3.2利用导数研究函数的单调性第三章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.备考指导利用导数研究函数的单调性是导数最重要的应用,后面涉及的最值、极值等,都需要考虑函数的单调性,所以也是高考必考知识.应用时,要注意函数的定义域优先,准确求导变形,转化为导函数在某区间上的符号问题.常用到分类讨论和数形结合的思想,对数学运算核心素养有一定的要求.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】函数的单调性与导数的关系一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内有导数,函数f(x)的单调性与其导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系:在某个区间(a,b)上,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,区间(a,b)为函数y=f(x)的单调递增区间;在某个区间(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减,区间(a,b)为函数y=f(x)的单调递减区间.在某个区间(a,b)上,如果f'(x)=0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上为常函数.\n温馨提示1.若在某个区间上有有限个(无限个不连续)点使f'(x)=0,而其余点恒有f'(x)>0(f'(x)<0),则f(x)仍单调递增(减),例如函数f(x)=x3(x∈R),f'(x)=3x2,尽管当x=0时,f'(x)=0,但函数f(x)=x3在R上仍单调递增.2.在某一区间上f'(x)>0(f'(x)<0)是函数y=f(x)在该区间上单调递增(减)的充分不必要条件,而不是充要条件.\n问题思考“若f(x)在区间(a,b)内单调递增,则f'(x)>0在区间(a,b)内恒成立”,这种说法是否正确?不正确.可导函数f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的充要条件是对∀x∈(a,b),都有f'(x)≥0(f'(x)≤0),且f'(x)在区间(a,b)内的任何子区间内都不恒为零.若所求函数的单调区间不止一个,则这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接,只能用“,”或“和”隔开.\n【知识巩固】1.若函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()D设导函数y=f'(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,且x1<0<x2<x3.则在区间(-∞,x1)和(x2,x3)内,f'(x)<0,f(x)单调递减,在区间(x1,x2)和(x3,+∞)内,f'(x)>0,f(x)单调递增,故函数y=f(x)的图象可能为D.\n2.函数f(x)=x2-2lnx的单调递减区间是()A.(0,1)B.(1,+∞)C.(-∞,1)D.(-1,1)3.已知函数f(x)=x3+ax2+3x在定义域上是增函数,则实数a的取值范围为.A∴当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.[-3,3]∵函数f(x)=x3+ax2+3x在定义域上是增函数,∴f'(x)=3x2+2ax+3≥0在R上恒成立,∴Δ=4a2-36≤0,解得-3≤a≤3.\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1求函数的单调区间例1(1)若幂函数f(x)=xα的图象过点,则函数g(x)=exf(x)的单调递减区间为.(-2,0)所以f(x)=x2,故g(x)=exx2,则g'(x)=exx2+2exx=ex(x2+2x).令g'(x)<0,得-2<x<0,故函数g(x)的单调递减区间为(-2,0).\n(2)已知函数f(x)=xsinx+cosx的定义域为(-π,π),则f(x)的单调递增区间是____________.\n解题心得利用导数讨论函数单调性或求单调区间的方法(1)方法一:①确定函数y=f(x)的定义域;②求导数y'=f'(x);③解不等式f'(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;④解不等式f'(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.(2)方法二:①确定函数y=f(x)的定义域;②求导数y'=f'(x),令f'(x)=0,解此方程,求出在定义域内的一切实根;③把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,用这些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间;④确定f'(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性.\nB(2)函数f(x)=xex-ex+1的单调递增区间是()A.(-∞,e)B.(1,e)C.(e,+∞)D.(e-1,+∞)D由f(x)=xex-ex+1,得f'(x)=(x+1-e)ex,令f'(x)>0,解得x>e-1,故函数f(x)的单调递增区间是(e-1,+∞).\n能力形成点2判断含参函数的单调性\n\n解题心得涉及含参数的函数的单调性或单调区间的问题,一定要弄清参数对导数f'(x)在某一区间内的符号是否有影响.若有影响,则必须分类讨论.\n对点训练2已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x,讨论f(x)的单调性.解函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).①若a=0,则f(x)=e2x,在区间(-∞,+∞)内单调递增.②若a>0,则由f'(x)=0,得x=lna.当x∈(-∞,lna)时,f'(x)<0;当x∈(lna,+∞)时,f'(x)>0.故f(x)在区间(-∞,lna)内单调递减,在区间(lna,+∞)内单调递增.\n能力形成点3根据函数的单调性求参数的取值范围例3若函数在区间[1,4]上单调递减,则a的取值范围为__________________.\n拓展延伸1将例3条件变为“函数h(x)在区间[1,4]上单调递增”,则a的取值范围为.(-∞,-1]\n拓展延伸2将例3条件变为“函数h(x)在区间[1,4]上存在单调递减区间”,则a的取值范围为.(-1,0)∪(0,+∞)\n拓展延伸3若例3条件变为“函数h(x)在区间[1,4]上不单调”,则a的取值范围为.\n解题心得由函数的单调性求参数的取值范围的解题方法(1)可导函数f(x)在区间D上单调递增(减)求参数范围问题,可转化为f'(x)≥0(f'(x)≤0)对x∈D恒成立问题,再参变分离,转化为求最值问题,要注意“=”是否取到.(2)可导函数在某一区间上存在单调区间,实际上就是f'(x)>0(f'(x)<0)在该区间上存在解集,这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题.(3)已知f(x)在区间I上的单调性,区间I中含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令区间I是其单调区间的子集,从而可求出参数的取值范围.\n对点训练3已知函数,其中a为常数.(1)若a=1,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,求a的取值范围.解(1)若a=1,则f(x)=3x-2x2+lnx的定义域为(0,+∞),当x∈(0,1)时,f'(x)>0,即函数f(x)=3x-2x2+lnx单调递增;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,即函数f(x)=3x-2x2+lnx单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).\n\n第三环节 学科素养提升\n等价转化思想在求参数范围中的应用答案:C\n\n\nA.[1,+∞)B.(1,+∞)C.[0,+∞)D.(0,+∞)答案:D解析:至少存在一个x0∈[1,e],使得f(x0)>g(x0)成立,即f(x)-g(x)>0在区间[1,e]上有解.故φ(x)在区间[1,e]上单调递增,即φ(x)min=φ(1)=0,因此a>0即可.故选D.\n典例3设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是()答案:D解析:设g(x)=ex(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)<0,即为g(x)<h(x).因为g'(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1),\n而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.如图,分别作出函数g(x)=ex(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图象.显然,当a≤0时,满足不等式g(x)<h(x)的整数解有无数多个.而函数g(x)=ex(2x-1)的图象与y轴的交点为A(0,-1),\n反思提升解题的关键在于寻找能满足限制条件的含参数不等式,寻找的方法就是等价转换.若限制条件为函数有唯一的正(负)零点,或存在唯一的x0使得f(x0)<0,可根据函数的单调性,利用函数极值的正负满足限制条件,得到关于参数的不等式求解;若限制条件为存在一个x满足等式或不等式,解题思路往往是首先分离参数或含参数的表达式,得到一个等式或不等式,然后通过求最值把限制条件进一步转换成以参数为变量的不等式,解出参数的范围.
