易错点15导数中的零点问题一、单选题 ̵1.已知函数 ln ， ̵ 是 的导函数，若关于x的方程 有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是 A. ln B. ln 䁌 C. ln D. ln 䁌 2.设函数 ሻ ，则 零点的个数为A.3B.2C.1D.03.已知函数 e ，要使函数 ݔ ݔ 的零点个数最多，则k的取值范围是A.ݔ.De e ᦙݔ.Ce e 香ݔ.B e 香ݔᦙ e 4.已知函数 满足 ，当 ln ，若在区间 区内，函数 有三个不同零点，则实数a的取值范围是ln ln ln ln ln A. B. C. D. 区 区 区 5.关于函数 lnx，下列说法正确的是 是 的极小值点； 函数 有且只有1个零点； ᦙ 恒成立； 设函数 xf ，若存在区间 ݔ 在 使， ⊂ݔ上的值 区 ln 域是 ݔ ݔ则，ݔ ݔ ݔ． 䁌A. B. C. D. 6.已知函数 满足 ̵ ln ， 当 ᦙ䁌时，下列说法： 只有一个零点 有两个零点 有一个极大值\n其中正确的是A. B. C. D. 7.若函数 lnx 在 䁌 上存在两个极值点，则a的取值范围为 A. B. ∪ C. D. ∪ ̵ 8.已知函数 在R上可导且 䁌 ，其导函数 ̵ 满足ᦙ䁌，对于函数 ，下列结论错误的是 A.函数 在 上为单调递增函数B. 是函数 的极小值点C. 䁌时，不等式 恒成立D.函数 至多有两个零点二、填空题9.已知函数在䁌 内有且只有一个零点，则 在 e 上的最大值与最小值的和为_____． 10.已知函数 ln ，若函数 在䁌 上无零点，则a的最小值 为________． 11.已知 在 䁌 内有且仅有一个零点，当 ݔ时，函 数 的值域是 ǡݔ，则 ǡ ________． ݔ ln 12.已知函数 e ݔ 在 䁌 上存在唯一零点 䁌，则下列说法中正 确的是________ 请将所有正确的序号填在横格上 ݔ ； ݔᦙ ； ሻ 䁌 䁌； e香 䁌香 ．三、解答题 13.已知函数 e 其中 ᦙ䁌，e是自然对数的底数 ．e 当 时，求曲线 在点 䁌 䁌 处的切线方程；\n 若函数 恰好有两个零点，求实数a的取值范围．14.已知函数． 求曲线 在 处的切线方程； 函数 在区间 ݔ ݔ ݔ 上有零点，求k的值； 记函数 ，设 香 是函数 的两个极值点，若 ，且 ݔ恒成立，求实数k的最大值． \n 15.已知函数 lnx 在 处的切线与直线 䁌平行．ax 求实数a的值，并判断函数 的单调性； 若函数 有两个零点 ， ，且 香 ，求证： ᦙ ． 16.已知函数 ln ᦙ䁌 ． Ⅰ 若函数 有零点，求实数a的取值范围； Ⅱ 证明：当 时， ᦙ ．e一、单选题 ̵1.已知函数 ln ， ̵ 是 的导函数，若关于x的方程 有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是 A. ln B. ln 䁌 C. ln D. ln 䁌 【答案】C 【解析】解：由 ln ， 所以函数 的定义域为䁌 ，\n ̵ ， 则方程 ̵ ， 即为 ln ， 化简可得 ln ， 由关于x的方程 ̵ 有两个不相等的实根， 所以可知方程 ln 有两个不相等的实根， 故令 ln ， ̵ 当䁌香 香 时， ̵ ᦙ䁌，所以函数 单调递增，当 ᦙ 时， ̵ 香䁌，所以函数 单调递减． 所以 max ln ， 又 ln ln ln ln ln 香䁌， 所以 max ln 香䁌， 故可知 香 ln ． 故选C2.设函数 ሻ ，则 零点的个数为A.3B.2C.1D.0【答案】B【解析】解：函数 ሻ 的定义域为 䁌 ．̵ ̵ 令 䁌，解得 ． ̵当䁌香 香时， ᦙ䁌，函数 单调递增； ̵当 ᦙ时， 香䁌，函数 单调递减． 当 时，函数 取得极大值即最大值． ln ሻ ᦙ䁌． 当 ᦙ䁌且 䁌时， ；当 时， ．\n故函数 有且只有两个零点．故选：B．3.已知函数 e ，要使函数 ݔ ݔ 的零点个数最多，则k的取值范围是A.ݔ.De e ᦙݔ.Ce e 香ݔ.B e 香ݔᦙ e 【答案】B【解析】因为 e ，所以 ̵ ，当 香 时， ̵ 香䁌，当 ᦙ 时， ̵ ᦙ䁌，可得 在 上递减，在 递增， 所以 e有最小值 ，且 香䁌时， 香䁌， 当x趋向于负无穷时， 趋向于0，但始终小于0， 所以，当 时，关于x的方程 无解； 当时，关于x的方程 有一个实根； 当 䁌 时，关于x的方程 有两个实根； 因为函数 ݔ 的图象过点 䁌 ， 所以关于t的方程ݔ 䁌不可能在区间 䁌 内有两个不等实根， 要使函数 ݔ程方的t于关使需，多最数个点零的 ݔ ݔ 䁌 在区间 䁌 和 䁌 各有一个实根， ݔ香䁌 即需使 ݔ 香䁌 解得ݔ香 ，故选B．4.已知函数 满足 ，当 ln ，若在区间 区内，函数 有三个不同零点，则实数a的取值范围是ln ln ln ln ln A. B. C. D. 区 区 区 【答案】B 【解析】解：设 区 ，则 ， ሻ ， ln， \n 函数 满足 ， ln， ሻ 香 ，ln 香区 在区间 区 内，函数 有三个不同零点， 䁌在区间 区 上有三个解，即 有三个解， 则 与 的图象有三个交点， ሻ 当 ， ，则，令 ̵ 䁌，解得 ， 当 时， ̵ ᦙ䁌，当 时， ̵ 香䁌， ሻ 即函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ሻ 当 处，函数 在 上取最大值， ln ln 当 区 ， ，则 ̵ 䁌，解得 ， 当 时， ̵ ᦙ䁌，当 区 时， ̵ 香䁌， ln 即函数 在 上单调递增，在 区 上单调递减， ln 当 处，函数 在 区 上取最大值， ሻ 根据函数的单调性，以及 䁌， ， 䁌， ， 区 ， 区画出函数的大致图象，根据图象可知 与 在 上一个交点，在 上两个交点， 在区间 区 内，函数 有三个不同零点，ሻ 则实数a的取值范围是 ．区 故选B． 5.关于函数 lnx，下列说法正确的是 是 的极小值点；\n 函数 有且只有1个零点； ᦙ 恒成立； 设函数 xf ，若存在区间 ݔ 在 使， ⊂ݔ上的值 区 ln 域是 ݔ ݔ则，ݔ ݔ ݔ． 䁌A. B. C. D. 【答案】C【解析】 函数 的定义域为 䁌 ， ̵ 函数 ln 的导数 ， 䁌 上， ̵ 香䁌，函数单调递减， 上， ̵ ᦙ䁌，函数单调递增， 是 的极小值点，即 正确； ln ， ̵ 香䁌， 函数在 䁌 上单调递减，当 时， ᦙ䁌，当 时， ሻ 香䁌， 函数 有且只有1个零点，即 正确； 令 ln ， 则 ln 香ln 香䁌， 即 ᦙ 不恒成立，即 错误； 函数 ln 令 ̵ ሻ ， ̵ ， ̵ 当 时， 䁌， 在 上单调递增， ̵ ln ln ᦙ䁌， \n 在 上单调递增， 在 ݔ上单调递增， 在 ݔ ݔ ݔ 为域值的上ݔ， ݔ ݔ 方程 ݔ 在 上有两解a，b． ln 即ݔ 在 上有两解， ln 令 ， ln 所以 ̵ ， 令 ln ， 则 ̵ 䁌， 即 在 上单调递增， 又 䁌， 所以当 时， 香䁌，即 ̵ 香䁌， 当 时， ᦙ䁌，即 ̵ ᦙ䁌， 即 在 内单调递减，在 内单调递增， 区 ln 又 ， ， 䁌 ln 若要ݔ 在 上有两解， ．故 正确，故正确的为 ，故选C． 6.已知函数 满足 ̵ ln ， 当 ᦙ䁌时，下列说法： 只有一个零点 \n 有两个零点 有一个极大值其中正确的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】解：由题意可知，函数 的定义域为䁌 ，令 ，则 ̵ ̵ ln ，则 ln 为常数 ，又 ，则 ln ，解得 䁌， ln ln 故 ， ̵ ， 当 䁌 ， ̵ ᦙ䁌， 单调递增；当 ， ̵ 香䁌， 单调递减； 故当 时， 取得极大值 ． 下面逐一分析各个选项： ，故 错误； 令 䁌，解得 ，故 正确， 错误； 可知 有唯一的极大值 ，故 正确． 故选D． 7.若函数 lnx 在 䁌 上存在两个极值点，则a的取值范围为 A. B. ∪ C. D. ∪ 【答案】D【解析】解：函数在 䁌 上存在两个极值点， 等价于 ̵ 在 䁌 上有两个零点， 令 ̵ 䁌，则 䁌，即 䁌， 䁌或 䁌， \n 满足条件； 䁌 其中 且 䁌 有且仅有一解， ，其中 䁌 ∪ ； 设 ，其中 䁌 ∪ ；则 ̵ ᦙ䁌， 函数 是单调增函数， 至多有一解； 䁌 ∪ ， ∪ ， 故选D． ̵ 8.已知函数 在R上可导且 䁌 ，其导函数 ̵ 满足ᦙ䁌，对于函数 ，下列结论错误的是 A.函数 在 上为单调递增函数B. 是函数 的极小值点C. 䁌时，不等式 恒成立D.函数 至多有两个零点【答案】C̵ ̵ 【解析】解：因为 所以当 ᦙ 时， ̵ ᦙ䁌， 在 上单 调递增，A选项正确当 香 时， ̵ 香䁌， 在 上单调递减， 极小 ，B选项正确；若 香䁌，且 䁌 ᦙ䁌，则 有一个或两个零点，若 䁌，则 有1个零点若 ᦙ䁌，则 有没有零点所以D选项正确； 䁌 在 上单调递减， 在 䁌ݔ上单调递减， 䁌 ， 䁌 ， ，C选项错误， 故选C．二、填空题9.已知函数在䁌 内有且只有一个零点，则 在 e \n上的最大值与最小值的和为_____．【答案】 【解析】解：因为 ̵ 且 䁌， 当 ᦙ䁌时， 在 䁌 递减，在 递增，由题意，得，此时 ．故 ，则 ሻ ，故函数 在 递增，所以 쳌 ，故答案为 ． 10.已知函数 ln ，若函数 在䁌 上无零点，则a的最小值 为________．【答案】 ln 【解析】解：因为 香䁌在区间䁌 上不可能恒成立， 所以要使函数 在䁌 上无零点， 只要对任意 䁌 ， ᦙ䁌恒成立， ln 即对任意 䁌 ， ᦙ 恒成立， ln 令ሻ ， 䁌 ， ln 则ሻ̵ ， 令 ln ， 䁌 ， 则 ̵ 香䁌， 故 在䁌 上为减函数， 于是 ᦙ ln ᦙ䁌， 从而ሻ̵ ᦙ䁌， ln 于是ሻ 在在䁌 上为增函数， 所以ሻ 香ሻ ln ， \n ln 故要使 ᦙ在䁌 上恒成立， 只要 ln 综上，若函数 在䁌 上无零点，则a的最小值为 ln ． 故答案为 ln ． 11.已知 在 䁌 内有且仅有一个零点，当 ݔ时，函 数 的值域是 ǡݔ，则 ǡ ________．【答案】2 【解析】解： 䁌 ， ̵ ，令 ̵ 䁌，得 䁌或 ； 若 ᦙ䁌，即 ᦙ䁌，则 䁌 时， ̵ ᦙ䁌， 䁌 时， ̵ 香䁌， 时， ̵ ᦙ䁌， 在 䁌 单调递减，在 单调递增， 若 在 䁌 内有且仅有一个零点， 则 䁌， 解得 ， ， 故 在 䁌 单调递增，在 䁌 单调递减，在 ݔ单调递增， ， 䁌 ， 䁌， ， ， 쳌 ； ，ǡ ǡ ； 当 䁌，即 䁌，则 䁌 时， ̵ ᦙ䁌， 单调递增， 又 ᦙ 䁌 ， 在 䁌 内没有零点； 综上， ǡ ．故答案为2．\n ݔ ln 12.已知函数 e ݔ 在 䁌 上存在唯一零点 䁌，则下列说法中正 确的是________ 请将所有正确的序号填在横格上 ݔ ； ݔᦙ ； ሻ 䁌 䁌； e香 䁌香 ．【答案】 【解析】解：由题意知 䁌有唯一解 䁌，即 ln ݔ 䁌的根为 䁌， 令 ln ݔ ， ̵ ， 令 ̵ 䁌得 ， 当 ᦙ䁌时， 有唯一解t，满足 ， 故 在 䁌 上单调递减， 上单调递增．又因为 䁌， ， ，因此 䁌，即 䁌 䁌，故ݔ ，ln 䁌 䁌 䁌，故 正确， 错误 另外，令 ln ， ̵ ᦙ䁌， 故 在 䁌 上单调递增， 香䁌， ln ln香䁌，故 错 误．故答案为 ．三、解答题 13.已知函数 e 其中 ᦙ䁌，e是自然对数的底数 ．e 当 时，求曲线 在点 䁌 䁌 处的切线方程； 若函数 恰好有两个零点，求实数a的取值范围． 【答案】解： 当 时， ， ̵ ． ̵ 䁌 ，又 䁌 ， 曲线 在点 䁌 䁌 处的切线方程为 ，即 䁌；\n 问题等价于 的图象和直线 恰好有2个交点，求a的取值范围， 令 ，则 ̵ ， 令 ，则 ̵ 香䁌， 在 上单调递减，又 䁌 䁌， 当 䁌 时， ᦙ䁌， ̵ ᦙ䁌， 在 䁌 上单调递增，当 䁌 时， 香䁌， ̵ 香䁌， 在 䁌 上单调递减， 的极大值即最大值为 䁌 ， 当 䁌ݔ ，时ݔ；当 䁌 时， 䁌 ， 当 䁌 时， 的图象和直线 恰好有2个交点，即函数 恰好 有两个零点．故a的范围为 䁌 ．14.已知函数． 求曲线 在 处的切线方程； 函数 在区间 ݔ ݔ ݔ 上有零点，求k的值； 记函数 ，设 香 是函数 的两个极值点，若 ，且 ݔ恒成立，求实数k的最大值． ̵ ̵【答案】解： ，所以切线斜率为 䁌， 又 ，切点为 ，所以切线方程为 ．̵ 令 䁌，得 ， 当䁌香 香 时， ̵ 香䁌，函数 单调递减；当 ᦙ 时， ̵ ᦙ䁌，函数 单调递增，\n所以 的极小值为 香䁌，又，所以 在区间 䁌 上存在一个零点 ，此时ݔ 䁌；因为，，所以 在区间 上存在一个零点 ，此时ݔ ．综上，k的值为0或 ，̵ ， 若 ，则 ᦙ䁌恒成立， ， ，， 䁌香 香 ， 设 ，则䁌香 香 ， 令，䁌香 香 ，̵ 则 香䁌， 在 䁌 上单调递减； ， ， ， ， \n 䁕 䁌， 䁌香 ， 当 时，， ，即实数k的最大值为 15.已知函数 lnx 在 处的切线与直线 䁌平行．ax 求实数a的值，并判断函数 的单调性； 若函数 有两个零点 ， ，且 香 ，求证： ᦙ ．【答案】解： 函数 的定义域：䁌 ， ̵ ，解得 ， ln ， ̵ 令 ̵ 香䁌，解得䁌香 香，故 在䁌 上是单调递减； 令 ̵ ᦙ䁌，解得 ᦙ，故 在 上是单调递增． 由 为函数 的两个零点，得ln ln 两式相减，可得ln ln 䁌 即ln ， ln ， 因此 ， ln ln 令 ，由 香 ，得䁌香 香 ． 则 ， ln ln ln \n 构造函数 ln 䁌香 香 ， 则 ̵ ᦙ䁌 所以函数 在䁌 上单调递增，故 香 䁌， 即 ln 香䁌， 又䁌香 香 所以lnt香䁌， 所以 ᦙ 故命题 ᦙ 得证． ln 16.已知函数 ln ᦙ䁌 ． Ⅰ 若函数 有零点，求实数a的取值范围； Ⅱ 证明：当 时， ᦙ ．e 【答案】解： Ⅰ 法1：函数 ሻ 的定义域为 䁌 ． 由 ሻ ，得 ̵ ， 因为 ᦙ䁌，则 䁌 时， ̵ 香䁌； 时， ̵ ᦙ䁌．所以函数 在 䁌 上单调递减，在 上单调递增．当 时， ݔ 쳌 ሻ ． 当ሻ 䁌，即䁌香 时，又 ሻ ᦙ䁌，则函数 有零点． 所以实数a的取值范围为 䁌 ݔ． 法2：函数 ሻ 的定义域为 䁌 ． 由 ሻ 䁌，得 ሻ ． 令 ሻ ，则 ̵ ሻ ． 当 䁌 时， ̵ ᦙ䁌；当 时， ̵ 香䁌． 所以函数 在 䁌 上单调递增，在 上单调递减． 故 时，函数 取得最大值 ln ． \n当 䁌 时， ᦙ䁌；当 时， 香䁌． 因而函数 ሻ 有零点，则䁌香 ． 所以实数a的取值范围为 䁌 ݔ． Ⅱ 要证明当 时， ᦙ ， 即证明当 ᦙ䁌， 时，ሻ ᦙ ，即 ሻ ᦙ ． 令 ሻ ，则 ̵ ሻ ． 当䁌香 香时， ̵ 香䁌；当 ᦙ时， ̵ ᦙ䁌． 所以函数 在 䁌 上单调递减，在 上单调递增． 当 时， ݔ 쳌 ． 于是，当 时， 令 ，则 ̵ ．当䁌香 香 时， ̵ ᦙ䁌；当 ᦙ 时， ̵ 香䁌．所以函数 在 䁌 上单调递增，在 上单调递减． 当 时， ݔ ． 于是，当 ᦙ䁌时， 显然，不等式 、 中的等号不能同时成立． 故当 时， ᦙ
