题型五 几何图形探究题类型一 几何图形静态探究1．(2017·成都)问题背景：如图①，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD＝∠BAC＝60°，于是＝＝；迁移应用：如图②，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD.①求证：△ADB≌△AEC；②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；拓展延伸：如图③，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF.①证明△CEF是等边三角形；②若AE＝5，CE＝2，求BF的长.2．(2017·许昌模拟)在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，动点P在线段BC上(不含点B)，∠BPE＝∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G.(1)当点P与点C重合时(如图①)，求证：△BOG≌△POE；(2)通过观察、测量、猜想：＝__________，并结合图②证明你的猜想；(3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图③)，若∠ACB＝α，求17
的值．(用含α的式子表示)3．(2014·河南)(1)问题发现如图①，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.填空：①∠AEB的度数为__________；②线段AD，BE之间的数量关系为__________．(2)拓展探究如图②，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．(3)解决问题如图③，在正方形ABCD中，CD＝，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离.17
4．(2017·长春改编)【再现】如图①，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，可以得到：DE∥BC，且DE＝BC.(不需要证明)【探究】如图②，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明；【应用】(1)在【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是：__________.(只添加一个条件)(2)如图③，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC，BD相交于点O.若AO＝OC，四边形ABCD面积为5，求阴影部分图形的面积.17
5．(2016·新乡模拟)问题背景：已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动(与A，B不重合)，同时，点E由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点，求的值．(1)初步尝试如图①，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且D，E的运动速度相等，小王同学发现可以过点D做DG∥BC，交AC于点G，先证GH＝AH.再证GF＝CF，从而求得的值为__________；(2)类比探究如图②，若在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ADH＝∠BAC＝30°，且点D，E的运动速度之比是∶1，求的值；(3)延伸拓展如图③，若在△ABC中，AB＝AC，∠ADH＝∠BAC＝36°，记＝m，且点D，E的运动速度相等，试用含m的代数式表示的值(直接写出结果，不必写解答过程).17
类型二 几何图形动态探究1．(2015·河南)如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.(1)问题发现①当α＝0°时，＝__________；②当α＝180°时，＝__________；(2)拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明．(3)问题解决当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．2．已知，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC.(1)如图①，已知∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC.①∠DAO的度数是__________；②用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；(2)设∠AOB＝α，∠BOC＝β.①当α，β满足什么关系时，OA＋OB＋OC有最小值？请在图②中画出符合条件的图形，并说明理由；②若等边△ABC的边长为1，直接写出OA＋OB＋OC的最小值.17
3．(2013·河南)如图①，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°.(1)操作发现如图②，固定△ABC，使△DCE绕点C旋转．当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是__________；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是__________；(2)猜想论证当△DEC绕点C旋转到图③所示的位置时，小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想；(3)拓展探究已知∠ABC＝60°，点D是其角平分线上一点，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于点E(如图④)，若在射线BA上存在点F，使S△DCF＝S△BDC，请直接写出相应的BF的长.17
4．(2017·郑州模拟)【问题情境】数学课上，李老师提出了如下问题：在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝α，点D是AB边上任意一点，将射线DC绕点D逆时针旋转α与过点A且平行于BC边的直线交于点E.请判断线段BD与AE之间的数量关系．小颖在小组合作交流中，发表自己的意见：“我们不妨从特殊情况下获得解决问题的思路，然后类比到一般情况．”小颖的想法获得了其他成员一致的赞成．【问题解决】(1)如图①，当α＝60°时，判断BD与AE之间的数量关系；解法如下：过D点作AC的平行线交BC于F，构造全等三角形，通过推理使问题得到解决，请你直接写出线段BD与AE之间的数量关系：__________.【类比探究】(2)如图②，当α＝45°时，请判断线段BD与AE之间的数量关系，并进行证明；(3)如图③，当α为任意锐角时，请直接写出线段BD与AE之间的数量关系：__________.(用含α的式子表示，其中0°＜α＜90°)5．(2017·烟台)【操作发现】(1)如图①，△ABC为等边三角形，现将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于30°)，旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF＝CD，线段AB上取点E，使∠DCE＝30°，连接AF，EF.①求∠EAF的度数；②DE与EF相等吗？请说明理由；【类比探究】(2)如图②，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，先将三角板的90°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于45°)，旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板另一直角边上取一点F，使CF＝CD，线段AB上取点E，使∠DCE＝45°，连接AF，EF，请直接写出探究结果：①求∠EAF的度数；②线段AE，ED，DB之间的数量关系．17
题型五 第22题几何图形探究题类型一 几何图形静态探究1．迁移应用：①证明：∵∠BAC＝∠DAE＝120°，∴∠DAB＝∠CAE，在△DAB和△EAC中，，∴△DAB≌△EAC; ,图②)②解：结论：CD＝AD＋BD.理由：如解图①，作AH⊥CD于H.∵△DAB≌△EAC，∴BD＝CE，在Rt△ADH中，DH＝AD·cos30°＝AD，∵AD＝AE，AH⊥DE，∴DH＝HE，∵CD＝DE＋EC＝2DH＋BD＝AD＋BD；拓展延伸：①证明：如解图②，作BH⊥AE于H，连接BE.∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，∴△ABD，△BDC是等边三角形，∴BA＝BD＝BC，∵E、C关于BM对称，∴BC＝BE＝BD＝BA，FE＝FC，∴A、D、E、C四点共圆，∴∠ADC＝∠AEC＝120°，∴∠FEC＝60°，∴△EFC是等边三角形，②解：∵AE＝5，EC＝EF＝2，∴AH＝HE＝2.5，FH＝4.5，在Rt△BHF中，∵∠BFH＝30°，∴＝cos30°，∴BF＝＝3.2．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，∴OB＝OP，∠BOC＝∠BOG＝90°，∵PF⊥BG，∠PFB＝90°，∴∠GBO＝90°－∠BGO，∠EPO＝90°－∠BGO，∴∠GBO＝∠EPO，在△BOG和△POE中，，∴△BOG≌△POE(ASA)；(2)解：猜想＝.证明：如解图①，过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，∴∠PNE＝∠BOC＝90°，∠BPN＝∠OCB.∵∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠NBP＝∠NPB，∴NB＝NP.∵∠MBN＝90°－∠BMN，∠NPE＝90°－∠BMN，∴∠MBN＝∠NPE，17
在△BMN和△PEN中，，∴△BMN≌△PEN(ASA)，∴BM＝PE.∵∠BPE＝∠ACB，∠BPN＝∠ACB，∴∠BPF＝∠MPF.∵PF⊥BM，∴∠BFP＝∠MFP＝90°.在△BPF和△MPF中，，∴△BPF≌△MPF(ASA).∴BF＝MF.即BF＝BM.∴BF＝PE.即＝；(3)解：如解图②，过P作PM∥AC交BG于点M，交BO于点N，∴∠BPN＝∠ACB＝α，∠PNE＝∠BOC＝90°.由(2)同理可得BF＝BM，∠MBN＝∠EPN，∴△BMN∽△PEN，∴＝.在Rt△BNP中，tanα＝，∴＝tanα，即＝tanα，∴＝.3．解：(1)∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE.在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴∠ADC＝∠BEC.∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°.∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝120°，∴∠BEC＝120°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝60°；②∴AD＝BE；(2)∠AEB＝90°，AE＝BE＋2CM.理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°.∴∠ACD＝∠BCE.在△ACD和△BCE中，17
，∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC.∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°.∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝135°，∴∠BEC＝135°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝90°.∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME.∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM，∴AE＝AD＋DE＝BE＋2CM；(3)点A到BP的距离为或.理由如下：∵PD＝1，∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．∵∠BPD＝90°，∴点P在以BD为直径的圆上．∴点P是这两圆的交点．①当点P在如解图①所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交BP于点E，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝45°.AB＝AD＝DC＝BC＝，∠BAD＝90°.∴BD＝2.∵DP＝1，∴BP＝.∵∠BPD＝∠BAD＝90°，∴A、P、D、B在以BD为直径的圆上，∴∠APB＝∠ADB＝45°.∴△PAE是等腰直角三角形．又∵△BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AH⊥BP，∴由(2)中的结论可得：BP＝2AH＋PD.∴＝2AH＋1.∴AH＝；②当点P在如解图②所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，同理可得：BP＝2AH－PD.∴＝2AH－1.∴AH＝.综上所述：点A到BP的距离为或.4．解：【探究】平行四边形．理由：如解图①，连接AC，∵E是AB的中点，F是BC的中点，∴EF∥AC，EF＝AC，17
同理HG∥AC，HG＝AC，综上可得：EF∥HG，EF＝HG，故四边形EFGH是平行四边形．【应用】(1)添加AC＝BD，理由：连接AC，BD，同(1)知，EF＝AC，同【探究】的方法得，FG＝BD，∵AC＝BD，∴EF＝FG，∵四边形EFGH是平行四边形，∴▱EFGH是菱形；(2)如解图②，由【探究】得，四边形EFGH是平行四边形，∵F，G是BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG＝BD，∴△CFG∽△CBD，∴＝，∴S△BCD＝4S△CFG，同理：S△ABD＝4S△AEH，∵四边形ABCD面积为5，∴S△BCD＋S△ABD＝5，∴S△CFG＋S△AEH＝，同理：S△DHG＋S△BEF＝，∴S四边形EFGH＝S四边形ABCD－(S△CFG＋S△AEH＋S△DHG＋S△BEF)＝5－＝，设AC与FG，EH相交于M，N，EF与BD相交于P，∵FG∥BD，FG＝BD，∴CM＝OM＝OC，同理：AN＝ON＝OA，∵OA＝OC，∴OM＝ON，易知，四边形ENOP，FMOP是平行四边形，S▱EPON＝S▱FMOP，∴S阴影＝S四边形EFGH＝.5．解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴△AGD是等边三角形，∴AD＝GD，由题意知：CE＝AD，∴CE＝GD，∵DG∥BC，∴∠GDF＝∠CEF，在△GDF与△CEF中，∴△GDF≌△CEF(AAS)，∴CF＝GF，∵DH⊥AG，∴AH＝GH，∴AC＝AG＋CG＝2GH＋2GF＝2(GH＋GF)＝2HF，17
∴＝2；(2)如解图①，过点D作DG∥BC交AC于点G，则∠ADG＝∠ABC＝90°.∵∠BAC＝∠ADH＝30°，∴AH＝DH，∠GHD＝∠BAC＋∠ADH＝60°，∠HDG＝∠ADG－∠ADH＝60°，∴△DGH为等边三角形．∴GD＝GH＝DH＝AH，AD＝GD·tan60°＝GD.由题意可知，AD＝CE.∴GD＝CE.∵DG∥BC，∴∠GDF＝∠CEF.在△GDF与△CEF中，，∴△GDF≌△CEF(AAS)，∴GF＝CF.GH＋GF＝AH＋CF，即HF＝AH＋CF，∴HF＝AC，即＝2；(3)＝.理由如下：如解图②，过点D作DG∥BC交AC于点G，易得AD＝AG，AD＝EC，∠AGD＝∠ACB.在△ABC中，∵∠BAC＝∠ADH＝36°，AB＝AC，∴AH＝DH，∠ACB＝∠B＝72°，∠GHD＝∠HAD＋∠ADH＝72°.∴∠AGD＝∠GHD＝72°，∵∠GHD＝∠B＝∠HGD＝∠ACB，∴△ABC∽△DGH.∴＝＝m，∴GH＝mDH＝mAH.由△ADG∽△ABC可得＝＝＝m.∵DG∥BC，∴＝＝m.∴FG＝mFC.∴GH＋FG＝m(AH＋FC)＝m(AC－HF)，即HF＝m(AC－HF)．∴＝.类型二 几何图形动态探究1．解：(1)①当α＝0°时，∵Rt△ABC中，∠B＝90°，∴AC＝＝＝4，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴AE＝4÷2＝2，BD＝8÷2＝4，∴＝＝.②如解图①，当α＝180°时，可得AB∥DE，17
∵＝，∴＝＝＝；(2)当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB，又∵＝＝，∴△ECA∽△DCB，∴＝＝；(3)①当D在AE上时，如解图②，∵AC＝4，CD＝4，CD⊥AD，∴AD＝＝＝＝8，∵AD＝BC，AB＝DC，∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝4；②当D在AE延长线上时，如解图③，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，∵AC＝4，CD＝4，CD⊥AD，∴AD＝＝＝＝8，∵原图中点D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE＝AB＝×(8÷2)＝×4＝2，∴AE＝AD－DE＝8－2＝6，由(2)可得＝，∴BD＝＝.综上所述，BD的长为4或.2．解：(1)①∵∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，∴∠AOC＝90°，由旋转的性质可知，∠OCD＝60°，∠ADC＝∠BOC＝120°，∴∠DAO＝360°－60°－90°－120°＝90°；②线段OA，OB，OC之间的数量关系是OA2＋OB2＝OC2.如解图①，连接OD.∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△ADC≌△BOC，∠OCD＝60°.∴CD＝OC，∴△OCD是等边三角形，∴OC＝OD＝CD，∠COD＝∠CDO＝60°，∵∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，∴∠AOC＝90°，17
∴∠AOD＝30°，∠ADO＝60°.∴∠DAO＝90°.在Rt△ADO中，∠DAO＝90°，∴OA2＋AD2＝OD2，∴OA2＋OB2＝OC2；(2)①当α＝β＝120°时，OA＋OB＋OC有最小值．作图如解图②，将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A′O′C，连接OO′.∴△A′O′C≌△AOC，∠OCO′＝∠ACA′＝60°.∴O′C＝OC，O′A′＝OA，A′C＝AC，∠A′O′C＝∠AOC.∴△OCO′是等边三角形．∴OC＝O′C＝OO′，∠COO′＝∠CO′O＝60°.∵∠AOB＝∠BOC＝120°，∴∠AOC＝∠A′O′C＝120°.∴∠BOO′＝∠OO′A′＝180°.∴B，O，O′，A′四点共线．∴OA＋OB＋OC＝O′A′＋OB＋OO′＝BA′时值最小；②当等边△ABC的边长为1时，OA＋OB＋OC的最小值为A′B＝.3．解：(1)①∵△DEC绕点C旋转使点D恰好落在AB边上，∴AC＝CD，∵∠BAC＝90°－∠B＝90°－30°＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，又∵∠CDE＝∠BAC＝60°，∴∠ACD＝∠CDE，∴DE∥AC；②∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴CD＝AC＝AB，∴BD＝AD＝AC，根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S1＝S2；(2)∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC＝CE，AC＝CD，∵∠ACN＋∠BCN＝90°，∠DCM＋∠BCN＝180°－90°＝90°，∴∠ACN＝∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM(AAS)，∴AN＝DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，17
即S1＝S2；(3)如解图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，∴BE＝DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF1＝S△BDE；过点D作DF2⊥BD，∵∠ABC＝60°，F1D∥BE，∴∠F2F1D＝∠ABC＝60°，∵BF1＝DF1，∠F1BD＝∠ABC＝30°，∠F2DB＝90°，∴∠F1DF2＝∠ABC＝60°，∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1＝DF2，∵BD＝CD，∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC＝∠DCB＝×60°＝30°，∴∠CDF1＝180°－∠BCD＝180°－30°＝150°，∠CDF2＝360°－150°－60°＝150°，∴∠CDF1＝∠CDF2，∵在△CDF1和△CDF2中，，∴△CDF1≌△CDF2(SAS)，∴点F2也是所求的点，∵∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC＝∠BDE＝∠ABD＝×60°＝30°，又∵BD＝4，∴BE＝ED＝×4÷cos30°＝2÷＝，∴BF1＝，BF2＝BF1＋F1F2＝＋＝，故BF的长为或.4．解：(1)当α＝60°时，△ABC、△DCE是等边三角形，∴EC＝DC，AC＝BC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△BDC和△AEC中，，∴△BDC≌△AEC(SAS)，∴BD＝AE；(2)BD＝AE；理由如下：如解图①，过点D作DF∥AC，交BC于F.∵DF∥AC，∴∠ACB＝∠DFB.∵∠ABC＝∠ACB＝α，α＝45°，∴∠ABC＝∠ACB＝∠DFB＝45°.∴△DFB是等腰直角三角形∴BD＝DF＝BF.∵AE∥BC，∴∠ABC＋∠BAE＝180°.∵∠DFB＋∠DFC＝180°，∴∠BAE＝∠DFC.∵∠ABC＋∠BCD＝∠ADC，∠ABC＝∠CDE＝α，∴∠ADE＝∠BCD.17
∴△ADE∽△FCD.∴＝.∵DF∥AC，∴＝.∴＝＝.∴BD＝AE.(3)补全图形如解图②，∵AE∥BC，∠EAC＝∠ACB＝α，∴∠EAC＝∠EDC＝α，∴A、D、C、E四点共圆，∴∠ADE＝∠ACE，∵∠ADE＋∠EDC＝∠ADC＝∠ABC＋∠BCD，∠ABC＝∠EDC＝α，∴∠ADE＝∠BCD，∴∠ACE＝∠BCD，∵∠ABC＝∠EAC＝α，∴△BDC∽△AEC，∴＝，又∵＝2cosα，∴BD＝2cosα·AE.5．解：(1)①∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠BAC＝∠B＝60°，∵∠DCF＝60°，∴∠ACF＝∠BCD，在△ACF和△BCD中，，∴△ACF≌△BCD(SAS)，∴∠CAF＝∠B＝60°，∴∠EAF＝∠BAC＋∠CAF＝120°；②相等；理由如下：∵∠DCF＝60°，∠DCE＝30°，∴∠FCE＝60°－30°＝30°，∴∠DCE＝∠FCE，在△DCE和△FCE中，，∴△DCE≌△FCE(SAS)，∴DE＝EF；(2)①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∠BAC＝∠B＝45°，∵∠DCF＝90°，∴∠ACF＝∠BCD，在△ACF和△BCD中，，∴△ACF≌△BCD(SAS)，∴∠CAF＝∠B＝45°，AF＝BD，∴∠EAF＝∠BAC＋∠CAF＝90°；②AE2＋DB2＝DE2；理由如下：∵∠DCF＝90°，∠DCE＝45°，∴∠FCE＝90°－45°＝45°，∴∠DCE＝∠FCE，在△DCE和△FCE中，，∴△DCE≌△FCE(SAS)，∴DE＝EF，17
在Rt△AEF中，AE2＋AF2＝EF2，又∵AF＝DB，∴AE2＋DB2＝DE2.17
