易错点7函数的零点与方程根的关系一、单选题1.若关于x的不等式x2+kx−1>0在[1,2]区间上有解，则k的取值范围是（）333A.(−∞,0)B.(−,0)C.[−,+∞)D.(−,+∞)2225π2.关于函数f(x)=sinx+cosx有下述四个结论：①fx的周期为2π；②fx在0,上4单调递增；③函数y=fx−1在−π,π上有3个零点；④函数fx的最小值为−2.其中所有正确结论的编号为（）A.①④B.②③C.①③④D.②④3.函数f(x)=(x+2)lnx的零点为（）A.−2和1B.(−2,0)和(1,0)C.(1,0)D.1b4.形如y=c>0,b>0的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生x−c动地称为“囧函数”.若函数fx=ax2+x+1(a>0且a≠1)有最小值，则当c=1,b=1时的“囧函数”与函的图象交点个数为（）A.1B.2C.4D.65.下列函数中是奇函数且有零点的是（）A.f(x)=x+|x|B.f(x)=x−1+xC.f(x)=+tanxD.f(x)=sin(x+)6.定义在R上的函数f(x)同时满足：①对任意的x∈R都有f(x+1)=f(x)；②当x∈(1,2]时，f(x)=2−x.若函数g(x)=f(x)−logax(a>1)恰有3个零点，则a的最大值是（）A.5B.2C.3D.47.定义在R上的函数f(x)同时满足：①对任意的x∈R都有f(x+1)=f(x)；②当x∈(1,2]时，f(x)=2−x.若函数g(x)=f(x)−logax(a>1)恰有3个零点，则a的最大值是（）A.5B.2C.3D.48.若关于x的方程(1+x2)sinA+2xsinB+(1−x2)sinC=0有两个相等的实根，则在△ABC中，角C为（）\nA.锐角B.直角C.钝角D.不确定1'9.已知函数fx=lnx++a，f'(x)是fx的导函数，若关于x的方程x+1fx=fxx有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）11A.−∞,−ln2B.−ln2,02211C.−∞,−ln2D.−ln2,044ππ10.对任意x∈R，函数fx满足f1+x=f1−x，若方程fx=2sinx+=0的36根为x1，x2，⋯，xn，则x1+x2+⋯+xn=（）nA.B.nC.2nD.4n2二、单空题11.若函数f(x)=aex−x2有两极值点，则实数a的取值范围是___________。12.下列几个命题①方程x2+(a−3)x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a<0；②函数y=x2−1+1−x2是偶函数，但不是奇函数；③命题“若x2>1，则x>1”的否命题为“若x2>1，则x≤1”；④命题“∀x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”；⑤“x>1”是“x2+x−2>0”的充分不必要条件．正确的是__________．13.[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.9]=2，[−4.1]=−5，已知f(x)=x−[x](x∈R)，g(x)=log4(x−1)，则函数h(x)=f(x)−g(x)的零点个数是________．14.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+4)=f(x)，且当0⩽x⩽2时，f(x)=min{−x2+2x,2−x}，若方程f(x)−mx=0恰有两个根，则m的取值范围是_________．x1515.已知函数f(x)=a+，且f(1)=．(1)求a的值；2x2(2)判定f(x)的奇偶性，并说明理由；(3)令g(x)=f(x)−m，若y=g(x)有两个不同的零点，写出实数m的值(此问不需要写\n过程)．16.已知函数f(x)=6x2+x−1．(Ⅰ)求f(x)的零点；(Ⅱ)若α为锐角，且sinα是f(x)的零点．tan(π+α)⋅cos(−α)(ⅰ)求π的值；cos(−α)⋅sin(π−α)2π(ⅱ)求sin(α+)的值．617.设函数fx=2x+k−1·2−xx∈R是偶函数，5(1)求不等式fx>的解集；2(2)设函数gx=nfx−21−x−f2x−2，若gx在x∈1,+∞上有零点，求实数n的取值范围．\n18.设函数fk(x)=2x+(k−1)⋅2−x,x∈R,k∈Z．(1)若不等式f0(x)+mf1(x)≤4在x∈0,1上恒成立，求实数m的取值范围；(2)设函数g(x)=λf0(x)−f2(2x)+1，若gx在x∈1,+∞上有零点，求实数λ的取值范围一、单选题1.若关于x的不等式x2+kx−1>0在[1,2]区间上有解，则k的取值范围是（）333A.(−∞,0)B.(−,0)C.[−,+∞)D.(−,+∞)222【答案】D【解析】解：关于x的不等式x2+kx−1>0在区间[1,2]上有解，∴kx>1−x2在x∈[1,2]上有解，1即k>−x在x∈[1,2]上成立；x1设函数f(x)=−x，x∈[1,2]，x1∴f'(x)=−−1<0恒成立，x2∴f(x)在x∈[1,2]上是单调减函数，3且f(x)的值域为[−,0]，213要k>−x在x∈[1,2]上有解，则k>−，x23即实数a的取值范围为(−,+∞)．2故选D．5π2.关于函数f(x)=sinx+cosx有下述四个结论：①fx的周期为2π；②fx在0,上4单调递增；③函数y=fx−1在−π,π上有3个零点；④函数fx的最小值为−2.其中所有正确结论的编号为（）A.①④B.②③C.①③④D.②④【答案】A【解析】f(x)=sinx+cos|x|=sinx+cosx，\nf(x+2π)=sin(x+2π)+cos(x+2π)=f(x)，故①正确;π5πππ3πf(x)=sinx+cosx=2sin(x+)，当x∈[0,]，x+∈[,]，44442函数先增后减，故②错误;ππ2π3π5πf(x)=2sin(x+)=1，即sin(x+)=，x+∈[−,]，共442444有2个解，故③错误;πf(x)=2sin(x+)，最小值为−2，故④正确．4故选A．3.函数f(x)=(x+2)lnx的零点为（）A.−2和1B.(−2,0)和(1,0)C.(1,0)D.1【答案】D【解析】解：由f(x)=0得(x+2)lnx=0，因为x>0，所以x+2>0，所以lnx=0，解得x=1，故选D．b4.形如y=c>0,b>0的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生x−c动地称为“囧函数”.若函数fx=ax2+x+1(a>0且a≠1)有最小值，则当c=1,b=1时的“囧函数”与函的图象交点个数为（）A.1B.2C.4D.6【答案】C【解析】解：∵函数fx=ax2+x+1a>0,a≠1有最小值，∴a>1，b1∵当c=1,b=1时，y==，x−cx−11画出函数y=与y=logax的图象在同一坐标系数内的图象：x−1\n∴结合图形，得到交点个数有4个．故选C．5.下列函数中是奇函数且有零点的是（）A.f(x)=x+|x|B.f(x)=x−1+xC.f(x)=+tanxD.f(x)=sin(x+)【答案】C【解析】解：对于选项A：f(x)=x+|x|不是奇函数，与题意不相符，对于选项B：f(x)=x−1+x为奇函数，没有零点，与题意不符，1对于选项C：f(x)=+tanx为奇函数，是连续函数，时，y<0，x→πx时，y>0，函数存在零点，符合题意，对于选项D：是偶函数，与题意不符，故选：C．6.定义在R上的函数f(x)同时满足：①对任意的x∈R都有f(x+1)=f(x)；②当x∈(1,2]时，f(x)=2−x.若函数g(x)=f(x)−logax(a>1)恰有3个零点，则a的最大值是（）A.5B.2C.3D.4【答案】C【解析】解：由f(x+1)=f(x)得函数的周期是1，当x∈(1,2]时，f(x)=2−x．∴f(1)=f(2)=0，作出函数f(x)的图象如图：\n由g(x)=0得f(x)=logax，当0<a<1时，h(x)=logax为减函数，两个图象只有1个交点，不满足条件．当a>1时，h(x)=logax为增函数，要使g(x)=f(x)−logax(a>0且a≠1)恰有3个零点，即f(x)与h(x)=logax的图象有3个交点，h(2)=loga2<1a>2则满足，即，即2<a≤3，h(3)=loga3≥11<a≤3则a的最大值是3．故选：C．7.定义在R上的函数f(x)同时满足：①对任意的x∈R都有f(x+1)=f(x)；②当x∈(1,2]时，f(x)=2−x.若函数g(x)=f(x)−logax(a>1)恰有3个零点，则a的最大值是（）A.5B.2C.3D.4【答案】C【解析】解：画出函数y=f(x)的图象，如下图所示．若函数g(x)=f(x)−logax(a>1)恰有3个零点，则函数y=logax的图象与函数y=f(x)的图象有3个交点．loga2<1则需满足，解得2<a≤3，所以实数a最大值为3，loga3≥1故选C．8.若关于x的方程(1+x2)sinA+2xsinB+(1−x2)sinC=0有两个相等的实根，则在△ABC中，角C为（）A.锐角B.直角C.钝角D.不确定【答案】A\nabc【解析】解：由正弦定理，可得sinA=，sinB=，sinC=，2R2R2R则关于x的方程(1+x2)sinA+2xsinB+(1−x2)sinC=0，即为(1+x2)a+2xb+(1−x2)c=0方程整理为(a−c)x2+2bx+a+c=0，根据题意得△=4b2−4(a−c)(a+c)=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC为直角三角形，即A为直角，故角C为锐角．故选A．1'9.已知函数fx=lnx++a，f'(x)是fx的导函数，若关于x的方程x+1fx=fxx有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）11A.−∞,−ln2B.−ln2,02211C.−∞,−ln2D.−ln2,044【答案】C1【解析】解：由fx=lnx++a，x所以函数fx的定义域为0,+∞，11f'x=−，xx2则方程x+1f'x=fx，111即为x+1−=lnx++a，xx2x11化简可得a=1−−lnx−，x2x由关于x的方程x+1f'x=fx有两个不相等的实根，11所以可知方程a=1−−lnx−有两个不相等的实根，x2x11211x−2x+1故令g(x)=1−x2−lnx−x，g'(x)=3−+2=−3xxxx当0<x<2时，g'(x)>0，所以函数g(x)单调递增，当x>2时，g'(x)<0，所以函数g(x)单调递减．1所以g(x)max=g(2)=−ln2，4\n1444又−ln2=lne−ln2=lne−ln16<0，41所以g(x)max=g(2)=−ln2<0，41故可知a<−ln2．4故选Cππ10.对任意x∈R，函数fx满足f1+x=f1−x，若方程fx=2sinx+=0的36根为x1，x2，⋯，xn，则x1+x2+⋯+xn=（）nA.B.nC.2nD.4n2【答案】B【解析】解：因为函数fx满足f(1+x)=f(1−x)，所以函数f(x)的对称轴方程为x=1．因为方程的根为x1，x2，⋯，xn，设x1+x2+⋯+xn=S，则S=xn+⋯+x2+x1，因为函数f(x)的对称轴方程为x=1，所以x1+xn=2,x2+xn−1=2,⋯,xn+x1=2，所以2S=2n，即S=n，所以x1+x2+⋯+xn=n．故选B．二、单空题11.若函数f(x)=aex−x2有两极值点，则实数a的取值范围是___________。2【答案】(0,)e【解析】解：f'x=aex−2x，因为函数f(x)=aex−x2有两极值点，x2x所以f'x=ae−2x有两个不同的零点，即a=有两个不同的根．ex2x2(1−x)设g(x)=，则g'(x)=．exex所以函数g(x)在(−∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减。2所以g(x)max=g(1)=．e\n另外g(0)=0；x<0时,g(x)<0；x→+∞时,g(x)→0．2所以0<a<．e2故答案为：(0,)．e12.下列几个命题①方程x2+(a−3)x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a<0；②函数y=x2−1+1−x2是偶函数，但不是奇函数；③命题“若x2>1，则x>1”的否命题为“若x2>1，则x≤1”；④命题“∀x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”；⑤“x>1”是“x2+x−2>0”的充分不必要条件．正确的是__________．【答案】①⑤【解析】①∵方程x2+(a−3)x+a=0的有一个正实根，一个负实根，∴根据韦达定理，得a<0，命题正确；②∵要使函数y=x2−1+1−x2有意义，x2−1≥0∴,1−x2≥0∴解得x=±1，∴y=0(x=±1)，\n∴函数既是偶函数，又是奇函数，故命题错误；③命题“若x2>1，则x>1”的否命题为“若x2≤1，则x≤1”，故命题错误；④∵全称命题的否定为特称命题，∴命题“∀x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是“∃x∈R，都有x2+x+1≥0”，故命题错误；⑤∵x2+x−2>0的解为x<−2或x>1，∴“x>1”是“x2+x−2>0”的充分不必要条件，故命题正确．∴正确的命题为①⑤．故答案为①⑤．13.[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.9]=2，[−4.1]=−5，已知f(x)=x−[x](x∈R)，g(x)=log4(x−1)，则函数h(x)=f(x)−g(x)的零点个数是________．【答案】2【解析】解：当0<x<1时，[x]=0，则f(x)=x−[x]=x，当1≤x<2时，[x]=1，则f(x)=x−[x]=x−1，当2≤x<3时，[x]=2，则f(x)=x−[x]=x−2，当3≤x<4时，[x]=3，则f(x)=x−[x]=x−3，当4≤x<5时，[x]=4，则f(x)=x−[x]=x−4，当5≤x<6时，[x]=5，则f(x)=x−[x]=x−5，此时f(x)∈[0,1)，即当n≤x<n+1，n≥1且n为整数时，[x]=n，则f(x)=x−[x]=x−n∈[0,1)，由h(x)=f(x)−g(x)=0得f(x)=g(x)，分别作出函数f(x)和g(x)的图象如图：\n则两个函数图象有2个交点，故函数零点的个数为2个，故答案为2．14.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+4)=f(x)，且当0⩽x⩽2时，f(x)=min{−x2+2x,2−x}，若方程f(x)−mx=0恰有两个根，则m的取值范围是_________．11【答案】−2,−∪,233−x2+2x,0≤x≤1【解析】解：由题意得fx=，2−x,1<x≤2又因为fx是偶函数且周期是4，可得函数的图象，令gx=mx，问题转化为函数fx和gx有两个交点的问题，，结合图象可得，当0≤x≤1时，f'(x)=−2x+2,则过原点的切线的斜率为2，1又过(0,0)和(3,1)两点直线的斜率为，311再根据对称性，得到函数fx和gx有两个交点时，−2<m<−或<m<2，3311则m的取值范围是−2,−∪,2．3311故答案为−2,−∪,2．33三、解答题15.已知p：函数fx=a−mxa,m∈R在R上单调递减，q：关于x的方程x2−2ax+a2−\n1=0的两根都大于1．(1)当m=5时，p是真命题，求a的取值范围；(2)若p为真命题是q为真命题的充分不必要条件，求m的取值范围．【答案】解：(1)因为m=5，所以f(x)=(a−5)x，因为p是真命题，所以0<a−5<1，所以5<a<6．故a的取值范围是(5,6)．(2)若p是真命题，则0<a−m<1，解得m<a<m+1．关于x的方程x2−2ax+a2−1=0的两根分别为a−1和a+1．若q是真命题，则a−1>1，解得a>2．因为p为真命题是q为真命题的充分不必要条件，所以m≥2．x1516.已知函数f(x)=a+，且f(1)=．(1)求a的值；2x2(2)判定f(x)的奇偶性，并说明理由；(3)令g(x)=f(x)−m，若y=g(x)有两个不同的零点，写出实数m的值(此问不需要写过程)．551【答案】解：(1)因为f1=，所以=a+，222所以a=2；x1(2)由(1)得f(x)=2+x，2所以f(x)的定义域为(−∞,+∞)，−x11xf(−x)=2+=+2，2−x2x所以f(x)=f(−x)，所以f(x)为偶函数；(3)g(x)=f(x)−m，因为y=g(x)有两个不同的零点，y=fx即gx=0，即fx=m，设,y=m\n即y=fx图象与y=m有两个不同的交点，由(2)得f(x)=2x+1为偶函数，由2x1x12x+2x≥222x=2，等号当且仅当x=0时取等号，作出函数图象：由图得m>2时，恰有两个交点，即有两个不同的零点．17.已知函数f(x)=6x2+x−1．(Ⅰ)求f(x)的零点；(Ⅱ)若α为锐角，且sinα是f(x)的零点．tan(π+α)⋅cos(−α)(ⅰ)求π的值；cos(−α)⋅sin(π−α)2π(ⅱ)求sin(α+)的值．6211【答案】解：(Ⅰ)令f(x)=6x+x−1=0，解得x=或x=−，3211∴f(x)的零点为x=或x=−；321(Ⅱ)由α为锐角，所以sinα=，3tan(π+α)⋅cos(−α)tanα⋅cosα(ⅰ)π=sinα⋅sinαcos(−α)⋅sin(π−α)21==3；sinα(ⅱ)由α为锐角，所以，可得：132213+22=⋅+⋅=．3232618.设函数fx=2x+k−1·2−xx∈R是偶函数，5(1)求不等式fx>的解集；2(2)设函数gx=nfx−21−x−f2x−2，若gx在x∈1,+∞上有零点，求\n实数n的取值范围．【答案】解：(1)因为fx是偶函数，所以f−x=fx恒成立，即2−x+k−1·2x=2x+k−1·2−x恒成立．也即k−222x−1=0恒成立，所以k=2，由f(x)=2x+2−x>5得，2·22x−5·2x+2>0，解得2x<1或2x>2，即x<−1或x>1，225所以不等式fx>的解集为{x|x<−1或x>1}．2(2)gx=nfx−21−x−f2x−2=n2x+2−x−21−x−22x−2−2x−2=n2x−2−x−22x+2−2x−2在x∈1,+∞上有零点，即为n2x−2−x−22x+2−2x−2=0在x∈1,+∞上有解．因为x∈1,+∞，所以2x−2−x>0，22x+2−2x+2所以条件等价于n=在x∈1,+∞上有解，2x−2−x1令p=2x，则p≥2，令u=p−，p则u在p∈2,+∞上单调递增，3u2+4因此u≥，n=．2uu2+443设ru==u+，ru在2,+∞上单调递增，在,2上单调递减，uu2所以函数ru在u=2时取得最小值，且最小值r(2)=4，所以ru∈[4,+∞)，从而满足条件的实数n的取值范围是[4,+∞)．19.设函数fk(x)=2x+(k−1)⋅2−x,x∈R,k∈Z．\n(1)若不等式f0(x)+mf1(x)≤4在x∈0,1上恒成立，求实数m的取值范围；(2)设函数g(x)=λf0(x)−f2(2x)+1，若gx在x∈1,+∞上有零点，求实数λ的取值范围．【答案】解：(1)不等式f0(x)+mf1(x)≤4在x∈0,1上恒成立，即为2x−2−x+m⋅2x≤4，2−x−2x+4121∴m≤=()+4×−1恒成立，2x2x2x1121令t=∈[,1]，设h(t)=t+4t−1，t∈[,1]，2x2215∴m≤h(t)min=h()=；24(2)g(x)=λ(2x−2−x)−(22x+2−2x)+1在x∈[1,+∞)上有零点，令2x−2−x=t，t∈[3,+∞)，则22x+2−2x=t2+2，223等价于s(t)=t−λt+1=0在t∈[,+∞)上有零点，213则转化为λ=t+在[,+∞)上有解，t213因为t+在[,+∞)上单调递增，t213所以λ≥6
