第2讲 动能定理及其应用\n必备知识·自主排查关键能力·分层突破\n必备知识·自主排查\n一、动能1．定义：物体由于________而具有的能．2．公式：Ek＝________．3．单位：________，1J＝1N·m＝1kg·m2/s2.4．物理意义(1)动能是状态量，v是________．(2)动能是________，只有正值，动能与速度方向________．5．动能的变化：物体______与______之差，即ΔEk＝____________.运动mv2焦耳瞬时速度标量无关末动能初动能－\n二、动能定理1．内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中__________．2．表达式：W＝.3．物理意义：________的功是物体动能变化的量度．4．动能定理的特点动能的变化合外力\n【生活情境】如图所示为一滑梯的实物图，滑梯的斜面段长度L＝5.0m，高度h＝3.0m，为保证小朋友的安全，在水平面铺设安全地垫．水平段与斜面段底部平滑连接，小朋友在连接处速度大小不变．某小朋友从滑梯顶端由静止开始滑下，经斜面底端后水平滑行一段距离，停在水平地垫上．已知小朋友质量为m＝20kg，小朋友在斜面上受到的平均阻力f1＝88N，在水平段受到的平均阻力f2＝100N．取重力加速度g＝10m/s2\n(1)小朋友在下滑过程中，重力做功600J．()(2)小朋友在斜面上滑下的过程中克服摩擦力做的功为440J．()(3)小朋友滑到斜面底端时的动能为160J．()(4)小朋友在斜面上滑下的过程中合外力做功为0.()(5)为使小朋友不滑出水平地垫，地垫的长度至少为1.6m．()(6)在斜面、水平面整个运动过程中合外力对小朋友做功为0.()√√√×√√\n关键能力·分层突破\n考点一 对动能定理的理解和应用1．对“外力”的两点理解(1)“外力”可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力等，它们可以同时作用，也可以不同时作用．(2)“外力”既可以是恒力，也可以是变力．2．动能定理公式中“＝”体现的“三个关系”数量关系合力的功与物体动能的变化可以等量代换单位关系国际单位都是焦耳因果关系合力做的功是物体动能变化的原因\n【跟进训练】1.物体做自由落体运动，其动能Ek随运动时间t的关系图线可能是()答案：C解析：物体自由下落时，速度和时间的关系为v＝gt，故动能Ek＝mv2＝mg2t2，故动能与时间的关系为二次函数图像，且根据数学规律可知，开口向上，选项C正确，A、B、D错误．\n2．随着高铁时代的到来，人们出行也是越来越方便，高铁列车在启动阶段的运动可看作初速度为零的匀加速直线运动．在启动阶段，列车的动能()A．与它所经历的时间成正比B．与它的位移成正比C.与它的速度成正比D．与它的加速度成正比答案：B\n解析：根据v＝at，Ek＝mv2，整理得Ek＝ma2t2，可知动能和时间的平方成正比，选项A错误；根据动能定理Ek＝mv2＝Fl，可知动能和位移成正比，选项B正确；根据Ek＝mv2，动能与速度的平方成正比，选项C错误；加速度是不变的，所以动能与加速度不成正比，选项D错误．\n3．一个物体在相互垂直的两个力F1、F2的作用下，从静止开始沿光滑水平面运动一段距离，运动过程中F1对物体做功－6J，F2对物体做功8J，则物体获得的动能为()A．－10JB．2JC．10JD．14J答案：B解析：合外力做的总功等于各力做功的代数和：故W＝W1＋W2＝－6J＋8J＝2J，根据动能定理可得W＝mv2－0，解得Ek＝mv2＝2J，选项A、C、D错误，B正确．\n考点二 动能定理的应用1．思路：\n2．注意：方法的选择动能定理往往用于单个物体的运动过程，由于不涉及加速度及时间，比动力学方法要简捷过程的选择物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不同的小过程(如加速、减速的过程)，此时可以分段应用动能定理，也可以对全过程应用动能定理．如果对整个过程应用动能定理，往往能使问题简化规律的应用动能定理表达式是一个标量式，在某个方向上应用动能定理是没有依据的\n角度1应用动能定理求变力的功例1如图所示，有一半径r＝0.5m的粗糙半圆轨道，A与圆心O等高，有一质量m＝0.2kg的物块(可视为质点)从A点由静止滑下，滑至最低点B时的速度为v＝1m/s，g取10m/s2.下列说法正确的是()A．物块过B点时对轨道的压力大小是0.4NB．物块过B点时对轨道的压力大小是2.0NC．从A到B的过程中克服摩擦力做的功为0.9JD．从A到B的过程中克服摩擦力做的功为0.1J答案：C\n解析：在B点时，由牛顿第二定律得FN－mg＝m，解得FN＝2.4N，由牛顿第三定律可知，滑块对轨道的压力大小为2.4N，故A、B错误．对从A到B的过程，由动能定理得mgr－Wf＝mv2－0，解得Wf＝0.9J，即克服摩擦力做功为0.9J，故C正确，D错误．\n角度2用动能定理求解直线运动问题例2[2021·全国乙卷，24]一篮球质量为m＝0.60kg，一运动员使其从距地面高度为h1＝1.8m处由静止自由落下，反弹高度为h2＝1.2m.若使篮球从距地面h3＝1.5m的高度由静止下落，并在开始下落的同时向下拍球、球落地后反弹的高度也为1.5m．假设运动员拍球时对球的作用力为恒力，作用时间为t＝0.20s；该篮球每次与地面碰撞前后的动能的比值不变．重力加速度大小取g＝10m/s2，不计空气阻力．求：(1)运动员拍球过程中对篮球所做的功；(2)运动员拍球时对篮球的作用力的大小．\n解析：(1)第一次篮球下落的过程中由动能定理可得E1＝mgh1篮球反弹后向上运动的过程由动能定理可得0－E2＝－mgh2第二次从1.5m的高度静止下落，同时向下拍球，在篮球反弹上升的过程中，由动能定理可得0－E4＝0－mgh4第二次从1.5m的高度静止下落，同时向下拍球，篮球下落过程中，由动能定理可得W＋mgh3＝E3因篮球每次和地面撞击的前后动能的比值不变，则有比例关系＝代入数据可得W＝4.5J\n(2)因作用力是恒力，在恒力作用下篮球向下做匀加速直线运动，因此有牛顿第二定律可得F＋mg＝ma在拍球时间内运动的位移为x＝at2做得功为W＝Fx联立可得F＝9N(F＝－15N舍去)\n命题分析试题情境属于综合性题目，以“拍篮球”为素材创设学习探索问题情境必备知识考查功、动能定理、牛顿第二定律等知识关键能力考查理解能力、推理能力．应清晰力对篮球做功，篮球的加速度及能量发生变化学科素养考查运动与相互作用观念、能量观念、科学思维．要求考生综合运用动力学观点和能量观点解决问题\n角度3用动能定理求解曲线运动问题例3如图所示，在水平轨道右侧安放半径为R＝0.2m的竖直圆形光滑轨道，水平轨道的PQ段铺设特殊材料，调节其初始长度为L＝1m，水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定，弹簧处于自然状态．质量为m＝1kg的小物块A(可视为质点)从轨道右侧以初速度v0＝2m/s冲上轨道，通过圆形轨道、水平轨道后压缩弹簧并被弹簧以原速率弹回，经水平轨道返回圆形轨道．物块A与PQ段间的动摩擦因数μ＝0.2，轨道其他部分摩擦不计，重力加速度g取10m/s2.求：(1)物块A与弹簧刚接触时的速度大小v1；(2)物块A被弹簧以原速率弹回返回到圆形轨道的高度h1；(3)调节PQ段的长度L，A仍以v0从轨道右侧冲上轨道，当L满足什么条件时．物块A能第一次返回圆形轨道且能沿轨道运动而不脱离轨道．\n解析：(1)设物块A与弹簧刚接触时的速度大小为v1，由动能定理得－μmgL＝解得v1＝2m/s(2)物块A被弹簧以原速率弹回返回到圆轨道的高度为h1，由动能定理得－μmgL－mgh1＝解得h1＝0.2m＝R，符合实际\n(3)①若A沿轨道上滑至最大高度h2时，速度减为0，则h2满足0＜h2≤R由动能定理得－2μmgL1－mgh2＝联立得1m≤L1<1.5m②若A能沿轨道上滑到最高点，则满足m≥mg由动能定理得－2μmgL2－mg·2R＝联立得L2≤0.25m综上所述，要使物块A能第一次返回圆轨道并沿轨道运动而不脱离轨道，L满足的条件是1m≤L≤1.5m或L≤0.25m\n【跟进训练】4.[人教版必修第二册P88T5改编]运动员把质量是500g的足球踢出后，某人观察它在空中的飞行情况，估计上升的最大高度是10m，在最高点的速度为20m/s.估算出运动员踢球时对足球做的功为()A．50JB．100JC．150JD．无法确定答案：C解析：运动员踢球时对足球做的功W等于足球获得的初动能Ek1，即W＝Ek1－0；足球上升时重力做的功等于动能的变化量，设上升到最高点时动能为Ek2，则有－mgh＝Ek2－Ek1，联立得W＝Ek1＝Ek2＋mgh＝150J，故C正确．\n5．如图所示，半圆形光滑轨道竖直固定且与水平地面相切于A点，半径R＝0.1m，其右侧一定水平距离处固定一个斜面体．斜面C端离地高度h＝0.15m，E端固定一轻弹簧，原长为DE，斜面CD段粗糙而DE段光滑．现给质量为0.1kg的小物块(可看作质点)一个水平初速度，从A处进入圆轨道，离开最高点B后恰能落到斜面顶端C处，且速度方向恰平行于斜面，物块沿斜面下滑压缩弹簧后又沿斜面向上返回，第一次恰能返回到最高点C.物块与斜面CD段的动摩擦因数μ＝，斜面倾角θ＝30°，重力加速度g取10m/s2，不计物块碰撞弹簧的机械能损失．求：(1)物块运动到B点时对轨道的压力；(2)CD间距离L；(3)小物块在粗糙斜面CD段上能滑行的总路程s.\n解析：(1)物块从B到C做平抛运动，则有：＝2g(2R－h)在C点时有：tanθ＝代入数据解得：vB＝m/s在B点对物块进行受力分析，得F＋mg＝解得：F＝2N根据牛顿第三定律知物块对轨道的压力大小为：F′＝F＝2N方向竖直向上．\n(2)在C点的速度为：vC＝＝2m/s物块从C点下滑到返回C点的过程，根据动能定理得：－μmgcosθ·2L＝代入数据解得：L＝0.4m(3)最终物块在DE段来回滑动，从C到D，根据动能定理得：mgLsinθ－μmgcosθ·s＝，解得：s＝1.6m\n考点三 动能定理与图像问题的结合数形结合法——核心素养提升解决物理图像问题的基本步骤(1)观察题目给出的图像，弄清横坐标、纵坐标所对应的物理量及图线所表示的物理意义；(2)根据物理规律推导出横坐标与纵坐标所对应的物理量间的函数关系式；(3)将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、截距、交点的物理意义，弄清图线与坐标轴围成的面积所表示的物理意义，进而分析解答问题，或者利用函数图线上的特殊值代入函数关系式求物理量．\n例4如图甲所示，一可视为质点的小球，沿光滑足够长的斜面由静止开始下滑，其动能与运动位移之间的关系如图乙所示．则对该图像斜率k＝的物理意义，下列说法中正确的是()A．表示小球所受合力的大小B．表示小球的质量C．表示小球沿斜面下滑的加速度大小D．表示小球沿斜面下滑的速度大小答案：A解析：根据动能定理Ek＝F合x＝mgsinθ·x，则该图像斜率k＝＝F合＝mgsinθ，选项A正确，B、C、D错误．\n【跟进训练】6．(多选)一质量为2kg的物体放在水平面上，在水平拉力的作用下由静止开始运动，0～1s内物体受到的水平拉力大小为F1，1～3s内物体受到的水平拉力大小为F2，且F1＝2F2，物体沿水平面做直线运动的vt图像如图所示.3s末撤去水平拉力，撤去拉力后物体继续滑行一段时间后停止，重力加速度g取m/s2，下列说法正确的是()A．物体0～3s内发生的位移为12mB．物体与水平面间的动摩擦因数为0.4C．0～3s内拉力对物体做功为144JD．撤去拉力后物体还能滑行3s答案：AD\n解析：根据图线的面积可得0到3s内的位移为x＝×1×4m＋×(4＋6)×2m＝12m，选项A正确；由题图可知在0～1s内的加速度a1＝4m/s2，1～3s内的加速度a2＝1m/s2，由牛顿第二定律得F1－f＝ma1，F2－f＝ma2，把F1＝2F2，f＝μmg代入可得f＝4N，μ＝0.2，选项B错误；0～3s内摩擦力做的功是Wf＝－fx＝－4×12J＝－48J，设拉力做功为W，由动能定理得W＋Wf＝，其中v2＝6m/s，解得拉力做功为W＝84J，选项C错误；撤去拉力后物体的加速度为a＝＝μg＝2m/s2，所以撤去拉力后物体滑行的时间为t＝＝s＝3s，选项D正确．\n7．一个质量为50kg的人乘坐电梯，由静止开始上升，整个过程中电梯对人做功的功率随时间变化的Pt图像如图所示，其中电梯在0～2s做匀加速直线运动，2～5s做匀速直线运动，5～9s做匀减速直线运动，g取10m/s2，则以下说法错误的是()A．前2s内电梯对人的支持力为550NB．在2～5s内电梯的速度为2m/sC．电梯加速阶段的加速度为1m/s2D．电梯加速运动过程中对人所做的功大于减速阶段对人所做的功答案：D\n解析：在2～5s内功率恒定，故此时支持力等于重力，电梯匀速运动，由P＝mgv得v＝＝m/s＝2m/s，故在前2s内由P＝Fv得F＝＝N＝550N，故前2s内电梯对人的支持力为550N，选项A、B正确；在加速阶段由牛顿第二定律可得F－mg＝ma，解得a＝1m/s2，选项C正确；Pt图线与图像横轴所围面积表示力做的功，加速阶段电梯对人做功为W1＝Pt＝×1100×2J＝1100J，减速阶段电梯对人做功为W2＝×950×4J＝1900J，故电梯加速运动过程中对人所做的功小于减速阶段对人所做的功，选项D错误．
