几何图形性质的综合计算针对演练1.如图，在ABCD中，AB=6,AD=9,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE，垂足为G，若BG=4,则△CEF的面积是()A.2B.22C.32D.42第1题图2.四边形ABCD、AEFG都是正方形，当正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°时，如图，连接DG、BE，并延长BE交DG于点H，且BH⊥DG与H.若AB=4，AE=时，则线段BH的长是.第2题图第3题图3.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B.若AB=4，AD=3，AE=3，则AF的长为.4.如图，在平面直角坐标系xOy中，OABC的顶点A，B的坐标分别为（6，0），（7，3），将OABC绕点O逆时针方向旋转得到OA′B′C′，当点C′落在BC的延长线上时，线段OA′交BC于点E，则点E的坐标为.第4题图第5题图5.如图，在菱形ABCD，∠ABC=60°，BD=6，点E在AB上，CE=2，将CE绕点C7\n旋转60°得到线段CF交AD于F，则DF的长为.6.如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F，G是线段BC上一点，连接GE、GF、GM.若△EGF是等腰直角三角形，∠EGF=90°，则AB=.第6题图第7题图7.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、AD边上，且BE=AF,连接CE、BF，它们相交于点G，点H为线段BE的中点，连接GH.若∠EHG=∠DCE，则∠ABF等于度.8.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A,C,D作l的垂线，垂足分别为点E,F,G.若AE=2,CF=6，则CF+AE+DG的值为.第8题图第9题图9.如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF交对角线AC于点G，若BE=BF，∠DFE=2∠BAC，BC=2cm，则△ABC的面积为cm2.10.如图，在平面直角坐标系中，OBCD是正方形，B点的坐标为（2，1），则C点的坐标为.第10题图第11题图11.如图，正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在AC、DC上，若EC=BC，EF⊥BE，BF与AC交于G，则BG与GF的乘积为.12.（2022哈尔滨）如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H，若点H是AC的中点，则的值为.7\n第12题图【答案】针对演练1.B【解析】∵AE平分∠BAD,∴∠DAE=∠BAE,又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,∴∠BEA＝∠DAE＝∠BAE,∴AB=BE=6,∵BG⊥AE,垂足为G,∴AE=2AG,在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6,BG=4,∴AG==2,∴AE=2AG=4,∴S△BEA=AE·BG=×4×4＝8.∵BE=6,BC=AD=9,∴CE=BC-BE=9-6=3,∴BE∶CE=6∶3=2∶1.∵AB∥FC,∴△BEA∽△CEF,∴S△BEA∶S△CEF=(BE∶CE)2=4∶1,则S△CEF=S△BEA=2.2.【解析】连接GE交AD于点N，连接DE，如解图，∵正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°，∴AF与EG互相垂直平分，且AF在AD上，∵AE=，∴AN=GN=1，∴DN=4-1=3，在Rt△DNG中，DG==；由题意可得：△AEB相当于逆时针旋转90°得到△AGD，∴DG=BE=，∵S△DEG=GE·ND=DG·HE，∴HE==，∴BH=BE+HE=+=.第2题解图3.2【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，又∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，在Rt△ADE中，∵AD=3，AE=3，∴DE==6.∵AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF=7\n∠CED，∠B+∠C=180°，∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C，∴△ADF∽△DEC，∴=，∵CD=AB=4，∴AF===2.4.（4,3）【解析】∵OC=OC′，CC′⊥y轴，如解图，设CC′交y轴于点O′，∵A，B的坐标分别为（6，0），（7，3），∴点C到y轴的距离：7-6=1.∴O′C=O′C′=1，O点到CC′的距离是3，∴OC=OC′=，S△OCC′=×2×3=3.过点C作CD⊥OC′于点D.则OC′·CD=3，∴CD=，sin∠COC′==，tan∠COC′=.∵∠COC′+∠COE=∠AOE+∠COE，∴∠COC′=∠AOE，∴tan∠AOE=tan∠COC′=.过点E作EF⊥x轴于点F，则EF=3.∵tan∠AOE=，∴OF==4，∵OF=O′E=4，∴点E的坐标为（4,3）.第4题解图5.2或4【解析】连接AC交BD于点O，如解图所示，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB=OD=BD=3，AB=BC=CD=DA，∵∠ABC=60°，∴△ABC、△ACD是等边三角形，∴AC=AB=CD=AD，∠ACB=∠CAD=∠ACD=60°，∴AB===6，∴CD=AB=6，∵∠ECF=60°，∴∠BCE=∠ACF，在△BCE和△ACF中，，∴△BCE≌△ACF（ASA），∴CE=CF=2.作FG⊥CD于G，设DG=x，则DF=2x，FG=x，CG=6-x，根据勾股定理得：CG2+FG2=CF2，即（6-x）2+（x）2=（2）2，解得：x=1或2，∴2x=2或4，即DF=2或4.7\n第5题解图6.2【解析】∵M是AD的中点，∴AM=MD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠MDF=90°，在△AME和△DMF中，，∴△AME≌△DMF（ASA），∴AE=DF，∵△EGF是等腰直角三角形，∠EGF=90°，∴EG=FG，∠BGE+∠CGF=90°，∵∠CGF+∠CFG=90°，∴∠BGE=∠CFG，在△BEG和△CGF中，,∴△BEG≌△CGF（AAS），∴BG=CF，BE=CG，设BE=x，则AE=DF=AB-x，∵BG=4-x，CF=CD+DF=AB+AB-x，∴4-x=AB+AB-x，解得AB=2.7.36【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠ABC=90°,AB=BC,在△ABF和△BCE中，，∵△ABF≌△BCE(SAS),∴∠ABF=∠BCE,∵∠ABF+∠CBG=90°，∴∠CBG+∠BCE=90°，∴∠BGC=90°,∴∠BGE=90°,∵点H为线段BE的中点，∴GH＝BE=EH=BH,∴∠GEH=∠HGE,∠HBG=∠HGB,∵∠EHG=∠DCE,设∠DCE=3x，则∠EHG＝4x,∵AB∥CD,∴∠HEG=∠DCE=3x,∴∠HGE=3x,∠ABF＝2x,∵在△HGE中，3x+4x+3x=180°，解得：x=18°，∴∠ABF＝36°.8.12【解析】如解图，过点D作DH⊥CF,垂足为H.∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBF+∠FBA=90°，∠CBF+∠BCF=90°，∴∠ABE=∠BCF.在△ABE与△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴AE=BF＝2,∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCF+∠DCH=90°,∠HDC+∠DCH=90°，∴∠BCF=∠HDC,在△BCF和△CDH中，，∴△BCF≌△CDH（AAS），∴CH=BF=2,∴FH=CF-CH=6-2=4.∵CF⊥l,DG⊥l,DH⊥CF,∴∠BFC=∠DHC=∠DGB=90°，∴四边形FHDG是矩形，∴DG=FH=4,即CF+AE+DG=6+2+4=12.7\n第8题解图9.6【解析】如解图，连接BG，在矩形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠GAE=∠GCF，在△AEG和△CFG中，，∴△AEG≌△CFG（AAS），∴AG=CG，GE=GF，∵BE=BF，∴BG⊥EF（等腰三角形三线合一），∵AB∥CD，∴∠DFE=∠BEF，由三角形的外角性质得，∠BEF=∠BAC+∠AGE，∵∠DFE=2∠BAC，∴∠BAC=∠AGE，∴AE=GE，∵AE=CF，GE=GF，∴CF=GF，在Rt△BCF和Rt△BGF中，，∴Rt△BCF≌Rt△BGF（HL），∴BG=BC=2cm，∵AG=CG，∠ABC=90°，∴AC=2BG=2×2=4cm，在Rt△ABC中，AB===6cm，∴△ABC的面积S△ABC=AB·BC=×6×2=6cm2.第9题解图10.(1，3)【解析】如解图，过点B、C分别作x轴的垂线，垂足分别为点E、F,CF交OB于点G；作BH⊥CF于点H.∵B点的坐标为（2，1），∴OB==,∴正方形的边长为5，∵GF⊥OE,BE⊥OE,∴GF∥BE，∴△OGF∽△OBE,∴==2，∵∠GFO=∠CBG=90°,∠OGF=∠CGB，∴△OGF∽△CGB,∴==2，∴BG=BC=,∴G为OB中点，∴GF=BE=,OF=OE=1，在△GOF和△GBH中，，∴△GOF≌△GBH(AAS)，∴GF=GH=,同理可以得出在△CHB中，得出=2,而HB=EF=1,∴CH＝2，∴CF=CH+HF=3,则C点的坐标为（1，3）.7\n第10题解图11.3-4【解析】连接DE，如解图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCA=∠DCA=45°,BC=DC=1，∵EC=BC,∴∠CBE=∠BEC=67.5°,∵EF⊥BE,∴∠CEF=22.5°,∵EC=BC=DC,∴∠DEF=45°,∠EDC=67.5°，∴△EFD是等腰三角形，∴ED＝EF,∴△BEC和△DEC是等腰三角形，且BC=CE=CD,∴BE=ED,∴EB=EF,∴△BEF是等腰直角三角形,∴∠GBC=∠EBC-∠EBF=67.5°-45°＝22.5°＝∠CEF,∵∠EGF=∠BGC,∴△EGF∽△BGC,∴BG·GF=EG·GC,∵CE=AB=CB=1,∴AE=-1=GC,∴EG=EC-GC=2-,∴GE·GC=(-1)(2-)=3-4,∴GB·GF=3-4.第11题解图12.43【解析】∵AD为∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD.∵，∴△EFG≌△EFD(SAS)，∴∠EGD=∠EDF，∵∠BAD+∠ABD=∠ADE,∠GAH+∠AHG=∠EGD，∴∠ABD=∠AHG，∴△ABD∽△AHG，∴=.∵H为AC中点，∴AH=HC,∵4AB=5AC,∴=,∴==，∴=，∴=,∵GF=FD，∴=.7
