个图形中，“●”的个数为4×5+1＝21，…，所以第n个图形中，“●”的个数为n(n+1)+1，故第10个图形中，“●”的个数为10×11+1＝111.16.3n+1【解析】本题考查图形规律探索.第（1）个图案中小三角形的个数为4个，第（2）个图案中小三角形的个数为7个，第（3)个图案中小三角形的个数为10个，…，依此类推.标序号1234…n小三角形的个数471013……找规律3+16+19+112+1……归纳结果与序数之间的关系1×3＋12×3＋13×3＋14×3＋1…n×3＋1由以上分析可知，第n个图案中有3n+1个小三角形.17.【解析】图②阴影部分面积＝1-＝，图③阴影部分面积＝×＝()2，图④阴影部分面积＝×()2＝()3，图⑤阴影部分面积＝×()3＝()4=.18.5【解析】∵n=1时，“·”的个数是3＝3×1；n=2时，“·”的个数是6＝3×2；n=3时，“·”的个数是9＝3×3；n=4时，“·”的个数是12＝3×4；∴第n个图形中“·”的个数是3n;又∵n=1时，“△”的个数是1＝；n=2时，“△”的个数是3＝；n=3时，“△”的个数是6＝；n=4时，“△”的个数是10＝；∴第n个“△”的个数是;由3n=,可得n2-5n=0,解得n=5或n=0(舍去)，∴当n=5时，图形“·”的个数和“△”的个数相等.\n题型一 规律探索题类型一 探索图形循环规律1.（2022河南）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…，组成一条平滑的曲线.点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2022秒时，点P的坐标是()第1题图A.（2022，0）B.（2022，-1）C.（2022，1）D.（2022，0）2.如图所示,一串梅花图案是按一定规律排列的,请你仔细观察,在前2022个梅花图案中,共有个“”图案.第2题图【答案】针对演练1.B【解析】本题考查直角坐标系中点坐标的规律探索.∵半圆的半径r=1，∴半圆弧长=π，∴第2022秒点P运动的路径长为：×2022，∵×2022÷π=1007…1，∴点P位于第1008个半圆弧的中点上，且这个半圆在x轴的下方，∴此时点P的横坐标为：1008×2-1=2022，纵坐标为-1，∴点P(2022，-1).2.504【解析】每4次梅花图案循环一次，∵2022÷4＝504，∴第2022个梅花图案共有504个“”图案.题型一 规律探索题拓展类型 数式规律针对演练（2022泰安）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：\n第1题图根据此规律确定x的值为()A.135B.170C.209D.2522.(2022安徽)按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x、y、z表示这列数中连续的三个数，猜测x、y、z满足的关系式是.3.(2022郴州)请观察下列等式的规律:=(1-),=(-),=(-),=(-),…则 +++…+=.【答案】针对演练C【解析】本题是一道数字规律题，变化规律如下表;序号第1个第2个第3个第4个…第n个左上角数1234…n左下角数2=1+13=2+14=3+15=4+1…n+1右上角数4=2×1+26=2×2+28=2×3+210=2×4+2…2n+2右下角数9=(1+2)×(1＋2)20=(2+2)×(2＋3)35=(3+2)×(3＋4)54=(4+2)×(4＋5)…(n+2)［n+(n+1)］∴2n+2=20，解得n=9，∴x=(9+2)×(9+9+1)=209.2.xy=z【解析】观察这一列数可得：23=21·22，25=22·23，28=23·25，213=25·28，…，即从第三个数起每个数都等于前两个数之积，由x、y、z表示这列数中的连续三个数，则有xy=z.3.【解析】+++…+=(1-)+(-)+(-)+…+（-)＝(1-+-+-+…+-)＝(1-)＝×＝.\n
