第七章立体几何\n高考大题规范解答系列(四)——立体几何\n(2017·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．(1)证明：AC⊥BD；(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．例1考点一线面的位置关系与体积计算\n【分析】①看到证明线线垂直(AC⊥BD)，想到证明线面垂直，通过线面垂直证明线线垂直．②看到求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比，想到确定同一平面，转化为求高的比．\n\n\n\n\n\n【名师点评】1．核心素养：空间几何体的体积及表面积问题是高考考查的重点题型，主要考查考生“逻辑推理”及“直观想象”的核心素养．2．解题技巧：(1)得步骤分：在立体几何类解答题中，对于证明与计算过程中的得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以，对于得分点步骤一定要写，如第(1)问中AC⊥DO，AC⊥BO；第(2)问中BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2等．(2)利用第(1)问的结果：如果第(1)问的结果对第(2)问的证明或计算用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题就是在第(1)问的基础上得到DO＝AO.\n〔变式训练1〕(2020·课标Ⅰ)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°.\n[解析](1)证明：由题设可知，PA＝PB＝PC．由于△ABC是正三角形，故可得△PAC≌△PAB，△PAC≌△PBC．又∠APC＝90°，故∠APB＝90°，∠BPC＝90°，从而PB⊥PA，PB⊥PC，故PB⊥平面PAC，又PB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC．\n\n例2考点二线面位置关系与空间距离的计算\n\n\n\n\n【评分细则】①作出辅助线，并用语言正确表述得1分．②得出DE⊥AB，CE⊥AB各得1分．③得出AB⊥平面CDE得1分．④得出AB⊥CD得1分．⑤求出CD得1分．⑥求出S△ACD得1分．⑦求出S△ECD得2分．⑧得出VB－ACD＝VB－CDE＋VA－CDE得1分．⑨正确求出d得2分．\n【名师点评】核心素养：本题主要考查线、面垂直的判定与性质及利用体积法求点到平面的距离，考查学生的逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力．\n〔变式训练2〕(2021·陕西榆林三模)如图，在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是BB1的中点，点F在棱AB上，且AF＝2FB，设直线BD1，DE相交于点G.(1)证明：GF∥平面AA1D1D；(2)求点B到平面GEF的距离．\n\n\n\n例3考点三线面的位置关系与空间角的计算\n(1)证明：AE⊥平面PBC；(2)已知点F是棱BC的靠近B点的三等分点，求平面PAC与平面AEF所成锐二面角的余弦值．【分析】①证AE和平面PBC内两条直线垂直．②建立空间直角坐标系，分别求平面PAC、平面AEF的法向量，求两法向量夹角余弦值即可．\n\n\n\n\n\n【名师点评】1．核心素养：本题主要考查线面垂直的证明以及空间二面角的求解，考查考生的逻辑推理能力与空间想象力，考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算．2．解题技巧：(1)得步骤分：对于解题过程中得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写，写不全则不能得全分．(2)思维发散：由于本题很容易发现PA、AB、AD两两垂直，故也可用向量法证明AE⊥BC，AE⊥PB，进而证得AE⊥平面PBC．\n(3)思维升华：①运用空间向量法求空间角的一般步骤：a.建立恰当的空间直角坐标系；b.求出相关点的坐标；c.写出向量的坐标；D．结合公式进行论证、计算；e.转化为几何结论．②求空间角时需注意：a.两条异面直线所成的角α不一定是两直线的方向向量的夹角β，cosα＝|cosβ|；b.两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，两者有可能互补；c.直线和平面所成的角的正弦值等于平面的法向量与直线的方向向量夹角的余弦值的绝对值．\n〔变式训练3〕(2020·浙江)如图，在三棱台ABC－DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，DC＝2BC．(1)证明：EF⊥DB；(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．\n[解析](1)证明：如图，过点D作DO⊥AC，交直线AC于点O，连接OB．\n\n\n\n\n\n\n例4考点四立体几何中的折叠问题\n【分析】①利用面面平行的判定和性质即可证明；②建立空间直角坐标系，分别求出二面角两个面的法向量，利用空间向量法求解．\n\n\n\n\n\n【评分细则】①由线线平行得到线面平行，给2分．②同理再推出一个线面平行，给1分．③由线面平行推出面面平行，给1分．④由面面平行得到线面平行，给1分．⑤由线线垂直证出线面垂直，为建系作好准备，给2分．⑥建立适当坐标系，写出相应点的坐标及向量坐标，给1分．⑦正确求出平面的法向量，给2分．⑧利用公式求出两个向量夹角的余弦值，并正确写出二面角的余弦值，给2分．\n【名师点评】1．核心素养：本题考查线面平行的判定与性质定理，考查二面角的求解，考查的数学核心素养是空间想象力、推理论证能力及数学运算能力．2．解题技巧：(1)得分步骤：第(1)问中的DE⊂平面CDEF，MG⊄平面CDEF，要写全．(2)得分关键：第(2)中，证明线面垂直从而得到线线垂直，才能建系．\n(3)折叠问题的求解，关键是分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，折叠前位于“折痕”同侧的点、线间的位置和数量关系折叠后不变，而折叠前位于“折痕”两侧的点、线间的位置关系折叠后会发生变化，对于不变的关系可在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决．\n〔变式训练4〕(2022·湖北部分重点中学联考)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB＝2BC，E是CD的中点．将△ADE沿AE折起到△AD′E的位置．\n\n\n\n\n\n\n例5考点五立体几何中的探索性问题\n(1)若点M是ED的中点，求证：CM∥平面ABE；(2)若EC＝2，在棱EB上是否存在点F，使得二面角E－AD－F的大小为60°？若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由．\n【标准答案】——规范答题 步步得分(1)\n\n\n\n\n【评分细则】①正确作出辅助线得1分，证出GM綊BC得1分．②证出CM∥GB得1分，证出CM∥平面ABE得1分．③正确找到面面垂直的三直线得1分，建立坐标系得1分．④正确写出相关向量坐标得2分．⑤正确求出二面角两个面的法向量得2分．⑥根据题意求λ得1分，做出正确判断得1分．\n【名师点评】1．核心素养：本题考查线面的位置关系及面面角，考查学生转化与化归的思想，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算．2．解题技巧：(1)写全得分步骤：对于解题过程中得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写，如第(1)问中BG⊂平面ABE，CM⊄平面ABE.(2)写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在解答时一定要写清得分关键点，如第(2)问中空间直角坐标系的建立；再如EH⊥平面ABCD等．(3)思维发散：也可用向量法证明CM∥平面ABE.\n〔变式训练5〕(2022·陕西省西安中学模拟)如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E是BC中点，F是PC上的点．\n\n[解析](1)连接AC，因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，所以△ABC是正三角形，∵E是BC的中点，∴AE⊥BC，又AD∥BC，∴AE⊥AD，∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE，又PA∩AD＝A，∴AE⊥平面PAD，又AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PAD．\n(2)又PA⊥AD，∴PA、AE、AD两两垂直，以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，\n\n\n
