第一章专题1 运动的图像 追及、相遇问题,考点一 运动图像的理解及应用关键能力·突破1.[x-t图像的基本认识](2020吉林长春二模)如图所示,高速公路收费站都设有“ETC”通道(即不停车收费通道),设ETC车道是笔直的,由于有限速,汽车通过时一般是先减速至某一限定速度,然后匀速通过电子收费区,再加速驶离(将减速和加速过程都看做加速度大小相等的匀变速直线运动)。设汽车开始减速的时刻t=0,下列四幅图能与汽车通过ETC的运动情况大致吻合的是( )D,,解析汽车先做匀减速直线运动,然后做匀速直线运动,最后做匀加速直线运动。图像A反映汽车先负向匀速后静止,再正向匀速,选项A错误;图像B反映汽车先正向匀速后静止,再正向匀速,选项B错误;图像C反映汽车先正向加速后匀速,再正向加速,选项C错误;图像D反映汽车先减速再匀速,后加速,符合题意,则选项D正确。,2.[v-t图像的基本认识]如图所示是某质点运动的v-t图像,下列判断正确的是( )A.在第2s末,质点的速度方向发生改变B.在0~2s内,质点做直线运动,在2~4s内,质点做曲线运动C.在0~2s内,质点的位移大小为1mD.在2~4s内,质点的加速度不断减小,方向不变D,3.[同一坐标系中两个图像](2020广东东莞检测)甲、乙、丙、丁四辆小车从同一地点向同一方向运动的图像如图所示,下列说法中正确的是( )A.甲车做直线运动,乙车做曲线运动B.在0~t1时间内,甲车平均速度等于乙车平均速度C.在0~t2时间内,丙、丁两车在t2时刻相遇D.在0~t2时间内,丙、丁两车加速度总是不相同的B,1.图像“六看”(1)看“轴”(坐标轴代表哪个物理量):x-t图像、v-t图像。(2)看“线”(形状是直线还是曲线):倾斜直线表示y随x均匀变化;曲线表示y随x非均匀变化。(3)看“斜率”:斜率k=表示y随x变化的快慢。,(4)看“点”(特殊点和图线的交点):转折点表示图像的斜率发生突变;两线交点表示对应纵、横坐标轴物理量相等;图线在纵轴上的截距一般表示物理过程的“初始”情况。(5)看“面积”(面积代表哪个物理量):y对x的累积量。(6)看“象限”(图线在时间轴上方还是下方):第1象限代表正方向,第4象限代表负方向。,2.运动的两种图像直线运动的x-t图像(1)意义:反映了直线运动的物体位移随时间变化的规律。(2)图线上某点切线的斜率的意义①斜率的大小:表示物体速度的大小。②斜率的正负:表示物体速度的方向。(3)两种特殊的x-t图像,①若x-t图像是一条平行于时间轴的直线,说明物体处于静止状态。(如甲所示)②若x-t图像是一条倾斜的直线,说明物体在做匀速直线运动。(如乙所示)直线运动的v-t图像(1)意义:反映了直线运动的物体速度随时间变化的规律。(2)图线上某点切线的斜率的意义,①斜率的大小:表示物体加速度的大小。②斜率的正负:表示物体加速度的方向。(3)两种特殊的v-t图像①匀速直线运动的v-t图像是与时间轴平行的直线。(如甲所示)②匀变速直线运动的v-t图像是一条倾斜的直线。(如乙所示)(4)图线与时间轴围成的“面积”的意义,①图线与时间轴围成的“面积”表示相应时间内的位移。②若此面积在时间轴的上方,表示这段时间内的位移方向为正方向;若此面积在时间轴的下方,表示这段时间内的位移方向为负方向。3.应用运动图像的三点注意(1)无论是x-t图像还是v-t图像都只能描述直线运动。(2)x-t图像和v-t图像都不表示物体运动的轨迹。(3)x-t图像和v-t图像的形状由x与t、v与t的函数关系决定。,考点二 匀变速直线运动的四类非常规图像四类图像(1)a-t图像:由v=v0+at可知图像与时间轴所围面积表示速度变化量Δv,如图甲所示。(2)-t图像:由x=v0t+at2可得=v0+at,图像的斜率为a,纵截距为v0,如图乙所示。,(3)v2-x图像:由v2-=2ax可知v2=+2ax,图像斜率为2a,纵截距为,如图丙所示。(4)a-x图像:由v2-=2ax可知图像与x轴所围面积表示,如图丁所示。,,例1动力车在刹车过程中位移和时间的比值与t之间的关系图像如图所示,则下列说法正确的是( )A.动力车的初速度为10m/sB.刹车过程动力车的加速度大小为2.5m/s2C.刹车过程持续的时间为8sD.从开始刹车时计时,经过2s,动力车的位移为30mD,审题关键(1)该图像的横纵坐标对应的物理量存在于哪个运动学公式中?提示:x=v0t+at2(2)如何得到与图像对应的函数关系?提示:由x=v0t+at2变形可得(3)图像的斜率、截距对应哪个物理量?提示:t=0时对应初速度,斜率对应a,解析由x=v0t+得=v0+a·t,可知-t图像的纵截距表示初速度,斜率表示a,所以v0=20m/s,a=-5m/s2,A、B均错;由v=v0+at得当v=0时,t=4s,C错;由x=v0t+得当t=2时,x=30m,D对。,解题感悟1.解题技巧图像反映了两个变量(物理量)之间的函数关系,因此要由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系,来分析图像的意义。2.处理图像问题的流程,1.[-x图像]一质点做直线运动时速度的倒数随位移的变化关系,如图所示,该图中斜线部分面积S表示该过程中质点运动的( )A.位移B.平均速度C.时间D.加速度解析因=x·=t可知斜线部分面积S表示该过程中质点运动的时间,故选C。C,2.[a-t图像]如图所示为从静止开始做直线运动的物体的a-t图像,关于物体的运动下列说法正确的是()A.物体在t=6s时,速度为0B.物体在t=6s时,速度为18m/sC.物体运动前6s的平均速度为9m/sD.物体运动前6s的位移为18mB,解析a-t图线与t轴所围面积为物体速度变化量,则t=6s时,物体的速度v=0+Δv=×6×6m/s=18m/s,选项A错误,B正确;因物体加速度越来越小,其v-t图像如图所示,可知平均速度大于9m/s,位移大于54m,故选项C、D错误。,3.[v2-x图像]一质点以一定的初速度从A点开始向相距8m的B点做直线运动,运动过程中其速度的二次方v2与位移x之间的关系图线如图所示,下列说法正确的是( )A.质点做加速度增大的变加速运动B.质点做匀加速运动,其加速度大小为2m/s2C.质点运动的初速度大小为4m/sD.质点从A点运动到B点所用的时间为8sB,解析根据v2=+2ax可知v2-x图像斜率表示2a,则2a=m/s2=4m/s2,得a=2m/s2,故质点做匀加速直线运动,选项A错误,B正确;代入点(8m,36m2·s-2)可得,v0=2m/s,选项C错误;质点末速度v=6m/s,质点从A点运动到B点所用的时间为t==s=2s,选项D错误。,考点三 追及、相遇问题例2在水平轨道上有两列火车A和B,相距x,A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动,而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动,两车运动方向相同。要使两车不相撞,求A车的初速度v0满足什么条件。解题指导本题可运用“临界条件法”“二次函数极值法”“图像法”等方法解题。,答案v0≤解析解法一 临界条件法设两车运动速度相等时,所用时间为t由v0-(2a)t=at得,t=①A车位移xA=v0t-(2a)t2B车位移xB=at2两车不相撞的条件:xB+x≥xA,即at2+x≥v0t-at2②联立①②得v0≤解法二 二次函数极值法设两车运动了时间t,则xA=v0t-at2xB=at2两车不相撞需要满足Δx=xB+x-xA=at2-v0t+x≥0,则Δxmin=≥0解得v0≤解法三 图像法,经时间t两车发生的位移之差,即原来两车间的距离x,它可用图中的阴影面积来表示,由图像可知x=v0t=v0·=,所以要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0≤利用速度-时间图像求解,先作A、B两车的速度-时间图像,其图像如图所示设经过t时间两车刚好不相撞,则对A车有vt=v0-2at对B车有vt=at联立以上两式解得t=,例3甲车以10m/s的速度在平直的公路上匀速行驶,乙车以4m/s的速度与甲车平行同向做匀速直线运动,甲车经过乙车旁边开始以大小为0.5m/s2的加速度刹车,从甲车刹车开始计时,求:(1)乙车在追上甲车前,两车相距的最大距离;(2)乙车追上甲车所用的时间。,答案(1)36m (2)25s解析(1)当甲车速度大小减至等于乙车速度大小时两车的距离最大,设该减速过程经过的时间为t,则v乙=v甲-at解得t=12s此时甲、乙间距离为Δx=v甲t-at2-v乙t=10×12m-×0.5×122m-4×12m=36m(2)设甲车减速到零所需时间为t1,则有t1==20s,t1时间内,x甲=t1=×20m=100mx乙=v乙t1=4×20m=80m此后乙车运动时间t2==s=5s故乙车追上甲车所用时间:t=t1+t2=25s。,解题感悟1.解答追及和相遇问题的两点技巧,2.追及、相遇问题的解题流程3.三种重要方法(1)临界法:寻找问题中隐含的临界条件,例如速度小者加速追赶速度大者,在两物体速度相等时有最大距离;速度大者减速追赶速度小者,若追不上则在两物体速度相等时有最小距离。,(2)函数法:设两物体在t时刻相遇,然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)=0,若方程f(t)=0无正实数解,则说明这两个物体不可能相遇;若方程f(t)=0存在正实数解,说明这两个物体能相遇。(3)图像法①若用x-t图像求解,分别作出两个物体的x-t图像,如果两个物体的x-t图像相交,则说明两物体相遇。②若用v-t图像求解,则注意比较v-t图线与时间轴包围的面积。,1.如图所示,甲、乙两物体分别从A、C两地由静止出发相向做加速运动,B为AC中点。两物体在AB段的加速度大小均为a1,在BC段的加速度大小均为a2,且a1<a2。若甲由a到c所用时间为t甲,乙由c到a所用时间为t乙,则t甲与t乙的大小关系为(>t乙C.t甲<t乙d.无法确定b,解析设甲在中点b的速度为v,在点c的速度为vt,ab=bc=x,则v2-0=2a1x,-v2=2a2x,解得=2a1x+2a2x。同理可知,对乙亦有=2a1x+2a2x,故甲、乙末速度大小应相等。作出两个物体的v-t图像,由于两物体在ab段、bc段加速度大小相等,两段图线分别平行,两段位移又分别相等,由图看出,t甲>t乙,选项B正确。,2.蓝牙是一种无线技术标准,可实现固定设备、移动设备等之间的短距离数据交换,某同学用安装有蓝牙设备的玩具车A、B进行实验:在距离d=6m的两条平直轨道上,A车自O1点从静止开始以加速度a=2m/s2匀加速向右运动,B车自O2点前方s=3m处的O3点以v0=6m/s向右做匀速直线运动,O1、O2连线与轨道垂直,则两车能通信多长时间?(已知两车间的距离超过s1=10m时,两车无法实现通信,忽略信号传递的时间),答案(2-1)s解析当两车间的距离为s1=10m时,根据几何关系知,两车在轨道方向上的距离s0=8m根据两车在轨道方向的位移关系知,当B车在A车的前面时有v0t+s-at2=s0代入数据得t1=1s,t2=5s当A车在B车的前面时有at'2-(v0t'+s)=s0代入数据得t'=(2+3)s,因为两车之间的距离先增大再减小,然后再增大,可知0~1s内两车之间的距离小于10m,5s~(2+3)s内两车间的距离小于10m则两车能通信的时间t=(2+3-5+1)s=(2-1)s,3.甲、乙两车在平直公路上比赛,某一时刻,乙车在甲车前方L1=11m处,乙车速度v乙=60m/s,甲车速度v甲=50m/s,此时乙车离终点线尚有L2=600m,如图所示,若甲车加速运动,加速度a=2m/s2,乙车速度不变,不计车长。求:(1)经过多长时间甲、乙两车间距离最大,最大距离是多少;(2)到达终点线时甲车能否超过乙车。,答案(1)5s 36m (2)不能解析(1)当甲、乙两车速度相等时,两车间距离最大,则v甲+at1=v乙得t1==s=5s甲车位移x甲=v甲t1+a=275m乙车位移x乙=v乙t1=60×5m=300m此时两车间距离Δx=x乙+L1-x甲=36m(2)甲车追上乙车时,位移关系x甲'=x乙'+L1甲车位移x甲'=v甲t2+a,乙车位移x乙'=v乙t2将x甲'、x乙'代入位移关系式得v甲t2+a=v乙t2+L1代入数值并整理得-10t2-11=0解得t2=-1s(舍去)或t2=11s此时乙车位移x乙'=v乙t2=660m因x乙'>L2,故乙车已冲过终点线,即到达终点线时甲车不能追上乙车。</t乙d.无法确定b,解析设甲在中点b的速度为v,在点c的速度为vt,ab=bc=x,则v2-0=2a1x,-v2=2a2x,解得=2a1x+2a2x。同理可知,对乙亦有=2a1x+2a2x,故甲、乙末速度大小应相等。作出两个物体的v-t图像,由于两物体在ab段、bc段加速度大小相等,两段图线分别平行,两段位移又分别相等,由图看出,t甲></a2。若甲由a到c所用时间为t甲,乙由c到a所用时间为t乙,则t甲与t乙的大小关系为(>
