专题一 运动学图象 追及、相遇问题\n关键能力·分层突破\n考点一 运动学图象的理解和应用1．xt图象的信息(1)xt图象某点切线的斜率表示物体在该时刻的速度．(2)纵坐标之差表示该段时间内的位移．(3)两xt图线的交点表示两物体在该位置、该时刻相遇．\n2．vt图象的信息\n3．xt(位置—时间)图象与vt图象的“六看”一看“轴”xt图象纵轴表示位置，vt图象纵轴表示速度．二看“线”xt图象中倾斜直线表示匀速直线运动，vt图象中倾斜直线表示匀变速直线运动．三看“斜率”xt图象中斜率表示速度，vt图象中斜率表示加速度．四看“面积”vt图象中图线和时间轴围成的“面积”表示位移．五看“纵截距”xt图象中纵截距表示初位置，vt图象中纵截距表示初速度．六看“特殊点”交点：在xt图象上交点表示相遇，在vt图象上交点表示速度相等．\n角度1xt图象例1.[2022·江西省重点中学联考](多选)如图所示，图线OP、MN分别是做直线运动的质点A、B的位移—时间图象，其中OP为开口向下抛物线的一部分，P为图象上一点．PQ为过P点的切线，与x轴交于点Q.则下列说法正确的是()A.t＝4s时，质点A的速率为1m/sB．质点A的加速度大小为0.25m/s2C．质点A的初速度大小为6m/sD．t＝2s时A、B相遇答案：AD\n解析：xt图象切线的斜率表示速度，则t＝4s时质点A的速率为v＝m/s＝1m/s，故A正确；质点A的xt图象为抛物线，结合匀变速直线运动位移时间公式x＝v0t＋at2，当t＝4s时，有10＝4v0＋8a，根据速度时间公式v＝v0＋at，当t＝4s时，有1＝v0＋4a，联立解得v0＝4m/s，a＝－0.75m/s2，所以质点A的初速度大小为4m/s，加速度的大小为0.75m/s2，故B、C错误；由图可知质点B做匀速直线运动，其速度大小为vB＝m/s＝3.25m/s，则质点B的位移表达式为xB＝vBt＝3.25t，设经过t时间A、B相遇，由图可知，xA＋xB＝13m，则有4t－×0.75t2＋3.25t＝13，解得t＝2s（其中t＝s舍去），故t＝2s时A、B相遇，故D正确．\n角度2vt图象例2.[2021·广东卷，8](多选)赛龙舟是端午节的传统活动．下列vt和st图象描述了五条相同的龙舟从同一起点线同时出发、沿长直河道划向同一终点线的运动全过程，其中能反映龙舟甲与其他龙舟在途中出现船头并齐的有()答案：BD\n解析：从vt图象上看，由于所有龙舟出发点相同，故只要存在甲龙舟与其他龙舟从出发到某时刻图线与t轴所围图形面积相等，就存在船头并齐的情况，故A错误，B正确；从st图象上看，图象的交点即代表两龙舟船头并齐，故D正确，C错误．\n命题分析试题情境属于综合性题目，以赛龙舟为素材创设生活实践问题情境必备知识考查st图象、vt图象关键能力考查理解能力、信息加工、推理论证能力．即由图象面积分析龙舟的位移关系学科素养考查运动观念、科学推理．要求考生利用运动观念分析并得出两龙舟的运动关系\n角度3其他运动图象例3.[2022·福建莆田模拟]如图所示为物体做直线运动的图象，下列说法正确的是()A．甲图中，物体在0～t0这段时间内的位移小于v0t0B．乙图中，物体的加速度为2m/s2C．丙图中，阴影面积表示t1～t2时间内物体的加速度变化量D．丁图中，t＝3s时物体的速度为25m/s答案：D\n解析：由vt图线与坐标轴围成的面积表示位移，可知甲图中，物体在0～t0这段时间内的位移大于v0t0（平均速度大于v0），选项A错误；根据v2＝2ax可知乙图中，2a＝1m/s2，则物体的加速度为0.5m/s2，选项B错误；根据Δv＝at可知，丙图中阴影部分的面积表示t1～t2时间内物体的速度变化量，选项C错误；由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，结合丁图可知a＝m/s2＝5m/s2（a前面的易被忽视），即a＝10m/s2，则v0＝－5m/s，故t＝3s时物体的速度为v3＝（－5＋10×3）m/s＝25m/s，选项D正确．\n[思维方法]分析图象类问题的思路：\n跟进训练1．[2022·湖南六校联考]甲、乙两个物体从同一地点同时出发，沿同一直线运动，运动过程中的位移—时间(xt)图象如图所示，下列说法正确的是()A．甲物体始终沿同一方向运动B．乙物体运动过程中位移大小增加得越来越快C．在0～t2时间内，某时刻甲、乙两物体的速度相同D．在0～t2时间内，甲、乙两物体在t1时刻相距最远答案：C\n解析：t1时刻前后甲的xt图线斜率由正变到了负，说明速度方向发生了变化，选项A错误；乙的xt图线斜率恒定，说明乙做匀速直线运动，位移大小均匀增加，选项B错误；由图可知t1～t2时间内甲的xt图线斜率从大于乙的xt图线斜率单调递减到小于乙的xt图线斜率，则甲的xt图线斜率肯定有一时刻与乙的xt图线斜率相等，即两者速度相等，此时甲、乙两者相距最远，选项C正确，D错误．\n2．[2022·湖南株洲1月质检]为节约运行时间，设想一种高铁进站不停车模式．如图(a)所示，站台内铁路正上方有一固定轨道AB，高铁分为可分离的上下副、主车两部分，副车可在主车车顶轨道上滑行．主车保持匀速过站，需下车的乘客提前进入副车甲中，需上车的乘客已在静止于A端的副车乙中等待．车尾到B端瞬间，甲刚好完全滑上固定轨道AB，主、副车分离，副车甲立即减速，车头到A端时刚好停下，乘客下车．当主车车头到A端时，副车乙立即从固定轨道开始加速滑上车顶轨道，当乙的车尾与主车车尾对齐时主、副车刚好共速，锁死一起前进．设高铁以40m/s速度匀速驶来，副车长均为20m，副车甲、乙运动的vt图象如图(b)所示，则主车长为()A．180mB．200mC．220mD．820m答案：B\n解析：根据题意，对副车乙和主车的运动进行简化分析，如图所示．已知副车长20m，由vt图象可知，副车乙发生的位移为x1＝×（24.5－15.5）×40m＝180m，在这一段时间内，主车做匀速直线运动，主车发生的位移为x2＝（24.5－15.5）×40m＝360m，故主车的长度为L＝x2－x1＋20m＝360m－180m＋20m＝200m，选项B正确．\n考点二 追及、相遇问题1．思维流程：\n2．三种分析方法：(1)分析法：应用运动学公式，抓住一个条件、两个关系，列出两物体运动的时间、位移、速度及其关系方程，再求解．(2)极值法：设相遇时间为t，根据条件列出方程，得到关于t的一元二次方程，再利用数学中求极值的方法求解．在这里，常用到配方法、判别式法、不等式法等．(3)图象法：在同一坐标系中画出两物体的运动图象．位移图象的交点表示相遇，速度图象抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系．\n例4.全国第十四届冬季运动会在呼伦贝尔市举行．为此全市开展了丰富多彩的冰上运动．如图所示在游乐场的滑冰道上有甲、乙两同学坐在冰车上进行游戏．当甲从倾角为θ的光滑冰道顶端A由静止开始自由下滑时，在斜面底部B处的乙通过冰钎作用于冰面，从静止开始沿光滑的水平冰道向右做匀加速直线运动．已知甲、乙和冰车均可视为质点，甲通过斜面与水平面的交接处(B处)时，速度的方向改变、大小不变，且最终甲刚好能追上乙，则()A．到甲刚好追上乙时，甲在水平面上和斜面上的滑行时间一定不相等B．到甲刚好追上乙时，甲在水平面上和斜面上的滑行时间一定相等C．甲在斜面上的加速度一定小于乙的加速度D．无法求出甲从过B点至追上乙行进的距离与AB距离之比答案：B\n解析：设甲到达B的时间为t1，追上乙的时间为t2，水平面都是光滑的，甲到达水平面后做匀速直线运动，设甲的速度为v，则甲在水平面上的位移x2＝v（t2－t1）①乙做匀加速直线运动，被甲追上时的速度也是v，乙的位移x2＝t2②联立①②可得t2＝2（t2－t1），t2＝2t1，可知到甲刚好追上乙时，甲在水平面上和斜面上的滑行时间一定相等，故A错误，B正确；由以上的分析可知，甲的速度达到v用的时间少，所以甲在斜面上的加速度一定大于乙的加速度，故C错误；AB之间的距离x1＝·t1＝·＝，所以甲从过B点至追上乙行进的距离与AB距离之比为2，故D错误．\n教你解决问题[读题审题]―→完成信息转化(1)“光滑冰道”甲在斜面上做匀加速直线运动(2)“光滑的水平冰道”甲在水平面上做匀速直线运动(3)“向右做匀加速直线运动”乙做匀加速运动(4)“刚好能追上乙”甲、乙速度相等时，甲刚好追上乙\n跟进训练3.甲、乙两辆汽车在同一平直公路上运动，t＝0时刻甲车遇到紧急情况刹车，t＝2s时两车恰好相遇，两车运动的速度—时间图象如图所示，两辆汽车均可看作质点，则关于两车的说法正确的是()A．甲车的加速度比乙车的加速度小B．t＝0时，甲、乙两车恰好在同一地点C.在甲、乙两车相遇前，t＝s时，甲、乙两车相距最远D．t＝4s时乙车在甲车的前面m处答案：C\n解析：由题图可知，甲的加速度a甲＝－m/s2，乙的加速度a乙＝m/s2，加速度是矢量，其正负只表示方向，不表示大小，选项A错误；两车在t＝2s时的速度分别为v甲＝v0甲＋a甲t＝m/s＝m/s，v乙＝2m/s，则0～2s内，甲的位移x甲2＝××2m＝m，乙的位移x乙2＝×（1＋2）×2m＝3m，两车的位移不相等，又两车在t＝2s时相遇，则t＝0时两车不在同一地点，选项B错误；由运动过程分析知，相遇前甲、乙两车速度相等时两车相距最远，设从t＝0时刻起，经过时间t′1甲、乙两车速度相等，由图象可得v0甲＋a甲t′1＝v0乙＋a乙t′1，解得t′1＝s，则在t＝s时两车速度相等，此时为甲、乙两车相遇前相距最远的时刻，故C正确；t＝2s时两车相遇，乙车在2～4s内的位移x乙＝v乙t24＋a乙＝m＝5m，t＝3s时，甲车停止运动，则甲车在2～4s内的位移x甲＝－a甲＝m，则t＝4s时乙车在甲车前面的Δx＝x乙－x甲＝m＝m处，选项D错误．\n4．如图所示为某城市十字路口道路示意图，道路为双向四车道，每个车道宽度为2.4m．某自行车从道路左侧车道线沿停车线向右匀速行驶，速率为14.4km/h，同时一辆汽车在最右侧车道正中间行驶，速率为54km/h，汽车前端距离停车线20m.已知汽车的宽度与自行车的长度相等均为1.8m，汽车的车身长4.8m．汽车司机为避免与自行车相撞马上采取刹车制动，最大制动加速度大小为.求：(1)汽车的最短刹车距离sm；(2)请通过计算判断当汽车以最大加速度刹车时是否能够避免相撞．\n解析：（1）已知v1＝14.4km/h＝4m/s，v2＝54km/h＝15m/s.设汽车以最大加速度刹车，则－2asm＝0－，代入数据解得sm＝22.5m.（2）以最大加速度刹车，设汽车车头到达停车线所用时间为t，则s＝v2t－at2，解得t＝2s或者t＝4s，又因为汽车停下的时间为t′＝＝s＝3s，故t＝4s不符题意，舍去；此时以左侧车道线为起点，车头所占位置范围为s1～s2，7.5m<s1<9.3m，自行车在t＝2s的时间内行驶的位移为x，则有x＝v1t＝4×2m＝8m，自行车此时所占位置范围为6.2m<s2<8m.由此可知，它们的位置范围有重叠，不能避免相撞．答案：（1）22.5m（2）见解析
