3.2导数与函数的单调性、极值、最值\n(2)可导函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则有在区间[a,b]上恒成立.(3)可导函数f(x)在区间[a,b]上单调递减,则有在区间[a,b]上恒成立.(4)若函数y=f(x)在区间(a,b)内单调,则y=f'(x)在该区间内.-2-知识梳理双基自测2311.函数的单调性与导数的关系(1)已知函数f(x)在某个区间内可导,①如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内;②如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内;③若f'(x)=0,则f(x)在这个区间内是.单调递增单调递减常数函数f'(x)≥0f'(x)≤0不变号\n-3-知识梳理双基自测2312.函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地,当函数f(x)在点x0处连续且f'(x0)=0,①如果在x0附近的左侧,右侧,那么f(x0)是极大值;②如果在x0附近的左侧,右侧,那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤①确定函数的定义域,并求f'(x);②求方程的根;f'(x)>0f'(x)<0f'(x)<0f'(x)>0f'(x)=0\n-4-知识梳理双基自测231③检查方程的根是否在定义域内,若在,则看根附近的左右两侧导数值的正负.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得.f'(x)=0极大值极小值\n3.函数的最值(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在区间[a,b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则为函数的最小值,为函数的最大值;若函数f(x)在区间[a,b]上单调递减,则为函数的最大值,为函数的最小值.(3)设函数f(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,求f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值的步骤.①求f(x)在区间(a,b)内的;②将f(x)的各极值与进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.-5-知识梳理双基自测231f(a)f(b)f(a)f(b)极值f(a),f(b)\n2-6-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增,则一定有f'(x)>0.()(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.()(3)导数为零的点不一定是极值点.()(4)函数的极大值不一定比极小值大.()(5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.()6××√√√\n-7-知识梳理双基自测234152.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()答案解析解析关闭设导函数y=f'(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,且x1<0<x2<x3.所以在区间(-∞,x1)和(x2,x3)内,f'(x)<0,f(x)是减函数,在区间(x1,x2)和(x3,+∞)内,f'(x)>0,f(x)是增函数,所以函数y=f(x)的图象可能为D,故选D.答案解析关闭D6\n-8-知识梳理双基自测2341563.函数f(x)=x2-2lnx的单调递减区间是()A.(0,1)B.(1,+∞)C.(-∞,1)D.(-1,1)答案解析解析关闭答案解析关闭\n-9-知识梳理双基自测2341564.函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是()A.-2B.0C.2D.4答案解析解析关闭∵f'(x)=3x2-6x,令f'(x)=0,得x=0或x=2.∴f(x)在区间[-1,0)上是增函数,在区间(0,1]上是减函数.∴f(x)max=f(0)=2.答案解析关闭C\n-10-知识梳理双基自测2341565.(2016山西朔州模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+3x在定义域上是增函数,则实数a的取值范围为.答案解析解析关闭∵函数f(x)=x3+ax2+3x在定义域上是增函数,∴f'(x)=3x2+2ax+3≥0在R上恒成立,∴Δ=4a2-36≤0,解得-3≤a≤3.答案解析关闭[-3,3]\n-11-知识梳理双基自测2341566.已知f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则f(x)的极小值点的个数为.答案解析解析关闭由题意知,只在x=-1处f'(-1)=0,且其左右两侧导数符号为左负右正.答案解析关闭1\n-12-考点1考点2考点3考向一讨论函数的单调性或求单调区间例1已知函数f(x)=-x+alnx.(1)讨论f(x)的单调性;思考如何利用导数的方法讨论函数的单调性或求单调区间?\n-13-考点1考点2考点3\n-14-考点1考点2考点3(2)证明：由(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x1<x2,则x2>1.\n-15-考点1考点2考点3思考已知函数单调性求参数的取值范围一般思路是什么?考向二已知函数单调性求参数的取值范围例2已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax+b.(1)若曲线f(x)与直线g(x)在点(1,f(1))处相切,求函数g(x)的解析式;\n-16-考点1考点2考点3\n-17-考点1考点2考点3\n-18-考点1考点2考点3解题心得1.利用导数讨论函数单调性或求单调区间的方法(1)(方法一)①确定函数y=f(x)的定义域;②求导数y'=f'(x);③解不等式f'(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;④解不等式f'(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.(2)(方法二)①确定函数y=f(x)的定义域;②求导数y'=f'(x),令f'(x)=0,解此方程,求出在定义域内的一切实根;③把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间;\n-19-考点1考点2考点3④确定f'(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性.要特别注意的是,涉及含参数的单调性或单调区间的问题,一定要弄清参数对导数f'(x)在某一区间内的符号是否有影响.若有影响,则必须分类讨论.\n-20-考点1考点2考点32.由函数的单调性求参数的取值范围的解题方法(1)可导函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)求参数的取值范围问题,可转化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)对x∈D恒成立问题,再参变分离,转化为求最值问题,要注意“=”能否取到.(2)可导函数在某一区间上存在单调区间,实际上就是f'(x)>0(或f'(x)<0)在该区间上存在解集,这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题.(3)若已知f(x)在区间I上的单调性,区间I中含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令区间I是其单调区间的子集,从而可求出参数的取值范围.\n-21-考点1考点2考点3①若a=1,求函数f(x)的单调区间;②若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,求a的取值范围.对点训练1(1)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x,讨论f(x)的单调性;\n-22-考点1考点2考点3解:(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).①若a=0,则f(x)=e2x,且f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增.②若a>0,则由f'(x)=0得x=lna.当x∈(-∞,lna)时,f'(x)<0;当x∈(lna,+∞)时,f'(x)>0.故f(x)在区间(-∞,lna)内单调递减,在区间(lna,+∞)内单调递增.\n-23-考点1考点2考点3\n-24-考点1考点2考点3\n-25-考点1考点2考点3例3已知函数f(x)=x-alnx(a∈R).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.思考函数的导数与函数的极值有怎样的关系?\n-26-考点1考点2考点3\n-27-考点1考点2考点3从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值.综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-alna,无极大值.\n-28-考点1考点2考点3解题心得1.可导函数y=f(x)在x=x0处取得极值的充要条件是f'(x0)=0,且在x0左侧与右侧f'(x)的符号不同.2.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,则函数y=f(x)在区间(a,b)内不是单调函数,即若函数y=f(x)在某区间上是单调函数,则函数y=f(x)在此区间上一定没有极值.3.利用导数研究函数极值的一般流程:\n-29-考点1考点2考点3对点训练2(1)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为()A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1A\n-30-考点1考点2考点3解析:由题意可得,f'(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1.因为x=-2是函数f(x)的极值点,所以f'(-2)=0.所以a=-1.所以f(x)=(x2-x-1)ex-1.所以f'(x)=(x2+x-2)ex-1.令f'(x)=0,解得x1=-2,x2=1.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:所以当x=1时,f(x)有极小值,并且极小值为f(1)=(1-1-1)e1-1=-1,故选A.\n-31-考点1考点2考点3(2)已知函数f(x)=ae2x-be-2x-cx(a,b,c∈R)的导函数f'(x)为偶函数,且曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为4-c.①确定a,b的值;②若c=3,判断f(x)的单调性;③若f(x)有极值,求c的取值范围.故f(x)在R上为增函数.解:①对f(x)求导,得f'(x)=2ae2x+2be-2x-c,由f'(x)为偶函数,知f'(-x)=f'(x)恒成立,即2(a-b)(e2x-e-2x)=0恒成立,所以a=b.又f'(0)=2a+2b-c=4-c,故a=1,b=1.②当c=3时,f(x)=e2x-e-2x-3x,则\n-32-考点1考点2考点3③由①知f'(x)=2e2x+2e-2x-c,当且仅当x=0时等号成立.下面分三种情况进行讨论:当c<4时,对任意x∈R,f'(x)=2e2x+2e-2x-c>0,此时f(x)无极值;当c=4时,对任意x≠0,f'(x)=2e2x+2e-2x-4>0,此时f(x)无极值;当c>4时,令e2x=t,当x<x1时,f'(x)>0;当x1<x<x2时,f'(x)<0;\n-33-考点1考点2考点3当x>x2时,f'(x)>0,从而f(x)在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值.综上,若f(x)有极值,则c的取值范围为(4,+∞).\n-34-考点1考点2考点3\n-35-考点1考点2考点3解:(1)f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞).当且仅当x=0时,f'(x)=0,所以f(x)在区间(-∞,-2),(-2,+∞)内单调递增.因此当x∈(0,+∞)时,f(x)>f(0)=-1.所以(x-2)ex>-(x+2),即(x-2)ex+x+2>0.由(1)知,f(x)+a在定义域上单调递增.对任意a∈[0,1),f(0)+a=a-1<0,f(2)+a=a≥0.因此,存在唯一xa∈(0,2],使得f(xa)+a=0,即g'(xa)=0.\n-36-考点1考点2考点3\n-37-考点1考点2考点3解题心得求函数f(x)在区间[a,b]上的最值的方法:(1)若函数在区间[a,b]上单调递增或递减,则f(a)与f(b)一个为最大值,一个为最小值.(2)若函数在闭区间[a,b]上有极值,要先求出区间[a,b]上的极值,与f(a),f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成.(3)若函数f(x)在区间(a,b)内有唯一一个极值点,则这个极值点就是最大(或最小)值点,此结论在导数的实际应用中经常用到.\n-38-考点1考点2考点3对点训练3已知函数f(x)=excosx-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;解:(1)因为f(x)=excosx-x,所以f'(x)=ex(cosx-sinx)-1,f'(0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=ex(cosx-sinx)-1,则h'(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx.\n-39-高频小考点——用导数的方法求参数的取值范围典例1若函数f(x)=x-sin2x+asinx在区间(-∞,+∞)内单调递增,则a的取值范围是()\n-40-答案:C\n-41-\n-42-A.[1,+∞)B.(1,+∞)C.[0,+∞)D.(0,+∞)答案:D解析:若至少存在一个x0∈[1,e],使得f(x0)>g(x0)成立,即f(x)-g(x)>0在x∈[1,e]时有解.\n-43-故φ(x)在区间[1,e]上单调递增,即φmin(x)=φ(1)=0,因此a>0即可.故选D.\n-44-典例3设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是()答案:D解析:设g(x)=ex(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)<0,即为g(x)<h(x).因为g'(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1),\n-45-而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.如图,分别作出函数g(x)=ex(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图象.显然,当a≤0时,满足不等式g(x)<h(x)的整数解有无数多个.函数g(x)=ex(2x-1)的图象与y轴的交点为A(0,-1),与x轴的交\n-46-\n-47-反思提升解题的关键在于寻找能满足限制条件的含参不等式,寻找的方法就是等价转换.若限制条件为函数有唯一的正(负)零点,或存在唯一的x0使得f(x0)<0,可根据函数的单调性,利用函数极值的正负满足限制条件,得到关于参数的不等式求解;若限制条件为存在一个x满足等式或不等式,解题思路往往是分离参数或含参数的表达式,得到一个等式或不等式,然后通过求最值把限制条件进一步转换成以参数为变量的不等式,解出参数的范围.
