第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ第一讲 函数及其表示练好题·考点自测1.下列说法中正确的个数是( )(1)f(x)=1x-4+3-x是一个函数.(2)已知f(x)=m(x∈R),则f(m3)=m3.(3)y=lnx2与y=2lnx表示同一函数.(4)f(x)=x2+1,-1≤x≤1,x+3,x>1或x<-1,则f(-x)=x2+1,-1≤x≤1,-x+3,x>1或x<-1. A.0B.1C.2D.32.[2021江西模拟]已知函数f(x)的图象如图2-1-1所示,则函数f(x)的解析式可能是( )图2-1-1A.f(x)=(4x+4-x)|x|B.f(x)=(4x-4-x)log4|x|C.f(x)=(4x+4-x)log14|x|D.f(x)=(4x+4-x)log4|x|3.[2016全国卷Ⅱ,10,5分][文]下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是( )A.y=xB.y=lgxC.y=2xD.y=1x4.[2021贵阳市摸底测试]已知函数f(x)=sinπx6,x≤0,log13x,x>0,则f(f(9))=( )A.12B.-12C.32D.-325.[2020北京,11,5分]函数f(x)=1x+1+lnx的定义域是 . \n6.[福建高考,4分]若函数f(x)=-x+6,x≤2,3+logax,x>2(a>0,且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值范围是 . 拓展变式1.已知函数f(x)=1x(x<0),x2(x≥0),g(x)=x+1,则(1)g(f(x))= ;(2)f(g(x))= . 2.(1)已知函数f(x)=lg(2a·x-1)的定义域是(2,+∞),则实数a的取值集合是 . (2)已知函数f(x)=12(x-1)2+1的定义域与值域都是[1,b](b>1),则实数b的值为 . 3.(1)已知函数f(x)=2x+1,x<1,x2+ax,x≥1且f(f(0))=4a,则f(-2)= ,实数a= . (2)[2017全国卷Ⅲ,16,5分][文]设函数f(x)=x+1,x≤0,2x,x>0,则满足f(x)+f(x-12)>1的x的取值范围是 . (3)[2016北京,14,5分]设函数f(x)=x3-3x,x≤a,-2x,x>a.①若a=0,则f(x)的最大值为 ; ②若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是 . 4.[2017山东,10,5分][文]若函数exf(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是( )A.f(x)=2-xB.f(x)=x2C.f(x)=3-xD.f(x)=cosx5.函数y=f(x)的图象是如图2-1-3所示的折线段OAB,其中A(1,2),B(3,0),函数g(x)=x·f(x),那么函数g(x)的值域为( )A.[0,2] B.[0,94]C.[0,32] D.[0,4]图2-1-3\n答案第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ第一讲 函数及其表示1.B 对于(1),定义域是空集,不满足函数的概念,故(1)错误;对于(2),f(x)是常数函数,所以f(m3)=m,故(2)错误;对于(3),两个函数的定义域不同,故不是同一函数,(3)错误;对于(4),结合分段函数可知(4)正确.所以正确命题的个数为1,故选B.2.D 对于A,f(x)大于等于0恒成立,与图象不符,排除;对于B,当x<-1时,f(x)<0,与图象不符,排除;对于C,当x>1时,f(x)<0,与图象不符,排除.选D.3.D 解法一 函数y=10lgx的定义域为(0,+∞),当x>0时,y=10lgx=x,故函数的值域为(0,+∞).只有选项D符合.解法二 易知函数y=10lgx中x>0,排除选项A,C;因为10lgx必为正值,所以排除选项B.选D.4.D ∵f(x)=sinπ6x,x≤0,log13x,x>0,∴f(9)=log139=-2,则f(f(9))=f(-2)=sin(-π3)=-32,故选D.5.(0,+∞) 函数f(x)=1x+1+lnx的自变量满足x+1≠0,x>0,∴x>0,即定义域为(0,+∞).6.(1,2] 因为f(x)=-x+6,x≤2,3+logax,x>2,所以当x≤2时,f(x)≥4.又函数f(x)的值域是[4,+∞),所以a>1,3+loga2≥4,解得1<a≤2,所以实数a的取值范围是(1,2].1.(1)1x+1(x<0),x2+1(x≥0) 当x<0时,f(x)=1x,则g(f(x))=1x+1;当x≥0时,f(x)=x2,则g(f(x))=x2+1.∴g(f(x))=1x+1(x<0),x2+1(x≥0).(2)1x+1(x<-1),(x+1)2(x≥-1) 令g(x)=x+1<0,得x<-1,则此时f(g(x))=1x+1.令g(x)=x+1≥0,得x≥-1,则此时f(g(x))=(x+1)2.∴f(g(x))=1x+1(x<-1),(x+1)2(x≥-1).2.(1){-1} 由题意得,不等式2a·x-1>0的解集为(2,+∞),由2a·x-1>0可得x>12a,∴12a=2,∴a=-1.(2)3 f(x)=12(x-1)2+1,x∈[1,b]且b>1,f(1)=1,f(b)=12(b-1)2+1,函数图象的对称轴为直线x=1,且f(x)在[1,b]上单调递增.∴函数的值域为[1,12(b-1)2+1].由已知得12(b-1)2+1=b,解得b=3或b=1(舍).3.(1)54 2 依题意知f(-2)=2-2+1=54.因为f(0)=20+1=2,所以f(f(0))=f(2)=22+2a=4a,解得a=2.(2)(-14,+∞) 当x≤0时,f(x)+f(x-12)=x+1+x-12+1=2x+32>1,即-14<x≤0;当0<x≤12时,f(x)+f(x-12)=2x+x+1>1恒成立;当x>12时,f(x)+f(x-12)=2x+2x-12>1恒成立.综上所述,x的取值范围是(-14,+∞).\n(3)①2 若a=0,则f(x)=x3-3x,x≤0,-2x,x>0.当x>0时,-2x<0;当x≤0时,f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),令f'(x)>0,得x<-1,令f'(x)<0,得-1<x≤0,所以函数f(x)在(-∞,-1]上单调递增,在(-1,0]上单调递减,所以函数f(x)在(-∞,0]上的最大值为f(-1)=2.综上可得,函数f(x)的最大值为2.②(-∞,-1) 函数y=x3-3x与y=-2x的大致图象如图D2-1-1所示,若函数f(x)=x3-3x,x≤a,-2x,x>a无最大值,由图象可知-2a>2,解得a<-1.所以实数a的取值范围是(-∞,-1).图D2-1-14.A 对于选项A,f(x)=2-x=(12)x,则exf(x)=ex·(12)x=(e2)x,∵e2>1,∴exf(x)在R上单调递增,∴f(x)=2-x具有M性质.对于选项B,f(x)=x2,exf(x)=exx2,[exf(x)]'=ex(x2+2x),令ex(x2+2x)>0,得x>0或x<-2;令ex(x2+2x)<0,得-2<x<0,∴函数exf(x)在(-∞,-2)和(0,+∞)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,∴f(x)=x2不具有M性质.对于选项C,f(x)=3-x=(13)x,则exf(x)=ex·(13)x=(e3)x,∵0<e3<1,∴y=(e3)x在R上单调递减,∴f(x)=3-x不具有M性质.对于选项D,f(x)=cosx,exf(x)=excosx,则[exf(x)]'=ex(cosx-sinx)≥0在R上不恒成立,故exf(x)=excosx在R上不是单调递增的,所以f(x)=cosx不具有M性质.故选A.5.B 由题图可知,直线OA的方程是y=2x;因为kAB=0-23-1=-1,所以直线AB的方程为y=-(x-3)=-x+3.所以f(x)=2x,0≤x≤1,-x+3,1<x≤3,所以g(x)=xf(x)=2x2,0≤x≤1,-x2+3x,1<x≤3.当0≤x≤1时,g(x)=2x2,此时函数g(x)的值域为[0,2];当1<x≤3时,g(x)=-x2+3x=-(x-32)2+94,显然,当x=32时,函数g(x)取得最大值94;当x=3时,函数g(x)取得最小值0.此时函数g(x)的值域为[0,94].综合上述,函数g(x)的值域为[0,94].故选B.
