2022高考数学真题分类汇编六、数列一、选择题1.（2022·全国乙（文）T10）已知等比数列的前3项和为168，，则（）A.14B.12C.6D.3【答案】D【解析】【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，所以，则，解得，所以.故选：D.2.（2022·全国乙（理）T8）已知等比数列的前3项和为168，，则（）A.14B.12C.6D.3【答案】D【解析】【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列的公比为，\n若，则，与题意矛盾，所以，则，解得，所以.故选：D.3.（2022·全国乙（理）T4）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据，再利用数列与的关系判断中各项的大小，即可求解.【详解】解：因为，所以，，得到，同理，可得，又因为，\n故，；以此类推，可得，，故A错误；，故B错误；，得，故C错误；，得，故D正确.故选：D.4.（2022·新高考Ⅱ卷T3）中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，若是公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（）\nA.0.75B.0.8C.0.85D.0.9【答案】D【解析】【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.【详解】设，则，依题意，有，且，\n所以，故，故选：D5.（2022·浙江卷T10）已知数列满足，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先通过递推关系式确定除去，其他项都在范围内，再利用递推公式变形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放缩可得出．【详解】∵，易得，依次类推可得由题意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,\n又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；综上：．故选：B．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.二、填空题1.（2022·全国乙（文）T13）记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．【答案】2【解析】【分析】转化条件为，即可得解.【详解】由可得，化简得，即，解得.故答案为：2.2.（2022·北京卷T15）己知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：\n①的第2项小于3；②为等比数列；③为递减数列；④中存在小于的项．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①③④【解析】【分析】推导出，求出、的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.【详解】由题意可知，，，当时，，可得；当时，由可得，两式作差可得，所以，，则，整理可得，因为，解得，①对；假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，所以，，可得，解得，不合乎题意，故数列不等比数列，②错；当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；假设对任意，，则，所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对.故答案为：①③④.\n【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.三、解答题1.（2022·全国甲（文T18）(理T17）记为数列的前n项和．已知．（1）证明：是等差数列；（2）若成等比数列，求的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；（2）由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．【小问1详解】解：因为，即①，当时，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列．【小问2详解】\n解：由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时．2.（2022·新高考Ⅰ卷T17）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）证明：．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.【小问1详解】\n∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，∴,∴,∴当时，，∴,整理得：,即,∴，显然对于也成立，∴的通项公式；【小问2详解】∴3.（2022·新高考Ⅱ卷T17）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．\n（1）证明：；（2）求集合中元素个数．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；（2）根据题意化简可得，即可解出．【小问1详解】设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．【小问2详解】由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．4.（2022·北京卷T21）已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．（1）判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；（2）若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；（3）若为连续可表数列，且，求证：．【答案】（1）是连续可表数列；不是连续可表数列．（2）证明见解析．（3）证明见解析．【解析】\n【分析】（1）直接利用定义验证即可；（2）先考虑不符合，再列举一个合题即可；（3）时，根据和的个数易得显然不行，再讨论时，由可知里面必然有负数，再确定负数只能是，然后分类讨论验证不行即可．【小问1详解】，，，，，所以是连续可表数列；易知，不存在使得，所以不是连续可表数列．【小问2详解】若,设为,则至多，6个数字，没有个，矛盾；当时,数列，满足，，，，，，，，．【小问3详解】，若最多有种，若，最多有种，所以最多有种，若，则至多可表个数，矛盾,从而若,则，至多可表个数，而，所以其中有负的，从而可表1~20及那个负数（恰21个），这表明中仅一个负的，没有0，且这个负的在中绝对值最小，同时中没有两数相同,设那个负数为，则所有数之和，，，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足个，（仅一种方式），与2相邻，若不在两端,则形式，\n若，则（有2种结果相同，方式矛盾），，同理，故在一端，不妨为形式，若,则（有2种结果相同，矛盾），同理不行，，则（有2种结果相同，矛盾），从而，由于,由表法唯一知3,4不相邻,、故只能，①或，②这2种情形，对①：，矛盾，对②：，也矛盾，综上．【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为可表数列核心就是是否存在连续的几项（可以是一项）之和能表示从到中间的任意一个值．本题第二问时，通过和值可能个数否定；第三问先通过和值的可能个数否定，再验证时，数列中的几项如果符合必然是的一个排序，可验证这组数不合题．5.（2022·浙江卷T20）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．（1）若，求；（2）若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等差数列通项公式及前项和公式化简条件，求出，再求；(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求的范围.【小问1详解】\n因为，所以，所以，又，所以，所以，所以，【小问2详解】因为，，成等比数列，所以，，，由已知方程的判别式大于等于0，所以，所以对于任意的恒成立，所以对于任意的恒成立，当时，，当时，由，可得当时，，又所以
