四川省广安市、眉山市高考数学一诊试卷（理科） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，函数y=lg（2﹣x）的定义域为B，则（ ）A．A∪B={x|1＜x＜2}B．A∪B=RC．A∩B={x|x＞1}D．A∩B={x|x＜2}2．（5分）若z=1+i，则=（ ）A．﹣iB．，C．﹣1D．13．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的y=2，则输入的x=（ ）A．1B．2C．4D．1或44．（5分）（x﹣y）（x+y）5的展开式中，x2y4的系数为（ ）A．﹣10B．﹣5C．5D．105．（5分）为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：根据图中的信息，下列结论中不正确的是（ ）A．样本中的男生数量多于女生数量第23页共23页,B．样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量C．样本中多数男生喜欢手机支付D．样本中多数女生喜欢现金支付6．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D在边BC上，且BD=2DC，则的值为（ ）A．B．C．D．7．（5分）若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（ ）A．B．C．D．8．（5分）从0，1，2，3这4个数字中选3个数字组成没有重复数字的三位数，则该三位数能被3整除的概率为（ ）A．B．C．D．9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（﹣x），当0≤x≤3时，f（x）=|x﹣2|；当x≥3时，f（x）=f（x﹣2），则函数y=f（x）﹣|ln|x||的零点个数是（ ）A．1B．2C．4D．610．（5分）已知椭圆的左焦点为F1，y轴上的点P在椭圆外，且线段PF1与椭圆E交于点M，若，则E椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．11．（5分）已知SC是球O的直径，A，B是球O球面上的两点，且，若三棱锥S﹣ABC的体积为1，则球O的表面积为（ ）A．4πB．13πC．16πD．52π12．（5分）已知函数f（x）=（x2﹣x﹣1）ex，设关于x的方程第23页共23页,有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为（ ）A．3B．1或3C．4或6D．3或4或6 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知，则= ．14．（5分）已知直线l：y=kx+2与圆C：x2+y2﹣2x﹣2y=0相交于A，B两点，若，则实数k的值为 ．15．（5分）如图，已知A，B是函数f（x）=log2（16x）图象上的两点，C是函数g（x）=log2x图象上的一点，且直线BC垂直于x轴，若△ABC是等腰直角三角形（其中A为直角顶点），则点A的横坐标为 ．16．（5分）如图，表示正方体表面的一种展开图，则其中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中为异面直线且所成角为60°的有 对． 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列的前n项和为Tn，求满足不等式的最小正整数n．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△第23页共23页,ABC的面积为．（1）求a；（2）求sinB+sinC的值．19．（12分）全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，旨在全面提高国民体质和健康水平．某部门在该市2011﹣2016年发布的全民健身指数中，其中的“运动参与”的评分值进行了统计，制成如图所示的散点图：（1）根据散点图，建立y关于t的回归方程=t；（2）从该市的市民中随机抽取了容量为120的样本，其中经常参加体育锻炼的人数为40，以频率为概率，若从这120名市民中随机抽取4人，记其中“经常参加体育锻炼”的人数为X，求X的分布列和数学期望．附：对于一组数据（t1，y1），（t2，y2），…，（tn，yn），其回归直线=t的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=．20．（12分）如图，ABCD是菱形，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，平面AEFC⊥平面ABCD，且AEFC是直角梯形，∠EAC=90°，CF∥AE，AE=AB=2，CF=4．（1）求证：BD⊥EF；（2）求二面角B﹣DE﹣F的余弦值．第23页共23页,21．（12分）已知函数．（1）当a≥0时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求a的取值范围，并证明x1+x2＞2． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），其中．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣6cosθ+4=0．（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）已知曲线C2与C1交于两点，记点A，B相应的参数分别为t1，t2，当t1+t2=0时，求|AB|的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|2x+1|+|x﹣1|＜3的解集M．（1）求M；（2）若m，n∈M，求证：． 第23页共23页,四川省广安市、眉山市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，函数y=lg（2﹣x）的定义域为B，则（ ）A．A∪B={x|1＜x＜2}B．A∪B=RC．A∩B={x|x＞1}D．A∩B={x|x＜2}【解答】解：由A={x||x|＞1}=[1，+∞），由2﹣x＞0解得x＜2，即B=（﹣∞，2）．所以A∪B=R，A∩B={x|1＜x＜2}．观察选项，只有选项B符合题意．故选：B． 2．（5分）若z=1+i，则=（ ）A．﹣iB．，C．﹣1D．1【解答】解：∵z=1+i，∴==，故选：B． 3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的y=2，则输入的x=（ ）A．1B．2C．4D．1或4第23页共23页,【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，若y=2，则x=4，或x=1，故选：D 4．（5分）（x﹣y）（x+y）5的展开式中，x2y4的系数为（ ）A．﹣10B．﹣5C．5D．10【解答】解：（x+y）5的通项公式为：Tr+1=•x5﹣r•yr，令5﹣r=1，得r=4；令5﹣r=2，得r=3；∴（x﹣y）（x+y）5的展开式中x2y4的系数为：×1+（﹣1）×=﹣5．故选：B． 5．（5分）为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：根据图中的信息，下列结论中不正确的是（ ）A．样本中的男生数量多于女生数量B．样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量第23页共23页,C．样本中多数男生喜欢手机支付D．样本中多数女生喜欢现金支付【解答】解：由左图知，样本中的男生数量多于女生数量，A正确；由右图知样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量，B正确；由右图知，样本中多数男生喜欢手机支付，C正确；由右图知样本中女生喜欢现金支付与手机支付的一样多，D错误．故选：D． 6．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D在边BC上，且BD=2DC，则的值为（ ）A．B．C．D．【解答】解：=•（+）=2+•=2+•=1﹣×1×1×cos60°=1﹣×=．故选B． 7．（5分）若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（ ）A．B．C．D．【解答】解：将函数=2sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得y=2sin（2x++）=2sin（2x+）的图象，令2x+=kπ+，可得x=﹣，k∈Z，第23页共23页,则平移后图象的对称轴方程为x=﹣，k∈Z，故选：A． 8．（5分）从0，1，2，3这4个数字中选3个数字组成没有重复数字的三位数，则该三位数能被3整除的概率为（ ）A．B．C．D．【解答】解：从0，1，2，3这4个数字中选3个数字组成没有重复数字的三位数，基本事件总数n==18，该三位数能被3整除包含的基本事件个数：m==10，∴该三位数能被3整除的概率为p=．故选：D． 9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（﹣x），当0≤x≤3时，f（x）=|x﹣2|；当x≥3时，f（x）=f（x﹣2），则函数y=f（x）﹣|ln|x||的零点个数是（ ）A．1B．2C．4D．6【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（﹣x），可得f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，又当0≤x≤3时，f（x）=|x﹣2|；当x≥3时，f（x）=f（x﹣2），可得x≥3时的图象，可将f（x）在[1，3]的图象向右平移2k（k为正整数）个单位；第23页共23页,在y轴左边的图象与右边的图象关于y轴对称，作出f（x）的图象和函数y=|ln|x||的图象，可得它们有4个交点，则函数y=f（x）﹣|ln|x||的零点个数是4．故选：C． 10．（5分）已知椭圆的左焦点为F1，y轴上的点P在椭圆外，且线段PF1与椭圆E交于点M，若，则E椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．【解答】解：如图所示|OM|=|MF1|=|OP|，不妨设|OP|=，则|OM|=|MF1|=1，设∠MF1O=θ，在△MOF1中由余弦定理可得cosθ===，∴sinθ==，∴tanθ===，∵tanθ==，第23页共23页,∴=，解得c=1，∴△MOF1为等边三角形，∴M（﹣，），∴+=1，①∵a2﹣b2=c2=1，②，由①②可得4a4﹣8a2+1=0，解得a2=＜1（舍去），a2=，∴a2===（）2，∴a==，∴e===﹣1，故选：C． 11．（5分）已知SC是球O的直径，A，B是球O球面上的两点，且，若三棱锥S﹣ABC的体积为1，则球O的表面积为（ ）第23页共23页,A．4πB．13πC．16πD．52π【解答】解：∵SC是球O的直径，A，B是球O球面上的两点，且，∴∠SAC=∠SBC=90°，cos∠ACB==﹣，∴∠ACB=120°，∴∠CAB=∠CBA=30°，∴∠ASB=60°，∴SA=SB=AB=，∴SC==2，∴球半径R=1，∴球O的表面积S=4πR2=4π．故选：A． 12．（5分）已知函数f（x）=（x2﹣x﹣1）ex，设关于x的方程有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为（ ）A．3B．1或3C．4或6D．3或4或6【解答】解：f′（x）=ex（2x﹣1）+）+（x2﹣x﹣1）ex=ex（x2+x﹣2），∴当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，第23页共23页,f（x）的极大值为f（﹣2）=，f（x）的极小值为f（1）=﹣e．作出f（x）的函数图象如图所示：∵，∴f2（x）﹣mf（x）﹣=0，△=m2+＞0，令f（x）=t则，则t1t2=﹣．不妨设t1＜0＜t2，（1）若t1＜﹣e，则0＜t2＜，此时f（x）=t1无解，f（x）=t2有三解；（2）若t1=﹣e，则t2=，此时f（x）=t1有一解，f（x）=t2有两解；（3）若﹣e＜t1＜0，则t2＞，此时f（x）=t1有两解，f（x）=t2有一解；综上，f2（x）﹣mf（x）=有三个不同的实数解．故选：A． 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知，则= ．【解答】解：∵，∴==．故答案为：． 第23页共23页,14．（5分）已知直线l：y=kx+2与圆C：x2+y2﹣2x﹣2y=0相交于A，B两点，若，则实数k的值为 ﹣1 ．【解答】1解：圆C：x2+y2﹣2x﹣2y=0，转化为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，所以圆的直径为2．由于|AB|=2，则：直线l：y=kx+2，经过圆心（1，1）．所以：1=k+2，解得：k=﹣1．故答案为：﹣1． 15．（5分）如图，已知A，B是函数f（x）=log2（16x）图象上的两点，C是函数g（x）=log2x图象上的一点，且直线BC垂直于x轴，若△ABC是等腰直角三角形（其中A为直角顶点），则点A的横坐标为 ．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则y1=log2（16x1），y2=log2（16x2），y3=log2x3，x2=x3，△ABC是等腰直角三角形（其中A为直角顶点），可得y2﹣y3=2（x2﹣x1），y2+y3=2y1，即有log2（16x2）﹣log2x3=2（x2﹣x1），log2（16x2）+log2x3=2log2（16x1），第23页共23页,化简可得x2﹣x1=2，log2x2=2+log2x1，即为2+x1=4x1，解得x1=，故答案为：． 16．（5分）如图，表示正方体表面的一种展开图，则其中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中为异面直线且所成角为60°的有 3 对．【解答】解：把正方体的展开图还原成正方体，如下图：则四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中为异面直线且所成角为60°的有：AB与CD，AB与GH、EF与GH，共3组．故答案为：3． 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且第23页共23页,．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列的前n项和为Tn，求满足不等式的最小正整数n．【解答】解：（1）由，则：an+1﹣an=n+1，又a1=1，所以n≥2时，an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=．当n=1时，也满足，所以数列{an}的通项公式为．（2）由（1）知，所以令，解得n≥19，所以满足不等式的最小正整数n为19． 18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求a；（2）求sinB+sinC的值．【解答】解：（1）由△ABC的面积为，得．因，所以，所以，得bc=35，第23页共23页,又b﹣c=2，由余弦定理得：，=，所以a=8．（2）法一：由（1）中b﹣c=2，bc=35．解得b=7，c=5，由正弦定理得：，所以，法二：由（1）有（b+c）2=（b﹣c）2+4bc=22+4×35=144，所以b+c=12．由正弦定理得，所以． 19．（12分）全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，旨在全面提高国民体质和健康水平．某部门在该市2011﹣2016年发布的全民健身指数中，其中的“运动参与”的评分值进行了统计，制成如图所示的散点图：（1）根据散点图，建立y关于t的回归方程=t；（2）从该市的市民中随机抽取了容量为120的样本，其中经常参加体育锻炼的人数为40，以频率为概率，若从这120名市民中随机抽取4人，记其中“经常参加体育锻炼”的人数为X，求X的分布列和数学期望．第23页共23页,附：对于一组数据（t1，y1），（t2，y2），…，（tn，yn），其回归直线=t的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=．【解答】解：（1）由题，==3.5，==75，则（ti﹣）（yi﹣）=（1﹣3.5）（65﹣75）+（2﹣3.5）（71﹣75）+（3﹣3.5）（73﹣74）+（4﹣3.5）（77﹣75）+（5﹣3.5）（80﹣75）+（6﹣3.5）（84﹣75）=63．（ti﹣）2=（1﹣3.5）2+（2﹣3.5）2+（3﹣3.5）2+（4﹣3.5）2+（5﹣3.5）2+（6﹣3.5）2=17.5，==3.6，=75﹣3.6×3.5=62.4，∴运动参与y关于t的回归方程是=3.6t+62.4．（2）以频率为概率，从这120名市民中随机抽取1人，经常参加体育锻炼的概率为，由题，X的可能取值为0，1，2，3，4．则，，，．分布列如下：X01234P数学期望或． 20．（12分）如图，ABCD是菱形，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，平面AEFC第23页共23页,⊥平面ABCD，且AEFC是直角梯形，∠EAC=90°，CF∥AE，AE=AB=2，CF=4．（1）求证：BD⊥EF；（2）求二面角B﹣DE﹣F的余弦值．【解答】证明：（1）在棱形ABCD中，可得DB⊥AC，∵平面AEFC⊥平面ABCD，且交线为AC，∴DB⊥平面AEFC，∵EF⊂平面AEFC，∴BD⊥EF．解：（2）直角梯形AEFC中，由∠EAC=90°，CF∥AE，AE=AB=2，得EA⊥平面ABCD．取EF的中点M，以O为坐标原点，以OA为x轴，OB为y轴，OM为z轴，建立空间直角坐标系，则．∴=（0，2，0），=（1，，2）．设平面BDE的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，0，﹣1），由=（﹣1，，4）．设平面DEF的法向量为=（a，b，c），则，第23页共23页,取a=1，得=（1，﹣，1）．则cos＜＞===，即二面角B﹣DE﹣F的余弦值为． 21．（12分）已知函数．（1）当a≥0时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求a的取值范围，并证明x1+x2＞2．【解答】解：（1）由，得，当a≥0时，ax+1＞0，若0＜x＜1，f'（x）＞0；若x＞1，f'（x）＜0，故当a≥0时，f（x）在x=1处取得的极大值；函数f（x）无极小值．（2）当a≥0时，由（1）知f（x）在x=1处取得极大值，且当x趋向于0时，f（x）趋向于负无穷大，又f（2）=ln2﹣2＜0，f（x）有两个零点，则，解得a＞2．第23页共23页,当﹣1＜a＜0时，若0＜x＜1，f'（x）＞0；若；若，则f（x）在x=1处取得极大值，在处取得极小值，由于，则f（x）仅有一个零点．当a=﹣1时，，则f（x）仅有一个零点．当a＜﹣1时，若；若；若x＞1，f'（x）＞0，则f（x）在x=1处取得极小值，在处取得极大值，由于，则f（x）仅有一个零点．综上，f（x）有两个零点时，a的取值范围是（2，+∞）．两零点分别在区间（0，1）和（1，+∞）内，不妨设0＜x1＜1，x2＞1．欲证x1+x2＞2，需证明x2＞2﹣x1，又由（1）知f（x）在（1，+∞）单调递减，故只需证明f（2﹣x1）＞f（x2）=0即可．，又，所以f（2﹣x1）=ln（2﹣x1）﹣ln（x1）+2x1﹣2，令h（x）=ln（2﹣x）﹣lnx+2x﹣2（0＜x＜1），则，则h（x）在（0，1）上单调递减，所以h（x）＞h（1）=0，即f（2﹣x1）＞0，所以x1+x2＞2． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]第23页共23页,22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），其中．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣6cosθ+4=0．（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）已知曲线C2与C1交于两点，记点A，B相应的参数分别为t1，t2，当t1+t2=0时，求|AB|的值．【解答】解：（1）线C1的参数方程为（t为参数），所以：C1的普通方程：y=（x﹣2）tanα+1，其中；曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+4=0．所以：C2的直角坐标方程：（x﹣3）2+y2=5．（2）由题知直线恒过定点P（2，1），又t1+t2=0，由参数方程的几何意义知P是线段AB的中点，曲线C2是以C2（3，0）为圆心，半径的圆，且．由垂径定理知：． [选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|2x+1|+|x﹣1|＜3的解集M．（1）求M；（2）若m，n∈M，求证：．【解答】解：（1）当时，不等式即为﹣2x﹣1﹣x+1＜3，解得；当时，不等式即为2x+1﹣x+1＜3，解得；当x＞1时，不等式即为2x+1+x﹣1＜3，此时无解，综上可知，不等式解集M={x|﹣1＜x＜1}．第23页共23页,（2）m，n∈（﹣1，1），欲证，需证|m﹣n|＜|mn﹣1|，即证（m﹣n）2＜（mn﹣1）2，即m2+n2﹣2mn＜m2n2﹣2mn+1，即证（m2﹣1）（n2﹣1）＞0，因为m，n∈（﹣1，1），所以（m2﹣1）（n2﹣1）＞0显然成立．所以成立． 第23页共23页
