2022年全国高考理科数学试题分类汇编4：数列一、选择题．（2022年高考上海卷（理））在数列中,,若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素,()则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为()(A)18(B)28(C)48(D)63【答案】A.．（2022年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知数列满足,则的前10项和等于(A)(B)(C)(D)【答案】C．（2022年高考新课标1（理））设的三边长分别为,的面积为,,若,,则()A.{Sn}为递减数列B.{Sn}为递增数列C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列【答案】B．（2022年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））函数的图像如图所示,在区间上可找到个不同的数使得则的取值范围是(A)(B)(C)(D)【答案】B．（2022年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））已知等比数列的公比为q,记-19-\n则以下结论一定正确的是()A.数列为等差数列,公差为B.数列为等比数列,公比为C.数列为等比数列,公比为D.数列为等比数列,公比为
【答案】C
．（2022年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））等比数列的前项和为,已知,,则
(A)(B)(C)(D)【答案】C．（2022年高考新课标1（理））设等差数列的前项和为,则()A.3B.4C.5D.6【答案】C．（2022年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））下面是关于公差的等差数列的四个命题:其中的真命题为(A)(B)(C)(D)【答案】D．（2022年高考江西卷（理））等比数列x,3x+3,6x+6,..的第四项等于A.-24B.0C.12D.24【答案】A二、填空题．（2022年高考四川卷（理））在等差数列中,,且为和的等比中项,求数列的首项、公差及前项和.【答案】解:设该数列公差为,前项和为.由已知,可得
.
-19-\n所以,
解得,或,即数列的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.
所以数列的前项和或．（2022年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））等差数列的前项和为,已知,则的最小值为________.【答案】．（2022年高考湖北卷（理））古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,,第个三角形数为.记第个边形数为,以下列出了部分边形数中第个数的表达式:三角形数正方形数五边形数六边形数
可以推测的表达式,由此计算___________.选考题【答案】1000．（2022年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））在正项等比数列中,,,则满足的最大正整数的值为_____________.【答案】12．（2022年高考湖南卷（理））设为数列的前n项和,则(1)_____;(2)___________.【答案】;．（2022年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））当-19-\n时,有如下表达式:两边同时积分得:从而得到如下等式:请根据以下材料所蕴含的数学思想方法,计算:【答案】．（2022年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知是等差数列,,公差,为其前项和,若成等比数列,则【答案】．（2022年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前项和__________.【答案】．（2022年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））在等差数列中,已知,则_____.【答案】．（2022年高考陕西卷（理））观察下列等式:照此规律,第n个等式可为_______.【答案】．（2022年高考新课标1（理））若数列{}的前n项和为Sn=,则数列{}的通项公式是=______.-19-\n【答案】=.．（2022年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））如图,互不-相同的点和分别在角O的两条边上,所有相互平行,且所有梯形的面积均相等.设若则数列的通项公式是_________.【答案】．（2022年高考北京卷（理））若等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=_______;前n项和Sn=___________.【答案】2,．（2022年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知等比数列是递增数列,是的前项和,若是方程的两个根,则____________.【答案】63三、解答题．（2022年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））设函数,证明:(Ⅰ)对每个,存在唯一的,满足;(Ⅱ)对任意,由(Ⅰ)中构成的数列满足.【答案】解:(Ⅰ)是x的单调递增函数,也是n的单调递增函数..
-19-\n
综上,对每个,存在唯一的,满足;(证毕)
(Ⅱ)由题知
上式相减:
.
法二:
-19-\n
．（2022年高考上海卷（理））(3 分+6分+9分)给定常数,定义函数,数列满足.(1)若,求及;(2)求证:对任意,;(3)是否存在,使得成等差数列?若存在,求出所有这样的,若不存在,说明理由.【答案】:(1)因为,,故,
(2)要证明原命题,只需证明对任意都成立,
-19-\n
即只需证明
若,显然有成立;
若,则显然成立
综上,恒成立,即对任意的,
(3)由(2)知,若为等差数列,则公差,故n无限增大时,总有
此时,
即
故,
即,
当时,等式成立,且时,,此时为等差数列,满足题意;
若,则,
此时,也满足题意;
综上,满足题意的的取值范围是.
．（2022年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分10分.设数列,即当时,,记,对于,定义集合(1)求集合中元素的个数;(2)求集合中元素的个数.【答案】本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力.
(1)解:由数列的定义得:,,,,,,,,,,
-19-\n∴,,,,,,,,,,
∴,,,,
∴集合中元素的个数为5
(2)证明:用数学归纳法先证
事实上,
①当时,故原式成立
②假设当时,等式成立,即故原式成立
则:,时,
综合①②得:于是
由上可知:是的倍数
而,所以是
的倍数
又不是的倍数,
而
所以不是的倍数
故当时,集合中元素的个数为
于是当时,集合中元素的个数为
又
-19-\n故集合中元素的个数为
．（2022年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））在公差为的等差数列中,已知,且成等比数列.(1)求;(2)若,求【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:
;
(Ⅱ)由(1)知,当时,,
①当时,
②当时,
所以,综上所述:;．（2022年高考湖北卷（理））已知等比数列满足:,.(I)求数列的通项公式;(II)是否存在正整数,使得?若存在,求的最小值;若不存在,说明理由.【答案】解:(I)由已知条件得:,又,,
-19-\n所以数列的通项或
(II)若,,不存在这样的正整数;
若,,不存在这样的正整数.．（2022年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设等差数列的前n项和为,且,.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设数列前n项和为,且(为常数).令.求数列的前n项和.【答案】解:(Ⅰ)设等差数列的首项为,公差为,
由,得
,
解得,,
因此
(Ⅱ)由题意知:
所以时,
故,
所以,
则
-19-\n两式相减得
整理得
所以数列数列的前n项和．（2022年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分16分.设是首项为,公差为的等差数列,是其前项和.记,,其中为实数.(1)若,且成等比数列,证明:();(2)若是等差数列,证明:.【答案】证明:∵是首项为,公差为的等差数列,是其前项和
∴
(1)∵∴
∵成等比数列∴∴
∴∴∵∴∴
∴
∴左边=右边=
∴左边=右边∴原式成立
(2)∵是等差数列∴设公差为,∴带入得:
∴对恒成立
-19-\n∴
由①式得:∵∴
由③式得:
法二:证:(1)若,则,,.
当成等比数列,,
即:,得:,又,故.
由此:,,.
故:().
(2),
.(※)
若是等差数列,则型.
观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,
故有:,即,而≠0,
故.
经检验,当时是等差数列.．（2022年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））等差数列的前项和为,已知,且成等比数列,求的通项式.【答案】
-19-\n
．（2022年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知首项为的等比数列不是递减数列,其前n项和为,且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,求数列的最大项的值与最小项的值.【答案】
-19-\n．（2022年高考江西卷（理））正项数列{an}的前项和{an}满足:(1)求数列{an}的通项公式an;(2)令,数列{bn}的前项和为.证明:对于任意的,都有【答案】(1)解:由,得.
由于是正项数列,所以.
于是时,.
综上,数列的通项.
(2)证明:由于.
则.
-19-\n.．（2022年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））设数列的前项和为.已知,,.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求数列的通项公式;(Ⅲ)证明:对一切正整数,有.【答案】.(1)解:,.
当时,
又,
(2)解:,.
①
当时,②
由①—②,得
数列是以首项为,公差为1的等差数列.
当时,上式显然成立.
(3)证明:由(2)知,
①当时,,原不等式成立.
-19-\n②当时,,原不等式亦成立.
③当时,
当时,,原不等式亦成立.
综上,对一切正整数,有.．（2022年高考北京卷（理））已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项,,的最小值记为Bn,dn=An-Bn.(I)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3,,是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*,),写出d1,d2,d3,d4的值;(II)设d为非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列;(III)证明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,),则{an}的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.【答案】(I)
(II)(充分性)因为是公差为的等差数列,且,所以
因此,,.
(必要性)因为,所以.
又因为,,所以.于是,.
因此,即是公差为的等差数列.
(III)因为,所以,.故对任意.
-19-\n假设中存在大于2的项.
设为满足的最小正整数,则,并且对任意,.
又因为,所以,且.
于是,.
故,与矛盾.
所以对于任意,有,即非负整数列的各项只能为1或2.
因此对任意,,所以.故.
因此对于任意正整数,存在满足,且,即数列有无穷多项为1.
．（2022年高考陕西卷（理））设是公比为q的等比数列.
(Ⅰ)导的前n项和公式;(Ⅱ)设q≠1,证明数列不是等比数列.【答案】解:(Ⅰ)分两种情况讨论.
①
②.
上面两式错位相减:
.
③综上,
(Ⅱ)使用反证法.
设是公比q≠1的等比数列,假设数列是等比数列.则
①当=0成立,则不是等比数列.
②当成立,则
-19-\n.这与题目条件q≠1矛盾.
③综上两种情况,假设数列是等比数列均不成立,所以当q≠1时,数列不是等比数列.-19-
