第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ\n第一讲 函数的概念及其表示\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n知识点一 函数的概念及其表示1．函数的概念函数两个集合A，B设A，B是两个___________对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的_______一个数x，在集合B中都有___________的数f(x)和它对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记法函数y＝f(x)，x∈A非空数集任意唯一确定\n2．函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的_________；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的_______.(2)如果两个函数的定义域相同，并且___________完全一致，则这两个函数为相等函数．定义域值域对应关系\n3．函数的表示法表示函数的常用方法有_________、图象法和列表法．知识点二 分段函数1．若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数表示的是一个函数．2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的_______.解析法并集\n知识点三 函数的定义域函数y＝f(x)的定义域\n1．求定义域的步骤：(1)写出使函数式有意义的不等式(组)；(2)解不等式(组)；(3)写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出)\n2．求函数定义域的主要依据(1)整式函数的定义域为R.(2)分式函数中分母__________.(3)偶次根式函数被开方式______________.(4)一次函数、二次函数的定义域均为____.(5)函数f(x)＝x0的定义域为______________.(6)指数函数的定义域为____.(7)对数函数的定义域为____________.不等于0大于或等于0R{x|x≠0}R(0，＋∞)\nR{y|y≠0}(0，＋∞)R\n1．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．2．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．3．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．4．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．\n5．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的_______.6．函数f(x)与f(x＋a)(a为常数a≠0)的值域相同．并集\n××√\n××\n××√\nD\n\n3．(必修1P73T11改编)函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是_______________________；值域是___________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是___________________.[－3，0]∪[2，3][1，5][1，2)∪(4，5]\nC\n(0，＋∞)\n考点突破·互动探究\n例1考点一求函数的定义域——多维探究D\n\n例2B[0，3)\n[分析]求抽象函数定义域的关键，f后面括号内部分取值范围相同．\n\n[引申1]若将本例中f(x)与f(2x＋1)互换，结果如何？[解析]f(2x＋1)的定义域为(－1，0)，即－1<x<0，∴－1<2x＋1<1，∴f(x)的定义域为(－1，1)．\n[引申2]若将本例中f(x)改为f(2x－1)定义域改为[0，1]，求y＝f(2x＋1)的定义域，又该怎么办？[解析]∵y＝f(2x－1)定义域为[0，1]．∴－1≤2x－1≤1，要使y＝f(2x＋1)有意义应满足－1≤2x＋1≤1，解得－1≤x≤0，因此y＝f(2x＋1)定义域为[－1，0]．\n函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．\nBB\nB\n\n求下列函数的解析式：(1)已知f(1－sinx)＝cos2x，求f(x)解析式；例3考点二求函数的解析式——师生共研x2＋x＋1\n[解析](1)(换元法)设1－sinx＝t，t∈[0，2]，则sinx＝1－t，∵f(1－sinx)＝cos2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]．即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2]．\n\n(4)(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x.(5)令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y，∴f(y)＝y2＋y＋1，即f(x)＝x2＋x＋1.\n求函数解析式的五种方法\n\nx2＋3\n\n\n\n\n例4考点三分段函数及应用——多维探究D6\n\n例5A\n[解析]∵f(1)＝21＝2，∴f(a)＋2＝0，∴f(a)＝－2，当a≤0时，f(a)＝a＋1＝－2，∴a＝－3，当a>0时，f(a)＝2a＝－2，方程无解，综上有a＝－3.\n例6D\n\n分段函数问题的求解策略(1)分段函数的求值问题，应首先确定自变量的值属于哪个区间，然后选定相应的解析式代入求解．(2)分段函数与方程、不等式的交汇问题，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，最后应注意检验所求参数值(范围)是否适合相应的分段区间．\nD\nC\n\n\n名师讲坛·素养提升\n函数值域的求法求函数值域的一般方法(1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)简单性法；(6)换元法；(7)数形结合法；(8)导数法．\n例7\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
