专题强化一 运动学图像 追及、相遇问题\n【关键能力·分层突破】考点一 运动学图像的理解和应用1．xt图像的信息(1)xt图像某点切线的斜率表示物体在该时刻的速度的大小，若位移增大，速度与位移方向相同；若位移减小，速度与位移方向相反．(2)纵坐标之差表示该段时间内的位移．(3)两xt图线的交点表示两物体在该位置、该时刻相遇．\n2．vt图像的信息\n3．xt(位置—时间)图像与vt图像的“六看”一看“轴”xt图像纵轴表示位置，vt图像纵轴表示速度二看“线”xt图像中倾斜直线表示匀速直线运动，vt图像中倾斜直线表示匀变速直线运动．三看“斜率”xt图像中斜率表示速度，vt图像中斜率表示加速度．四看“面积”vt图像中图线和时间轴围成的“面积”表示位移．五看“纵截距”xt图像中纵截距表示初位置，vt图像中纵截距表示初速度．六看“特殊点”交点：在xt图像上交点表示相遇，在vt图像上交点表示速度相等．\n角度1xt图像例1[2022·广西桂林、贵港等五市联考]如图所示是两个物体A和B同时出发沿同一直线运动的xt图像．由图像可知()A.t＝4s时物体B的速度为0B．t＝4s时物体A的加速度为0C．前4s内A、B速度方向相同D．t＝2s时物体A和物体B速度相同答案：B\n解析：本题为xt图像题，属于基础性题．t＝4s时物体B的速度为vB＝＝－2.5m/s，故A错误；由图像可知，t＝4s时物体A做匀速运动，此时加速度为0，故B正确；由图像可知，前4s内物体A向正方向做匀速运动，物体B向负方向做匀速运动，故C错误；t＝2s时物体A的速度为vA＝m/s＝2.5m/s，t＝2s时物体B的速度为vB＝－2.5m/s，故物体A与物体B的速度大小相等，方向不同，D错误．\n角度2vt图像例2(多选)[2021·广东卷，8]赛龙舟是端午节的传统活动．下列vt和st图像描述了五条相同的龙舟从同一起点线同时出发、沿长直河道划向同一终点线的运动全过程，其中能反映龙舟甲与其他龙舟在途中出现船头并齐的有()答案：BD解析：从v－t图像上看，由于所有龙舟出发点相同，故只要存在甲龙舟与其他龙舟从出发到某时刻图线与t轴所围图形面积相等，就存在船头并齐的情况，故A错误，B正确．从st图像上看，图像的交点即代表两龙舟船头并齐，故D正确，C错误．\n命题分析试题情境属于综合性题目，以赛龙舟为素材创设生活实践问题情境必备知识考查st图像、vt图像关键能力考查理解能力、信息加工、推理论证能力．即由图像面积分析龙舟的位移关系学科素养考查运动观念、科学推理．要求考生利用运动观念分析并得出两龙舟的运动关系\n角度3其他运动图像例3初速度为v0＝3m/s的某型号汽车紧急制动时(假设做匀减速直线运动)的xv2图像如图所示(x为位置坐标，v为汽车的速度)，以汽车紧急制动时为计时起点，则该车()A．加速度大小为1m/s2B．在t＝3s时速度为0C．在前2s内的位移大小为4.2mD．在t＝1s时的位置坐标为1m答案：C\n解析：由图像知该汽车做匀减速直线运动，由＝2ax知图像斜率等于，故加速度大小为a＝0.9m/s2，故A错误；根据速度—时间关系可得速度为零的时间为Δt＝＝s，故B错误；根据位移—时间关系x＝v0t＋at2，可得2s内位移为4.2m，1s内的位移为2.55m，在1s时的坐标为1.55m，故C正确，D错误．\n[思维方法]分析图像类问题的思路：\n【跟进训练】1.[2022·山东青岛市模拟](多选)随着经济发展，乡村公路等级越来越高，但汽车超速问题也日益凸显，为此，一些特殊路段都设立了各式减速带．现有一辆汽车发现前方有减速带，开始减速，减至某一速度，开始匀速运动，匀速通过减速带，然后再加速到原来速度．\n上述过程中汽车行驶的vt图像如图所示，由图像可知()A．0～2s内汽车做加速度逐渐减小的变减速直线运动B．0～2s内汽车的位移等于12mC．汽车匀速运动的位移等于4mD．0～2s内与4～5s内汽车的平均加速度相同答案：AC解析：vt图像上各点切线的斜率表示汽车运动的加速度，0～2s内图线上各点切线的斜率逐渐减小，则表示汽车的加速度逐渐减小，故A正确；汽车在0～2s内做匀减速直线运动从10m/s减速到2m/s时位移才等于12m，故B错误；匀速运动的位移x＝vt＝2×2m＝4m，故C正确；0～2s内汽车的平均加速度＝m/s2＝－4m/s2，4～5s内汽车的平均加速度＝m/s2＝8m/s2，故D错误．\n2．[2022·江西临川一中模拟]如图所示的四幅图分别为四个物体做直线运动的图像，下列说法正确的是()A．甲图中，物体在0～t0这段时间内的位移等于B．乙图中，物体的加速度为2m/s2C．丙图中，阴影面积表示t1～t2时间内物体的加速度变化量D．丁图中，t＝3s时物体的速度为25m/s答案：D\n解析：由vt图线与坐标轴围成的面积表示位移，可知甲图中，物体在0～t0这段时间内的位移大于v0t0(平均速度大于v0)，选项A错误；根据v2＝2ax可知乙图中，2a＝1m/s2，则物体的加速度为0.5m/s2，选项B错误；根据Δv＝at可知，丙图中阴影部分的面积表示t1～t2时间内物体的速度变化量，选项C错误；由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，结合丁图可知a＝m/s2＝5m/s2(a前面的易被忽视)，即a＝10m/s2，则v0＝－5m/s，故t＝3s时物体的速度为v3＝(－5＋10×3)m/s＝25m/s，选项D正确．\n3．[2022·湖南株洲1月质检]为节约运行时间，设想一种高铁进站不停车模式．如图(a)所示，站台内铁路正上方有一固定轨道AB，高铁分为可分离的上下副、主车两部分，副车可在主车车顶轨道上滑行．主车保持匀速过站，需下车的乘客提前进入副车甲中，需上车的乘客已在静止于A端的副车乙中等待．车尾到B端瞬间，甲刚好完全滑上固定轨道AB，主、副车分离，副车甲立即减速，车头到A端时刚好停下，乘客下车．当主车车头到A端时，副车乙立即从固定轨道开始加速滑上车顶轨道，当乙的车尾与主车车尾对齐时主、副车刚好共速，锁死一起前进．\n设高铁以40m/s速度匀速驶来，副车长均为20m，副车甲、乙运动的vt图像如图(b)所示，则主车长为()A．180mB．200mC．220mD．820m答案：B解析：根据题意，对副车乙和主车的运动进行简化分析，如图所示．已知副车长20m，由vt图像可知，副车乙发生的位移为x1＝×(24.5－15.5)×40m＝180m，在这一段时间内，主车做匀速直线运动，主车发生的位移为x2＝(24.5－15.5)×40m＝360m，故主车的长度为L＝x2－x1＋20m＝360m－180m＋20m＝200m，选项B正确．\n考点二 追及、相遇问题1．两点解题技巧\n2．三种分析方法(1)分析法：应用运动学公式，抓住一个条件、两个关系，列出两物体运动的时间、位移、速度及其关系方程，再求解．(2)极值法：设相遇时间为t，根据条件列出方程，得到关于t的一元二次方程，再利用数学中求极值的方法求解．在这里，常用到配方法、判别式法、不等式法等．(3)图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像．位移图像的交点表示相遇，速度图像抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系．\n例4全国第十四届冬季运动会计划在呼伦贝尔市举行．为此全市开展了丰富多彩的冰上运动．如图所示，在游乐场的滑冰道上有甲、乙两同学坐在冰车上进行游戏．当甲从倾角为θ的光滑冰道顶端A由静止开始自由下滑时，在斜面底部B处的乙通过冰钎作用于冰面，从静止开始沿光滑的水平冰道向右做匀加速直线运动．已知甲、乙和冰车均可视为质点，甲通过斜面与水平面的交接处(B处)时，速度的方向改变、大小不变，且最终甲刚好能追上乙，则()A．到甲刚好追上乙时，甲在水平面上和斜面上的滑行时间一定不相等B．到甲刚好追上乙时，甲在水平面上和斜面上的滑行时间一定相等C．甲在斜面上的加速度一定小于乙的加速度D．无法求出甲从过B点至追上乙行进的距离与AB距离之比答案：B\n解析：设甲到达B的时间为t1，追上乙的时间为t2，水平面都是光滑的，甲到达水平面后做匀速直线运动，设甲的速度为v，则甲在水平面上的位移x2＝v(t2－t1)①乙做匀加速直线运动，被甲追上时的速度也是v，乙的位移x2＝t2②联立①②可得t2＝2(t2－t1)，t2＝2t1，可知到甲刚好追上乙时，甲在水平面上和斜面上的滑行时间一定相等，故A错误，B正确；由以上的分析可知，甲的速度达到v用的时间少，所以甲在斜面上的加速度一定大于乙的加速度，故C错误；AB之间的距离x1＝·t1＝·＝，所以甲从过B点至追上乙行进的距离与AB距离之比为2，故D错误．\n[教你解决问题]——读题审题完成信息转化(1)“光滑冰道”甲在斜面上做匀加速直线运动(2)“光滑的水平冰道”甲在水平面上做匀速直线运动(3)“向右做匀加速直线运动”乙做匀加速运动(4)“刚好能追上乙”甲、乙速度相等时，甲刚好追上乙\n【跟进训练】4．[2022·江西五市九校协作体第一次联考]如图，当轿车以18km/h的速度匀速驶入高速公路ETC收费通道时，ETC天线完成对车载电子标签的识别后发出“滴”的一声．此时轿车距自动栏杆8m，司机发现栏杆没有抬起，于是采取制动刹车，使轿车刚好没有撞杆．已知刹车的加速度大小为5m/s2，则司机的反应时间为()A．1.1sB．0.9sC．0.7sD．1s答案：A\n解析：本题考查追及、相遇问题，属于基础性题．轿车的初速度为v0＝18km/h＝5m/s，设司机的反应时间为Δt，轿车在这段时间内做匀速直线运动，位移为x1＝v0·Δt，随后做匀减速直线运动，位移为x2＝，由题意可知两段位移之和为L＝x1＋x2，代入数据联立解得Δt＝1.1s，故选A.\n5．一辆值勤的警车停在一条长直公路的路边，当警员发现从他旁边以v＝8m/s的速度匀速行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶，经Δt＝2.5s警车发动起来，以加速度a＝2m/s2做匀加速直线运动．(1)警车发动起来后要多长时间才能追上违章的货车？(2)若警车能达到的最大速度vmax＝12m/s，达到最大速度后以该速度匀速行驶，则警车发动起来后要多长时间才能追上违章的货车？(3)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？\n解析：方法一 分析法(1)设警车经时间t1追上违章货车，则对警车有x1＝对货车有x1＝v(t1＋Δt)联立解得t1＝10s(另一解不合题意已舍去)．(2)设警车发动起来后经t0时间速度达到最大，经t2时间追上货车，则有vmax＝at0t0＋vmax(t2－t0)＝v(t2＋Δt)联立上述两式，并代入数据解得t2＝14s.\n(3)警车在追赶货车的过程中，当两车速度相等时，它们之间的距离最大，设警车发动后经过t3时间两车的速度相等，有v＝at3则t3时间内，货车的位移大小x1＝v(t3＋Δt)警车的位移大小x2＝两车间的最大距离Δx＝x1－x2＝36m.\n方法二 图像法(1)警车、货车的速度—时间图像如图甲所示．警车追上货车时，图甲中两块阴影面积相等，则8×(t1＋2.5)＝v1t1对警车有v1＝2t1联立以上两式，并代入数据解得t1＝10s(另一解不合题意已舍去)．故警车发动起来后经过10s才能追上违章的货车．\n(2)若警车能达到的最大速度是vmax＝12m/s，则警车、货车的速度—时间图像如图乙所示．警车追上货车时，图乙中两块阴影面积相等，则8×(t2＋2.5)＝[(t2＋2.5－8.5)＋t2]×12解得t2＝14s.故此种情况下，警车发动起来后经过14s才能追上违章的货车．(3)由图甲知，警车在追赶货车的过程中，当t＝6.5s时两车间的距离最大，且为Δx＝×(2.5＋6.5)×8m＝36m.
