第七章 不等式第一讲 不等关系与一元二次不等式练好题·考点自测1.下列结论中,正确的个数为( )①两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种;②若ab>1,则a>b;③一个不等式的两边同时加上或同时乘以同一个数,不等号方向不变;④一个非零实数越大,则其倒数就越小;⑤a>b>0,c>d>0⇒ad>bc;⑥ab>0且a>b⇒1a<1b. A.2B.3C.4D.52.下列说法中,正确的个数为( )(1)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.(3)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.(4)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0.(5)x-ax-b≥0⇔(x-a)(x-b)≥0(a≠b).(6)(x+1)x-1≥0的解集为[1,+∞).A.2B.3C.4D.53.[2019全国卷Ⅱ,12,5分][理]设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-89,则m的取值范围是( )A.(-∞,94]B.(-∞,73]C.(-∞,52]D.(-∞,83]4.[2019天津,10,5分]设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为 . 5.[2019北京,14,5分][理]李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元; ②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为 . 第4页共4页\n拓展变式1.[2016北京,5,5分][理]已知x,y∈R,且x>y>0,则( )A.1x-1y>0B.sinx-siny>0C.(12)x-(12)y<0D.lnx+lny>02.(1)不等式(x+5)(3-2x)≥6的解集是( )A.{x|x≤-1或x≥92}B.{x|-1≤x≤92}C.{x|x≤-92或x≥1}D.{x|-92≤x≤1}(2)已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是[-12,-13],则不等式x2-bx-a<0的解集为 . 3.已知关于x的不等式2x-1>m(x2-1).(1) 实数m,使不等式对任意x∈R恒成立(填存在、不存在); (2)若对于m∈[-2,2],不等式恒成立,则实数x的取值范围为 ; (3)若对于x∈(1,+∞),不等式恒成立,则实数m的取值范围为 . 答案第一讲 不等关系与一元二次不等式1.B 由不等关系及不等式的性质可知①⑤⑥正确.对于②,当a=-2,b=-1时,a<b,故②错误;对于③,当不等式的两边同时乘以同一个负数时,不等号的方向改变,故③错误;对于④,如2>-2,12>-12,故④错误.故选B.2.B 由三个“二次”间的关系可知(1)(2)正确;对于(3),当a<0时,解集为∅,故(3)错误;对于(4),当a=b=c=0时也满足不等式在R上恒成立,故(4)错误;对于(5),等价符号的右侧缺少条件“x≠b”,故(5)错误;对于(6),解不等式可知(6)正确.故选B.3.B 当-1<x≤0时,0<x+1≤1,则f(x)=12f(x+1)=12(x+1)x;当1<x≤2时,0<x-1≤1,则f(x)=2f(x-1)=2(x-1)(x-2);当2<x≤3时,0<x-2≤1,则f(x)=2f(x-1)=22f(x-2)=22(x-2)(x-3);…….由此可得f(x)=……12(x+1)x,-1<x≤0,x(x-1),0<x≤1,2(x-1)(x-2),1<x≤2,22(x-2)(x-3),2<x≤3,……第4页共4页\n据此作出函数f(x)的图象,如图D7-1-1所示.可知当2<x≤3时,令22(x-2)(x-3)=-89,整理得(3x-7)(3x-8)=0,解得x=73或x=83,将这两个值标注在图中.要使对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-89,则必有m≤73,即实数m的取值范围是(-∞,73],故选B.4.(-1,23) 3x2+x-2<0即(3x-2)(x+1)<0,所以-1<x<23.5.①130 顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,总价为60+80=140(元),又140>120,所以优惠10元,顾客实际需要付款130元.②15 设顾客一次购买的水果总价为m元.由题意易知,当0<m<120时,x=0,当m≥120时,(m-x)×80%≥m×70%,得x≤m8对任意m≥120恒成立.又m8≥15,所以x的最大值为15.1.C 解法一(特殊值法) 由题意知,x>y>0,对于选项A,取x=1,y=12,则1x-1y=1-2=-1<0,排除A;对于选项B,取x=π,y=π2,则sinx-siny=sinπ-sinπ2=-1<0,排除B;对于选项D,取x=2,y=12,则lnx+lny=ln(xy)=ln1=0,排除D.选C.解法二(单调性法) 因为函数y=(12)x在R上单调递减,且x>y>0,所以(12)x<(12)y,即(12)x-(12)y<0.2.(1)D 不等式(x+5)(3-2x)≥6可化为2x2+7x-9≤0,所以(2x+9)(x-1)≤0,解得-92≤x≤1.所以不等式(x+5)(3-2x)≥6的解集是{x|-92≤x≤1}.故选D.(2)(2,3) 由题意知-12,-13是方程ax2-bx-1=0的两根,所以由根与系数的关系得-12+(-13)=ba,-12×(-13)=-1a.解得a=-6,b=5,不等式x2-bx-a<0即x2-5x+6<0,解集为(2,3).3.(1)不存在 原不等式等价于mx2-2x+(1-m)<0,当m=0时,-2x+1<0不恒成立;当m≠0时,若mx2-2x+(1-m)<0对于任意x∈R恒成立,则m<0且Δ=4-4m(1-m)<0,解得m∈⌀.综上,不存在实数m,使不等式恒成立.(2)(-1+72,1+32) 设f(m)=(x2-1)m-(2x-1),第4页共4页\n当m∈[-2,2]时,f(m)<0恒成立.而f(m)在m∈[-2,2]时表示线段,故f(m)<0在[-2,2]上恒成立⇔f(2)<0,f(-2)<0⇔2x2-2x-1<0 ①,-2x2-2x+3<0 ②.由①得1-32<x<1+32.由②得x<-1-72或x>-1+72.所以x的取值范围是(-1+72,1+32).(3)(-∞,0] 因为x>1,所以m<2x-1x2-1.令2x-1=t(t>1),则x2-1=t2+2t-34,所以m<4tt2+2t-3=4t-3t+2.设g(t)=t-3t+2,t∈(1,+∞),显然g(t)在(1,+∞)上为增函数,所以g(t)>0,所以m≤0.第4页共4页
