第1讲 功和功率\n必备知识·自主排查关键能力·分层突破\n必备知识·自主排查\n一、功1．要素：力和物体在________上发生的位移．2．公式：W＝________，其中F是恒力，l是物体的位移，α是力的方向和________方向的夹角．3．单位：焦耳(J)．4．功的正负：功是标量，没有方向，但有正负，功的正、负不表示方向，也不表示多少．正功和负功只表示力对物体的两种不同的作用效果．根据W＝Flcosα可知：(1)当0°≤α<90°时，力对物体做________，力是动力，物体获得能量．(2)当90°<α≤180°时，力对物体做________，力是阻力，物体失去能量．(3)当α＝90°时，力对物体________做功．力的方向Flcosα位移正功负功不\n二、功率1．物理意义：描述做功的________．2．定义：功与完成这些功所用________之比．3．平均功率、瞬时功率：项目定义公式备注平均在一段时间内或某一过程中做功的快慢P＝________普遍适用功率P＝FcosαF是恒力，是平均速度，α为F与v的夹角瞬时功率物体在某一______或某一________时做功的快慢P＝FvcosαF是恒力，v为某一________或某一________的速度，α为F与v的夹角快慢时间时刻位置时刻位置\n4.额定功率与实际功率：(1)额定功率：动力机械可以长时间正常工作的________功率．(2)实际功率：动力机械实际工作时输出的功率，要求________或等于额定功率．实际功率如果大于额定功率容易将机器损坏．最大小于\n【生活情境】1.一辆货车在平直的公路上行驶，车上装有一个箱子，用绳子固定到车厢前端，如图所示，则：\n(1)若汽车和箱子一起加速运动，且绳子绷紧，绳子对箱子的拉力做正功．()(2)若没有绳子，汽车和箱子一起加速运动，则汽车对箱子的静摩擦力做正功；箱子对汽车的静摩擦力做负功．()(3)若汽车和箱子一起减速运动，则汽车对箱子的静摩擦力做负功；箱子对汽车的静摩擦力做负功．()(4)设汽车牵引力为F，行驶速度为v，则发动机的瞬时功率为P＝Fv.()(5)由P＝Fv可知，在汽车功率一定的情况下，要获得较大的牵引力，必须降低车速．()√√×√√\n【教材拓展】2.[人教版必修第二册P78T3改编](多选)一位质量m＝60kg的滑雪运动员从高h＝10m的斜坡自由下滑，如果运动员在下滑过程中受到的阻力F＝50N，斜坡的倾角θ＝30°，重力加速度g取10m/s2，运动员滑至坡底的过程中，关于各力做功的情况，下列说法正确的是()A．重力做功为6000JB．阻力做功为1000JC．支持力不做功D．各力做的总功为零答案：AC解析：重力做功WG＝mgh＝6000J，故A正确；阻力做功WF＝－F＝－1000J，故B错误；支持力与位移夹角为90°，不做功，故C正确；由以上分析可知，各力做的总功为5000J，故D错误．\n关键能力·分层突破\n考点一 功的正负判断和大小计算角度1功的正负判断\n例1如图所示，用电梯将两箱相同的货物从一楼运送到二楼，其中图甲是用扶梯台式电梯运送，图乙是用履带式自动电梯运送，假设两种情况下电梯都是匀速地运送货物，下列说法正确的是()A．两种情况下电梯对货物的支持力都对货物做正功B．图乙中电梯对货物的支持力对货物做正功C．图甲中电梯对货物的支持力对货物不做功D．图乙中电梯对货物的支持力对货物不做功答案：D\n解析：在题图甲中，货物随电梯匀速上升时，货物受到的支持力竖直向上，与货物位移方向的夹角小于90°，故此种情况下支持力对货物做正功，选项C错误；题图乙中，货物受到的支持力与电梯接触面垂直，此时货物受到的支持力与货物位移方向垂直，故此种情况下支持力对货物不做功，故选项A、B错误，D正确．\n角度2恒力及合力做功的计算1.恒力做功的计算方法恒力做功的计算要严格按照公式W＝Flcosα进行，应先对物体进行受力分析和运动分析，确定力、位移及力与位移之间的夹角，用W＝Flcosα直接求解或利用动能定理求解．2．合力做功的计算方法方法一：先求合力F合，再用W合＝F合lcosα求功．方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3……再利用W合＝W1＋W2＋W3＋……求合力做的功．\n例2[2022·重庆南川检测](多选)如图所示，一个质量为m＝2kg的物体放在倾角为α＝37°的固定斜面上，现用F＝30N平行于斜面的力拉物体使其由静止开始沿斜面向上运动．已知物体与斜面之间的动摩擦因数μ＝0.5，斜面足够长，g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.物体运动2s后，关于各力做功的情况，下列说法中正确的是()A．重力做功为－120JB．摩擦力做功为－80JC．拉力做功为100JD．物体所受的合力做功为100J答案：ABD\n解析：物体在斜面上运动时受到重力、拉力、摩擦力和支持力作用，根据牛顿第二定律a＝＝＝5m/s2，由x＝at2得，物体在2s内的位移为x＝×5×22m＝10m，重力做功WG＝－mg·xsin37°＝－2×10×10×0.6J＝－120J，选项A正确；拉力做的功为WF＝Fx＝30×10J＝300J，选项C错误；摩擦力做功为WFf＝－Ffx＝－μmgcos37°·x＝－0.5×2×10×0.8×10J＝－80J，选项B正确；支持力做功WN＝FNxcos90°＝0，合外力做的功W＝WF＋WN＋WG＋WFf＝300J－120J－80J＝100J，选项D正确．\n角度3变力做功的计算方法以例说法应用动能定理用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有：WF－mgl(1－cosθ)＝0，得WF＝mgl(1－cosθ)微元法质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR\n方法以例说法平均力法弹簧由伸长量x1被继续拉至伸长量x2的过程中，克服弹力做功W＝·(x2－x1)图像法一水平拉力F0拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，F－x图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝F0x0\n例3[2021·山东卷，3]如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小木块相连．木块以水平初速度v0出发，恰好能完成一个完整的圆周运动．在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为()A.B.C.D.答案：B解析：木块做圆周运动过程中，只有摩擦力做功且做功与路径有关，根据动能定理有－f·2πL＝，可得摩擦力的大小f＝，B项正确．\n命题分析试题情境属于基础性题目，以小球做圆周运动为素材创设学习探索问题情境必备知识考查变力做功、动能定理等知识关键能力考查理解能力、推理能力．应理解变力做功的特点，动能定理的应用学科素养考查运动与相互作用观念、能量观念、科学思维．要求考生由功和能量的观点解决问题\n【跟进训练】1．如图所示，木板可绕固定水平轴O转动．木板从水平位置OA缓慢转到OB位置，木板上的物块始终相对于木板静止．在这一过程中，物块的重力势能增加了2J．用FN表示物块受到的支持力，用Ff表示物块受到的摩擦力．在此过程中，以下判断正确的是()A．FN和Ff对物块都不做功B．FN对物块做功为2J，Ff对物块不做功C．FN对物块不做功，Ff对物块做功为2JD．FN和Ff对物块所做功的代数和为0答案：B解析：物块所受的摩擦力Ff沿木板斜向上，与物块的运动方向垂直，故摩擦力Ff对物块不做功，物块在慢慢移动过程中，重力势能增加了2J，重力做功－2J，支持力FN对物块做功2J，故B正确．\n2．[2022·安徽师大附中模拟]物体在变力F作用下沿水平方向做直线运动，物体质量m＝5kg，F随物体位置坐标x变化的情况如图所示，若物体在坐标原点处由静止出发，不计一切摩擦．借鉴教科书中学习直线运动时由vt图像求位移的方法，结合所学知识，根据图示的Fx图像，可求出物体运动到x＝16m处时，速度大小为()A.4m/sB．2m/sC．3m/sD．m/s答案：A解析：Fx图线与x轴围成的面积表示力F所做的功，物体运动到x＝16m处时，外力做功W＝×(4＋8)×10J－×(16－12)×10J＝40J．根据动能定理有W＝，解得v＝4m/s，选项A正确．\n考点二 功率的分析和计算求解功率问题时，要明确是求平均功率还是求瞬时功率．一般情况下，平均功率用P＝求解，瞬时功率用P＝Fvcosα求解．1．平均功率的计算方法(1)利用P＝.(2)利用P＝Fvcosα，其中v为物体运动的平均速度．2．瞬时功率的计算方法(1)利用公式P＝Fvcosα，其中v为物体的瞬时速度．(2)P＝FvF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度．(3)P＝Fvv，其中Fv为物体受的外力F在速度v方向上的分力．\n例4如图1所示，物体受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直线运动．监测到推力F、物体速度v随时间t变化的规律如图2、3所示，g＝，则()A．第1s内推力做的功为1JB．第2s内物体克服摩擦力做的功W＝2JC．第1.5s时推力F做功的功率为2WD．第2s内推力F做功的平均功率＝1.5W答案：B\n解析：由题图3可知，第1s内物体的速度为零，物体静止不动，故位移为零，推力不做功，A错误；第2s内推力为3N，第3s内推力为2N且物体做匀速直线运动，则可知摩擦力f＝2N，物体第2s内的位移x＝1m，则克服摩擦力所做的功W＝fx＝2J，B正确；第1.5s时推力为3N，速度v＝1m/s，则推力F做功的功率P＝3×1W＝3W，C错误；第2s内平均速度＝1m/s，推力F＝3N，推力F做功的平均功率＝F＝3W，D错误．\n【跟进训练】3.[2021·山东潍坊市联考]如图所示为某举重运动员在0.5s内由支撑到起立将杠铃举起过程中拍摄的两张照片，杠铃的质量为100kg，已知照片中杠铃的实际直径是40cm，根据照片可算出该运动员在上述过程中对杠铃做功的平均功率约为(g取10m/s2)()A．500WB．800WC．1200WD．1800W答案：C\n解析：先估测杠铃被举起的高度．根据图中提供的信息比照．估算举起的高度为55～65cm.由公式P＝、W＝mgh可知，对杠铃做功的平均功率为1100W～1300W，故选项C符合题意．\n4．如图所示，AB是斜坡，BC是水平面，从斜坡顶端A以不同初速度v向左水平抛出同一小球，当初速度为v0时，小球恰好落到坡底B.不计空气阻力，则下列图像能正确表示小球落地(不再弹起)前瞬间重力瞬时功率P随v变化关系的是()答案：C\n解析：当平抛的初速度v≤v0时，小球均落在斜面上，具有相同的位移偏向角且均等于斜坡倾角θ，可得：tanθ＝＝＝，可得平抛时间：t＝，则小球落地前所受的重力的瞬时功率为：P＝mg·vy＝mg·gt＝2mgtanθ·v，可知，P与v成正比；当平抛的初速度v>v0时，小球落在水平面上，平抛的竖直高度相同，为h，且有：h＝gt2，则平抛时间为：t＝，则小球落地前所受的重力的瞬时功率为：P＝mg·vy＝mg·gt＝mg，可知功率P为恒定值；综合两种情况可知C正确，A、B、D错误．\n考点三 机车启动问题模型建构——核心素养提升角度1以恒定功率启动1.动态过程\n2．这一过程的Pt图像和vt图像如图所示：\n例5(多选)质量为500kg的赛车在平直赛道上以恒定功率加速，受到的阻力不变，其加速度a与速度的倒数的关系如图所示，则赛车()A．速度随时间均匀增大B．加速度随时间均匀增大C．输出功率为200kWD．所受阻力大小为2000N答案：CD\n解析：由图像可知，赛车的加速度随速度的增大而减小，赛车做变加速直线运动，选项A错误；赛车的加速度随速度的增大而减小，即随时间增大而减小，选项B错误；对赛车受力分析，受重力、支持力、牵引力和摩擦力，根据牛顿第二定律，有F－f＝ma，即－f＝ma，变形得a＝，结合图线，当赛车的速度最大时，加速度为零，即a＝0时，＝0.01s·m－1得v＝100m/s.由图像可知－＝－4，解得f＝4m＝4×500N＝2000N，所以加速度为零，有0＝－4，解得P＝200kW，选项C、D正确．\n[教你解决问题]——读图完成信息转化\n角度2以恒定加速度启动1.动态过程\n2．这一过程的Pt图像和vt图像如图所示\n例6(多选)如图所示为起重机竖直向上提升质量为50kg的重物时的速度—时间图像，0～0.5s图线为直线，2.5s之后，图线为水平直线，已知重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是()A．0～0.5s内，重物受到的拉力为800NB．0～0.5s内，拉力的功率与上升高度成正比C．0.5～2.5s内，重物受到的拉力逐渐减小D．0.5～2.5s内，拉力的功率保持不变答案：AC\n解析：0～0.5s内，重物的加速度a＝m/s2＝6m/s2，根据牛顿第二定律有F－mg＝ma，代入数值解得F＝800N，即重物受到的拉力为800N，选项A正确；0～0.5s内，重物的速度与高度的关系为v2＝2ah，拉力的功率P＝Fv＝F，可见拉力的功率与上升高度不成正比，选项B错误；0.5～2.5s内，重物的加速度逐渐减小，则受到的拉力逐渐减小，选项C正确；在0.5s时，拉力的功率P＝Fv＝800×3W＝2400W，在2.5s时拉力的功率P′＝mgv′＝3000W，故0.5～2.5s内，拉力的功率变化600W，选项D错误．\n【跟进训练】5.[2021·湖南卷，3]“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的．总质量为m的动车组在平直的轨道上行驶．该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为P，若动车组所受的阻力与其速率成正比(F阻＝kv，k为常量)，动车组能达到的最大速度为vm.下列说法正确的是()A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动C．若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，则动车组匀速行驶的速度为vmD．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度vm，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为－Pt答案：C\n解析：对动车由牛顿第二定律有F－F阻＝ma若动车组在匀加速启动，即加速度a恒定，但F阻＝kv随速度增大而增大，则牵引力也随阻力增大而变大，A错误；若四节动力车厢输出功率均为额定值，则总功率为4P，由牛顿第二定律有－kv＝ma，故可知加速启动的过程，牵引力减小，阻力增大，则加速度逐渐减小，B错误；若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，则动车组匀速行驶时加速度为零，有＝kv.而以额定功率匀速时，有＝kvm，联立解得v＝vm，C正确；若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度vm，由动能定理可知4Pt－WF阻＝－0可得动车组克服阻力做的功为WF阻＝，D错误．
